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        談一道高中數(shù)學(xué)教材經(jīng)典習(xí)題的解法*

        2022-08-18 09:52:50北京豐臺(tái)二中
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年15期
        關(guān)鍵詞:題設(shè)畫圓雙曲線

        ?北京豐臺(tái)二中

        甘志國

        1 談一道高中數(shù)學(xué)教材經(jīng)典習(xí)題的解法

        解:與教材[1]配套使用的《教師教學(xué)用書》[2](2020年8月第1次印刷)第193頁給出的該題解答是:

        由題設(shè)可求得a=2,于是由雙曲線的定義可得||MF1|-|MF2||=4.又因?yàn)閨MF1|=5,所以所求|MF2|的值是1或9.

        高中數(shù)學(xué)教材[1]、[3]~[5]的習(xí)題中均給出了下面的題2,且與這些教材配套使用的《教師教學(xué)用書》中給出的解法也相同,可見其“經(jīng)典”之程度.

        題2如果雙曲線4x2-y2+64=0上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1,那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.

        不妨設(shè)|PF1|=1,因而|PF2|=17.

        A.11 B.9 C.5 D.3

        解:B.由所給雙曲線的方程及雙曲線的定義,可得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=3,可得|PF2|=-3或9(舍去負(fù)值),所以|PF2|=9.

        解:11.由所給雙曲線的方程及雙曲線的定義,得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=5,可得|PF2|=-1或11(舍去負(fù)值),所以|PF2|=11.

        “正值保留、非正值舍去”這種檢驗(yàn)方法似乎完整無誤,果真如此嗎?請(qǐng)看另一道高考題:

        該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi);若不正確,將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi):.

        答案:|PF2|=17.

        疑問:為什么得到的|PF2|的正值“1”又要舍去呢?難道題1~4的解法有誤或者有不嚴(yán)謹(jǐn)之處,答案有錯(cuò)嗎?

        我們要知道下面的常識(shí):不是通過等價(jià)轉(zhuǎn)化得到的答案都要檢驗(yàn).如果得到了兩兩互異的n(n∈N*)個(gè)答案,則檢驗(yàn)的結(jié)果有2n種可能:恰有其中的0個(gè)答案滿足題設(shè),或恰有其中的1個(gè)答案滿足題設(shè),……,或恰有其中的n個(gè)答案滿足題設(shè).比如,當(dāng)不是通過等價(jià)轉(zhuǎn)化得到了兩個(gè)不同的答案(記作λ,μ)時(shí),檢驗(yàn)的結(jié)果有四種可能:λ,μ均不滿足題設(shè)(此時(shí)原問題無解);λ滿足題設(shè),但μ不滿足題設(shè)(此時(shí)原問題有唯一解:解是λ);λ不滿足題設(shè),但μ滿足題設(shè)(此時(shí)原問題有唯一解:解是μ);λ,μ均滿足題設(shè)(此時(shí)原問題有且僅有兩個(gè)解:解是λ,μ).對(duì)兩個(gè)答案λ,μ均要檢驗(yàn),絕不能說“若λ不滿足題設(shè),則μ就滿足題設(shè)”.

        圖1

        因此,題1~4的解法均有誤,并且《教師教學(xué)用書》[2]給出的題1的答案也是錯(cuò)誤的(理由見后面的論述):錯(cuò)誤在于檢驗(yàn)方法“正值保留、非正值舍去”不對(duì)(在下文的題7中,得到的兩個(gè)正值均應(yīng)舍去).

        若點(diǎn)M在該雙曲線的右支上,由該雙曲線的右支向左凸,可得|MF1|≥|A2F1|=|A2O|+|OF1|=2+4=6,與題設(shè)|MF1|=5矛盾.所以點(diǎn)M在該雙曲線的左支上,因而|MF1|<|MF2|.

        再由雙曲線的定義,可得||MF1|-|MF2||=|MF2|-|MF1|=|MF2|-5=4,|MF2|=9.

        由圖1可看出,雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的取值范圍不是(0,+∞),右支上的動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的取值范圍也不是(0,+∞),這正是以上檢驗(yàn)方法“正值保留、非正值舍去”的錯(cuò)誤原因.

        2 一般情形的結(jié)論及其應(yīng)用

        (用減元法、三角換元法、雙曲線的焦半徑公式均可獲證.)

        由定理1及其證明,可得下面的兩個(gè)推論:

        推論1如圖2所示,設(shè)雙曲線Γ的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,左焦點(diǎn)是F1.則有:

        (1)若以F1為圓心,|F1A1|為半徑畫圓Ω,則除點(diǎn)A1外雙曲線Γ左支上的點(diǎn)均在圓Ω外;

        (2)若以F1為圓心,|F1A2|為半徑畫圓Ω′,則除點(diǎn)A2外雙曲線Γ右支上的點(diǎn)均在圓Ω′外.

        圖2

        注:在圖2中,由圓及雙曲線的凹凸性,可得推論1(2)顯然成立,但推論1(1)不能僅由看圖得出.

        (1)當(dāng)c-a≤r

        (2)當(dāng)r≥c+a時(shí),點(diǎn)P到雙曲線Γ的另一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值集合是{r-2a,r+2a}.

        證明:不妨設(shè)點(diǎn)P到雙曲線Γ的左焦點(diǎn)F1的距離是|PF1|=r,雙曲線Γ的右焦點(diǎn)是F2.

        (1)當(dāng)c-a≤r

        (2)當(dāng)r≥c+a時(shí),由定理1可得點(diǎn)P可在雙曲線Γ的左支上,也可在雙曲線Γ的右支上.

        若點(diǎn)P可在雙曲線Γ的左支上,由雙曲線的定義,可得||PF1|-|PF2||=|PF2|-|PF1|=|PF2|-r=2a,|PF2|=r+2a;若點(diǎn)P可在雙曲線Γ的右支上,由雙曲線的定義,可得||PF1|-|PF2||=|PF1|-|PF2|=r-|PF2|=2a,|PF2|=r-2a≥c-a.進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

        (1)若|PF1|=17,則|PF2|=;

        (4)若|PF1|=r(r>0),則|PF2|=.

        解:依題意可得|PF1|-|PF2|=±16,再由推論2可得所求答案分別是:

        錯(cuò)誤解法:由題設(shè)及雙曲線的定義,可得||PF1|-|PF2||=||PF2|-25|=22,|PF2|=3或47.

        正確解法:因?yàn)殡p曲線Γ的實(shí)半軸長a=11,半焦距c=61,所以由定理1可得|PF1|≥c-a=50,與題設(shè)|PF1|=25矛盾!所以本題的答案是“不存在”.

        還可把推論1加強(qiáng)為:

        圖3

        筆者于2011年發(fā)表的文[7]還得到了關(guān)于拋物線、橢圓的相應(yīng)結(jié)論(下面的表述略有改動(dòng)):

        定理3[7]如圖4所示,以點(diǎn)C(t,0)(t>0)為圓心,|CO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為半徑畫圓Ω,則除點(diǎn)O外拋物線Γ:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)均在圓Ω外的充要條件是0

        圖4

        圖5

        圖6

        圖7

        推論3如圖7所示,設(shè)橢圓Γ的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,左焦點(diǎn)是F1.

        (1)若以F1為圓心,|F1A1|為半徑畫圓Ω,則除點(diǎn)A1外橢圓Γ上的點(diǎn)均在圓Ω外;

        (2)若以F1為圓心,|F1A2|為半徑畫圓Ω′,則除點(diǎn)A2外橢圓Γ上的點(diǎn)均在圓Ω′內(nèi).

        注:推論3的兩個(gè)結(jié)論均不能由圖7直接得出.

        題8已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)是A,橢圓上存在點(diǎn)P使OP⊥PA,求該橢圓離心率的取值范圍.

        c2cos2θ-a2cosθ+a2-c2=0.

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