葉德偉

(浙江大學(xué)教育學(xué)院 310028)

何羽茜

(浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 310021)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一．?dāng)?shù)學(xué)建模過(guò)程既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的相互作用，又離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想的運(yùn)用．?dāng)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展必然會(huì)帶動(dòng)其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的進(jìn)步，而其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)又是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的重要基礎(chǔ)．因此，在教學(xué)實(shí)踐中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就顯得尤為重要．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2017》)指出高考命題應(yīng)注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系，充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用．由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)高考試題是評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體之一，其對(duì)師生開(kāi)展日常數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)價(jià)提供了重要依據(jù)．因此，本文以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷、新高考卷共計(jì)六份試卷為研究對(duì)象，分析高考試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題的分布、水平層次和命題特征，尋找數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與評(píng)價(jià)的融合點(diǎn)，為開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提供若干建議．

1 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題在高考數(shù)學(xué)試卷中的分布

根據(jù)《課標(biāo)2017》對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的界定，我們將指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題界定為學(xué)生需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型才能解決的問(wèn)題．初步對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷、新高考卷進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)每份試卷都有試題指向?qū)W生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展．進(jìn)一步對(duì)這些試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題題型、背景、分值等信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)鮑建生、葉立軍、姜浩哲等人的研究，將試題中所涉及的數(shù)學(xué)建模背景分為個(gè)人生活、社會(huì)生活、數(shù)學(xué)文化和科學(xué)研究四類，結(jié)果如表1所示．

根據(jù)表1可以看出，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題總分在不同高考試卷中差距較大，其中最高的為全國(guó)甲卷(文科)29分，最低為新高考Ⅰ卷17分．從試題類型上看，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題主要分布在選擇題與解答題中，少數(shù)分布在填空題中．從數(shù)學(xué)建模背景類型上看，涉及的數(shù)學(xué)建模背景以社會(huì)生活背景為主，以個(gè)人生活、科學(xué)研究、數(shù)學(xué)文化背景為輔，重視考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活、社會(huì)生產(chǎn)問(wèn)題的能力．

表1 2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷、新高考卷指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題相關(guān)信息

試卷位置數(shù)學(xué)建模背景背景類型分值總分全國(guó)甲卷文科選擇題第2題調(diào)查垃圾分類講座效果社會(huì)生活5分解答題第17題調(diào)查長(zhǎng)途客車運(yùn)行情況社會(huì)生活12分解答題第19題設(shè)計(jì)封閉包裝盒個(gè)人生活12分29分理科選擇題第2題調(diào)查垃圾分類講座效果社會(huì)生活5分選擇題第8題《夢(mèng)溪筆談》“會(huì)圓術(shù)”數(shù)學(xué)文化5分解答題第19題比較學(xué)校體育比賽成績(jī)社會(huì)生活12分22分

續(xù)表

試卷位置數(shù)學(xué)建模背景背景類型分值總分全國(guó)乙卷文科選擇題第4題統(tǒng)計(jì)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)個(gè)人生活5分填空題第14題參加社區(qū)服務(wù)工作社會(huì)生活5分解答題第19題估計(jì)某種樹(shù)木總材積量社會(huì)生活12分22分理科選擇題第4題研究嫦娥二號(hào)繞日周期科學(xué)研究5分選擇題第10題計(jì)算象棋比賽獲勝概率個(gè)人生活5分填空題第13題參加社區(qū)服務(wù)工作社會(huì)生活5分解答題第19題估計(jì)某種樹(shù)木總材積量社會(huì)生活12分27分新高考Ⅰ卷選擇題第4題計(jì)算某水庫(kù)的蓄水量社會(huì)生活5分解答題第20題研究某種疾病與衛(wèi)生習(xí)慣關(guān)系科學(xué)研究12分17分新高考Ⅱ卷選擇題第3題古建筑物剖面圖數(shù)學(xué)文化5分選擇題第5題文藝匯演排序社會(huì)生活5分解答題第19題調(diào)查某種疾病與年齡關(guān)系科學(xué)研究12分22分

2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高考試題中的水平層次

要研究高考試題對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查水平層次，就必須要依托一套科學(xué)的核心素養(yǎng)形成水平劃分標(biāo)準(zhǔn)．本文根據(jù)喻平提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架，結(jié)合《課標(biāo)2017》對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的界定，確定了如表2所示的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表．

表2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表

水平編碼描述水平一:知識(shí)理解M1掌握高中階段常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)描述;在熟悉的情境中,模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程或根據(jù)已知模型解決問(wèn)題;在交流過(guò)程中,能夠借助或引用已有數(shù)學(xué)建模結(jié)果說(shuō)明問(wèn)題水平二:知識(shí)遷移M2在熟悉情境中,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;在數(shù)學(xué)建模過(guò)程選擇合適的模型來(lái)解決常規(guī)性復(fù)雜問(wèn)題;在交流過(guò)程中,能夠用模型思想說(shuō)明問(wèn)題水平三:知識(shí)創(chuàng)新M3在綜合情境中,運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系,提出數(shù)學(xué)問(wèn)題;利用數(shù)學(xué)方法和語(yǔ)言創(chuàng)造性地建立合適的模型來(lái)解決非常規(guī)問(wèn)題;在交流過(guò)程中,能夠用數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象

根據(jù)表2所建構(gòu)的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表，對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷、新高考卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題進(jìn)行編碼，統(tǒng)計(jì)各水平數(shù)學(xué)建模試題的數(shù)量.其中，此處的試題數(shù)量并非與題號(hào)一一對(duì)應(yīng)，而是學(xué)生實(shí)際需要作答的任務(wù)量，例如，全國(guó)甲卷(理科)第19題共有2小題，則試題數(shù)量記為2．

編碼過(guò)程由兩位高中數(shù)學(xué)教師共同完成，兩人先依據(jù)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表獨(dú)立對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷、新高考卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題進(jìn)行編碼，再經(jīng)過(guò)多輪討論、協(xié)商并結(jié)合專家意見(jiàn)，最終得到各水平數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的編碼數(shù)據(jù)，具體如表3所示．

表3 2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷、新高考卷中各水平

數(shù)學(xué)建模試題數(shù)量

試卷M1M2M3全國(guó)甲卷文科320理科310全國(guó)乙卷文科311理科231新高考Ⅰ卷031新高考Ⅱ卷320總計(jì)14123

由表3可知，高考試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的考查以知識(shí)理解和知識(shí)遷移為主，主要考查學(xué)生在熟悉情境中 運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題或選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的能力；對(duì)知識(shí)創(chuàng)新水平的考查為輔，弱化對(duì)學(xué)生建構(gòu)模型以解決非常規(guī)問(wèn)題的要求．

3 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題在高考試卷中的命題特征

3.1 以個(gè)人生活為媒介，解決身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面．學(xué)生將個(gè)人生活中所遇到的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋找合適的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，體驗(yàn)在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行科學(xué)決策的過(guò)程，既能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，更能讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)．

圖1

例1

(2022年數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷(文科)第19題)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖1所示：底面

ABCD

是邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，△

EAB

,△

FBC

，△

GCD

，△

HDA

均為正三角形，且它們所在的平面都與平面

ABCD

垂直.(1)證明：

EF

∥平面

ABCD

；

3.1.3 保證柴油機(jī)冷卻及潤(rùn)滑效果。要定期處理冷卻水腔中的污垢，保證柴油機(jī)濾清器的暢通運(yùn)行，并且定期添加冷卻液及潤(rùn)滑油。品質(zhì)良好的冷卻油及潤(rùn)滑液能夠有效減小氣缸套的磨損，延長(zhǎng)柴油機(jī)的使用壽命。

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的 厚度).

評(píng)析 本題以綜合實(shí)踐活動(dòng)中封閉的包裝盒設(shè)計(jì)為背景，第(1)小題需分析題中的幾何關(guān)系，分別取

AB

,

BC

中點(diǎn)為點(diǎn)

M

,

N

，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得

EM

∥

FN

，再根據(jù)

AB

=

BC

、△

EAB

和△

FBC

為正三角形得

EM

=

FN

，從而判定四邊形

EMNF

為平行四邊形，得到

EF

∥

MN

，最后根據(jù)線面平行的判定定理可證得

EF

∥平面

ABCD

；第(2)小題需將該幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，可知包裝盒的容積為長(zhǎng)方體體積減去四個(gè)全等三棱錐的體積，其中長(zhǎng)方體底面積即為正方形

ABCD

的面積、高為△

EAB

的中線長(zhǎng)可得長(zhǎng)方體的體積三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為4 cm的等腰直角三角形、高即為長(zhǎng)方體的高，可得一個(gè)三棱錐的體積則包裝盒的容積該題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、補(bǔ)形法、棱錐體積公式等知識(shí)，在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)的同時(shí)，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決個(gè)人生活中的真實(shí)問(wèn)題，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．

3.2 以社會(huì)生活為素材，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的社會(huì)功用，發(fā)展關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)作為一門被廣泛使用的學(xué)科，可以幫助人們?cè)谏鐣?huì)生產(chǎn)中搜集與處理信息、描述現(xiàn)象、探索規(guī)律，從而提高生產(chǎn)效率．高考數(shù)學(xué)試題通過(guò)真實(shí)的社會(huì)生活情境讓學(xué)生建立一些基于數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)濟(jì)模型和社會(huì)模型，用模型的思想尋找生產(chǎn)中的最優(yōu)解，既使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)價(jià)值創(chuàng)造、生產(chǎn)力發(fā)展的重要作用，又讓學(xué)生形成了解決社會(huì)生產(chǎn)問(wèn)題的能力．

例2

(2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第4題)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0 km；水位為海拔157.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0 km，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時(shí)，增加的水量約為

A.1.0×10mB.1.2×10m

C.1.4×10mD.1.6×10m

評(píng)析 本題以南水北調(diào)工程中某水庫(kù)的蓄水量計(jì)算為背景，學(xué)生需要將上升的水位高度轉(zhuǎn)化為棱臺(tái)的高

h

=

h

-

h

=157.5-148.5=9(m)，將水位為海拔157.5 m和海拔148.5 m時(shí)相應(yīng)水面的面積轉(zhuǎn)化為棱臺(tái)的上下底面面積

S

和

S

，代入棱臺(tái)體積公式計(jì)算出水庫(kù)增加的水量約為

V

=1.4×10m．該題主要考查棱臺(tái)的體積公式，指向?qū)W生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展，并讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)提高社會(huì)生產(chǎn)效率的重要作用．

3.3 以數(shù)學(xué)文化為載體，重走數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之路，體現(xiàn)古人智慧

圖2

例3

(2022年數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷(理科)第8題)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖是以

O

為圓心、

OA

為半徑的圓弧，

C

是

AB

的中點(diǎn)，

D

在上，

CD

⊥

AB.

“會(huì)圓術(shù)”給出弧長(zhǎng)的近似值

s

的計(jì)算公式：當(dāng)

OA

=2，∠

AOB

=60°時(shí)，

s

=( ).評(píng)析 本題以《夢(mèng)溪筆談》中計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”為背景，需要學(xué)生理解“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)計(jì)算公式，根據(jù)

OA

=

OB

=2和∠

AOB

=60°推導(dǎo)出△

AOB

為正三角形，故

AB

=2，連結(jié)

OC

得根據(jù)

C

是

AB

的中點(diǎn)、

CD

⊥

AB

，則延長(zhǎng)

DC

可得

O

在

DC

上，由

D

在上知

OD

=2，故

CD

代入公式即得該題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、圓弧長(zhǎng)度的計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，并讓學(xué)生體會(huì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深．

3.4 以科學(xué)研究為線索，實(shí)現(xiàn)學(xué)科深度融合，彰顯學(xué)科地位

數(shù)學(xué)是進(jìn)行科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)理論的發(fā)展使得眾多科學(xué)問(wèn)題得到解決，加快了人們認(rèn)識(shí)自然、認(rèn)識(shí)世界的進(jìn)程．高考試題依托科學(xué)研究的背景，要求學(xué)生提取科學(xué)信息中的關(guān)鍵要素，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型以解決復(fù)雜科學(xué)問(wèn)題、闡釋科學(xué)規(guī)律，顯化數(shù)學(xué)模型的科學(xué)含義，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科與科學(xué)學(xué)科的深度融合，不僅有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，更能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的工具性和技術(shù)性價(jià)值．

例4

(2022年數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷(理科)第4題)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列依此類推，其中

α

∈

N

(

k

=1,2,…),則( ).A

.b

<

b

B

.b

<

b

C

.b

<

b

D

.b

<

b

評(píng)析 本題以研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值為背景，要求學(xué)生根據(jù)題目條件理解數(shù)列{

b

}中的

α

，根據(jù)作差法或不等式的性質(zhì)比較數(shù)列各項(xiàng)的大小關(guān)系，通過(guò)排除法得到結(jié)論．該題主要考查數(shù)列各項(xiàng)大小的比較、數(shù)列的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)科學(xué)發(fā)展的重要作用．

4 提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)建議

4.1 加強(qiáng)整體設(shè)計(jì)，挖掘優(yōu)質(zhì)建模問(wèn)題情境

研究發(fā)現(xiàn)，目前指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題在高考試卷中已占有一定比重(17～29分)，高考試題以個(gè)人生活、社會(huì)生活、科學(xué)研究、數(shù)學(xué)文化中的相關(guān)問(wèn)題為背景，引導(dǎo)學(xué)生解決身邊的、社會(huì)中的復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題，探究科學(xué)研究、數(shù)學(xué)典籍中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想．日常教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)建模情境，提升情境的真實(shí)水平，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)關(guān)系、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型以解決問(wèn)題．具體來(lái)看，首先，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)建模情境必須是真實(shí)且有意義的，例如以提高新冠肺炎檢測(cè)效率為問(wèn)題情境開(kāi)展分布列內(nèi)容的教學(xué)；其次，數(shù)學(xué)建模問(wèn)題情境必須是與學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)、思維水平相匹配的挑戰(zhàn)性問(wèn)題，例如引入放射性物質(zhì)衰減的問(wèn)題情境開(kāi)展指數(shù)函數(shù)的教學(xué)；最后，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題情境必須是學(xué)生感興趣的、能夠激發(fā)學(xué)生問(wèn)題解決積極性的，例如以探究民間折紙藝術(shù)中對(duì)折次數(shù)與對(duì)折后總面積的關(guān)系為問(wèn)題情境進(jìn)行數(shù)列求和內(nèi)容的教學(xué)．

4.2 探索融入方式，優(yōu)化數(shù)學(xué)建模教學(xué)路徑

高考試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題的問(wèn)題情境與學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程基本是緊密聯(lián)系的，例如，給出某一林區(qū)樹(shù)木根部橫截面積與材積量的數(shù)據(jù)，要求學(xué)生建立模型計(jì)算兩者的樣本相關(guān)系數(shù)．因此，教師應(yīng)探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)的合適路徑，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．具體看，有三種教學(xué)路徑：其一，在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的過(guò)程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，例如，在解三角形教學(xué)過(guò)程中，可引入測(cè)量旗桿高度的問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用解三角形的知識(shí)建立模型解決問(wèn)題；其二，在數(shù)學(xué)方法教學(xué)的過(guò)程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，例如可以引入推測(cè)未來(lái)人口數(shù)量的問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用歸納法建立模型解決問(wèn)題；其三，在數(shù)學(xué)思想內(nèi)化的過(guò)程中，可引入計(jì)算太陽(yáng)系某行星運(yùn)動(dòng)軌道的問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想建立模型解決問(wèn)題．

4.3 開(kāi)發(fā)課程資源，推動(dòng)真實(shí)建模過(guò)程發(fā)生

指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題通過(guò)還原現(xiàn)實(shí)生活情境，如調(diào)查垃圾分類講座效果、統(tǒng)計(jì)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，考查學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想表達(dá)、解決生產(chǎn)生活中復(fù)雜問(wèn)題的能力．為提升學(xué)生應(yīng)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的能力，教師應(yīng)整合可用的課程資源，帶領(lǐng)學(xué)生走出課堂，挖掘生產(chǎn)生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)元素，在開(kāi)展個(gè)人決策、社會(huì)調(diào)查、科學(xué)研究、數(shù)學(xué)典籍閱讀等活動(dòng)的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)生活、科技進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展的作用，使學(xué)生具體化、情景化、體驗(yàn)化、互動(dòng)化地感知和參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，切實(shí)理解復(fù)雜問(wèn)題、現(xiàn)象背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，推動(dòng)真實(shí)數(shù)學(xué)建模過(guò)程的發(fā)生，從而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．以“某市階梯電價(jià)的設(shè)計(jì)”項(xiàng)目為例，教師可要求學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)卷，隨機(jī)調(diào)查若干小區(qū)住戶的月用電量；接著，根據(jù)調(diào)查所獲得的數(shù)據(jù)查閱資料、訪談專家以探究階梯電價(jià)分檔、臨界值的設(shè)定原則和方法，建構(gòu)某市階梯電價(jià)設(shè)定模型；最后，隨機(jī)選取居民開(kāi)展調(diào)查，檢驗(yàn)、闡釋所建構(gòu)模型的科學(xué)性．學(xué)生在解決真實(shí)項(xiàng)目問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，建立起解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維框架，從而有效發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

4.4 完善教學(xué)評(píng)價(jià)，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地

數(shù)學(xué)高考試題是開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的重要導(dǎo)向．研究發(fā)現(xiàn)，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高考試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平的評(píng)價(jià)已涉及知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新水平，學(xué)生需要努力理解試題中的真實(shí)情境，才能順利建立模型以解決問(wèn)題．與之相適應(yīng)的，教師應(yīng)在日常教學(xué)過(guò)程中通過(guò)教學(xué)評(píng)價(jià)幫助學(xué)生理解真實(shí)問(wèn)題情境及其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，使數(shù)學(xué)建模試題中的真實(shí)問(wèn)題情境成為學(xué)生解決日常數(shù)學(xué)問(wèn)題的“必需品”而非“附屬品”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平．具體看，可以根據(jù)數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)、高考數(shù)學(xué)建模試題的具體特點(diǎn)，以知識(shí)理解和知識(shí)遷移水平為主、知識(shí)創(chuàng)新水平為輔，按比例設(shè)計(jì)不同素養(yǎng)水平的數(shù)學(xué)建模習(xí)題，從而確保學(xué)生既不會(huì)因?yàn)槔斫怆y度過(guò)大而對(duì)數(shù)學(xué)建模試題產(chǎn)生畏懼心理，也不會(huì)因數(shù)學(xué)知識(shí)與真實(shí)情境結(jié)合膚淺生硬而失去解決真實(shí)問(wèn)題、提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的機(jī)會(huì)．