唐 毅 劉曉麗

(江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué) 212016)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界．”“提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式．”“讀-研-寫”能夠很好地讓學(xué)生在用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)思維思考并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，可以有效地豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

解三角形是高考中的基本考點之一，難度適中，常與三角恒等變換、平面幾何、向量、基本不等式等相關(guān)知識交匯與綜合，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)、建模求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想．而破解三角形問題的關(guān)鍵是尋找切入點，借助已有知識、經(jīng)驗，激活思維，落實四基，培育素養(yǎng)．特別是高三備考階段，對于難度系數(shù)不大的模塊，如何改變“枯燥無味”的課堂環(huán)境？如何營造積極的課堂氛圍？本文以一道教材習(xí)題的教學(xué)為例進(jìn)行闡釋．

1 習(xí)題呈現(xiàn)

圖1

(蘇教版《必修第二冊》第11章“章末測試”第14題)如圖1，在△

ABC

中，求

AD

的長．

此題三角形外形簡潔，內(nèi)涵豐富，思考空間大．

2 背景

高三備考中“回歸教材”必不可少．上題出現(xiàn)在單元檢測中，從學(xué)生的解答情況來看，大部分學(xué)生選擇使用正、余弦定理的常規(guī)解法；從得分率來看，本班得分率只有89.93%，對于基礎(chǔ)較好的班級來說，這樣的基礎(chǔ)題得分并不理想．究其原因是部分學(xué)生的方法過于單一，缺少對問題的追根溯源和對基本解題活動經(jīng)驗的積累．但此時如果教師繼續(xù)講解原題，大部分學(xué)生并不感興趣，對于此題筆者的處理是“不詳解”，但課堂上作變式訓(xùn)練，對解題視角進(jìn)行多維度的探究與思考，以激發(fā)全體學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，營造良好的課堂氛圍．從課堂效果來看，超出了筆者的預(yù)期，課堂上學(xué)生積極思考，認(rèn)真傾聽，追根溯源，詳細(xì)記錄．

3 變式探究

圖2

如圖2，在△

ABC

中，為

BC

中點，∠

CAD

=45°，∠

BAD

=30°，求

AD

的長．

本題考查解三角形問題，題目平和簡潔，蘊含的數(shù)學(xué)知識、方法、技能豐富，是一道值得深入探究的題目，與上述教材習(xí)題相似度較高．課堂實踐具體如下：

視角1——正、余弦定理

解法1

(大、小三角形結(jié)合)在△

ABC

中，由正弦定理，得即①．在△

ABD

中，由正弦定理，得即②．

將①代入②，得

圖3

解法2

(利用互補角)設(shè)∠

ADC

=

α

，在△

ACD

中，由正弦定理，得即①．在△

ABD

中，由正弦定理，得即

BD

sin

α

=

AB

sin 30° ②．由①②及

CD

=

BD

，得

AB

=2．在△

ABC

中，由余弦定理，得在△

ABD

中，由余弦定理，得解得或(舍去)，故

評析

由于所給的已知條件是一些邊角關(guān)系，大部分學(xué)生首選常規(guī)思路——正弦和余弦定理．解法1巧用中點，借助余弦定理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸，求得

AD

的長．解法2巧用“互補角”，“互補角”在教材11.1節(jié)的例6證明角平分線定理時使用過．再結(jié)合正、余弦定理，解方程求得

AD

．但

AD

的兩解需要綜合三角形邊角關(guān)系“大邊對大角，小邊對小角”的原理進(jìn)行取舍，是學(xué)生的難點和易錯點．利用正、余弦定理建立邊角關(guān)系，有利于培育學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

視角2——坐標(biāo)化

解法3

(利用特殊角)以

AB

所在直線為

x

軸，點

A

為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系(圖4)，則

圖4 圖5

解法4

(利用對稱性)以

AD

所在直線為

x

軸，點

A

為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系 (圖5)，則

C

(1,1)．由Rt△

CDE

≌Rt△

BDF

得又由得故

評析

建立平面直角坐標(biāo)系，將“形”的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的運算．解法3巧用特殊角，借助∠

BAD

=30°得

AD

=2

y

，再由中點得2

y

=

y

，輕松求解．解法4巧用三角形全等，易得

y

=-

y

，由向量共線求得點但若有學(xué)生以線段

AC

所在直線為

x

軸，建立平面直角坐標(biāo)系，情況將變得復(fù)雜，求解困難．在此可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注如何選擇建系位置．用代數(shù)方法研究幾何問題，這里坐標(biāo)化的滲透有助于后續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何，強化四基四能的同時，有助于培育數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

視角3——等面積

解法5

(利用算兩次)由點

D

是

BC

中點，可得

S

△=

S

△，即即

評析

由于中點的出現(xiàn)，兩個小三角形面積相等，利用斜三角形面積公式得

AB

=2，再結(jié)合大三角形面積，算兩次，可以求得

AD

的長．這里有助于學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的發(fā)展．

視角4——平面向量

解法6

(向量數(shù)形結(jié)合)已知及與夾角為75°，只需要求得

AB

長度(見解法2或解法5等)．

評析

向量集“數(shù)”與“形”于一身，是溝通幾何、三角、代數(shù)的天然橋梁．蘇教版教材中余弦定理的獲得也是基于平面向量的背景，這里可以將三角形中的邊角關(guān)系還原到向量背景中探究，簡化運算．將三角形問題轉(zhuǎn)化為平面向量，能培育學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．

視角5——平面幾何

解法7

(利用倍長中線)如圖6，延長

AD

到

T

，使得

DT

=

AD

，連結(jié)

BT

，則△

ACD

≌△

TBD

．在△

ABT

中，由正弦定理得

解法8

(利用斜化直)如圖7，作

CE

⊥

AD

于

E

，

BF

⊥

AD

于

F

，則Rt△

CDE

≌Rt△

BDF

．在Rt△

ACE

中，

CE

=

AE

=1，在△

ABF

中，

圖6 圖7

評析

處理平面幾何問題時經(jīng)常要引入輔助線，這對學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)要求較高．倍長中線以及構(gòu)造直角三角形，都是學(xué)生初中研究的重點內(nèi)容．解法7倍長中線再結(jié)合正弦定理一步到位求得

AD

長．解法8通過平面幾何知識構(gòu)造直角三角形，借助三角形全等求得

AD

長；也可以分別過

B

和

D

作

AC

的垂線(或者分別過

C

和

D

作

AB

的垂線)，“斜化直”構(gòu)造直角三角形．關(guān)注幾何圖形，可以避開復(fù)雜運算，有助于培育學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．

圖8

一節(jié)課愉快且充實地度過，學(xué)生再次詳細(xì)地經(jīng)歷了解三角形問題的常見突破視角(圖8)的思考過程．下課時部分學(xué)生觸類而通，興奮地告訴筆者，對于教材的第14題他還有很多解法，如利用互補角、坐標(biāo)化、平面幾何等等，課堂效率明顯提高．

4 幾點思考

教學(xué)實踐中，筆者經(jīng)歷了“青澀—成熟—骨干”的成長過程，也遇見過“迷?！?，迷茫于面對高考的重壓，學(xué)生總想著“節(jié)約”時間多做題，“節(jié)約”甚至到了課堂，主要體現(xiàn)在：老師講評作業(yè)(或練習(xí))，學(xué)生不想“浪費”時間聽，特別是自己做對的題目．面對這樣一種“課堂現(xiàn)象”，筆者反復(fù)思考，如何改變學(xué)生“不聽講”的狀態(tài)？如何讓學(xué)生主動思考？通過數(shù)學(xué)課堂學(xué)生到底獲得了什么？如何讓學(xué)生自然生成解法？

(1)多傾聽，再激活

解題不僅僅要“解答正確”，還要追求思路清晰、推理嚴(yán)謹(jǐn)、表達(dá)流暢、過程簡捷．適當(dāng)優(yōu)化課堂教學(xué)活動，從不同角度審視題目，多視角、多層面地思考與探究，激活舊知，開拓思路，掌握規(guī)律，積累解題經(jīng)驗，完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．解題切入口也要適合學(xué)情，順應(yīng)學(xué)生的思維自然地開展，讓學(xué)生感受到自己的思考是有效的，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心．從學(xué)生的已有知識積累和解題經(jīng)驗出發(fā)，從“淺層次”著手，層層遞進(jìn)，不斷“喚醒”學(xué)生，不斷地把數(shù)學(xué)知識與技能轉(zhuǎn)化為分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

(2)常反思，勤總結(jié)

高三學(xué)生對解三角形題目往往不屑于深究，但從整體來看，并沒有達(dá)到應(yīng)有的學(xué)習(xí)結(jié)果．試想，如果本節(jié)課筆者仍在原題上切入互補角、坐標(biāo)化、平面幾何、向量等解三角形的常用方法，大部分學(xué)生會覺得自己已經(jīng)做對了，不需要再繼續(xù)研究了，可能一節(jié)課下來學(xué)生的知識增長幾乎為零．?dāng)?shù)學(xué)知識的內(nèi)部縱橫交錯，即使問題成功解決也需要反思回顧，加強對問題的深層研究，為數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流創(chuàng)造機(jī)會．

(3)重過程，育素養(yǎng)

本文的例題解答方法較多，但不同方法之間所用的思維、運算、表述、時間、書寫等成本大不相同．對比不同的解決方案，能優(yōu)化解題思路、提高解題效率，同時發(fā)展核心素養(yǎng)．當(dāng)然，核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，它貫穿于每一個教學(xué)環(huán)節(jié)之中，教師的每一次教學(xué)活動都應(yīng)該為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)．我們要學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，研讀教材，揭示數(shù)學(xué)知識內(nèi)部規(guī)律、聯(lián)系，明晰訓(xùn)練方向，研究學(xué)生得失，提升學(xué)生能力；調(diào)整課堂教學(xué)策略，優(yōu)化課堂教學(xué)環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)教學(xué)“讀-研-寫”在行動，具體地說就是：引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會主動思考，學(xué)會傾聽和閱讀老師或同伴的想法及過程，并以此為契機(jī)深入研究，將數(shù)學(xué)理解、解題回顧和方法反思等用自己的語言形成文字表達(dá)，及時總結(jié)研究成果．后期學(xué)生通過閱讀自己的寫作內(nèi)容，能很快地進(jìn)行思維上的銜接和聯(lián)系，有助于延續(xù)性學(xué)習(xí)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)．本文提及的問題不難，但仍需我們從中反思，希望能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一點借鑒．