張 玲 李錦棚 高妙仙

(1. 福州大學經濟與管理學院， 福建福州 350108；2. 福州大學數字中國研究院， 福建福州 350108)

一、引言

地震災害問題一直在世界范圍內受到關注，由于地震發(fā)生的頻率以及損害程度無法準確估計，一旦發(fā)生嚴重地震災害時通常波及范圍大，影響時間長。在地震發(fā)生之后，政府或應急管理部門需要快速啟動救援系統，保障災民的生命財產安全，同時需要向這些受到災害侵襲的地區(qū)和人員運送充足的物資來應對危機。而在眾多救援物資中，血液資源是一種稀缺但對人體生命健康非常重要的醫(yī)療物資。在地震發(fā)生后，大量傷員的輸血治療會導致短期內血液需求量劇增，給受災地的應急血液保障帶來嚴峻挑戰(zhàn)。但是血液的來源非常有限，對血液制品需求只能通過日常存儲的血液以及災后臨時收集的血液來滿足。因此，優(yōu)化災后的血液供應網絡，使其既能夠有效保障傷員的生命健康，又能平衡好社會成本，對應急管理工作具有重要的現實意義。

在實際救援情況中，受救援環(huán)境的復雜性以及需求的隨機性等現實因素的影響，物資分配與實際需求不匹配、物資短缺或高度冗余、救援效率差等現象很容易發(fā)生。為了處理這種不確定性，一些學者研究了不同的決策方法，包括隨機優(yōu)化和魯棒優(yōu)化。隨機優(yōu)化理論假設不確定變量服從某一特定的分布情況，求得期望值最優(yōu)的結果，例如Ensafian等(1)Ensafian H.,Yaghoubi S.,Modarres Yazdi M.,“Raising quality and safety of platelet transfusion servicesin a patient-based integrated supply chain under uncertainty”，Computers & Chemical Engineering,vol.106(2017),pp.355-372.、Gunpinar等(2)Gunpinar S., Centeno G.,“Stochastic integer programming models for reducing wastages and shortages of blood products at hospitals”,Computers & Operations Research, vol.54(2015),pp.129-141.、Ghatreh Samani等(3)Ghatreh Samani M.R.,Torabi S.A., Hosseini-Motlagh S-M.,“Integrated blood supply chain planning for disaster relief”,International Journal of Disaster Risk Reduction, vol.27(2018),pp.168-188.分別假設不確定變量服從泊松、伽馬和均勻分布，研究血液的庫存問題。傳統魯棒優(yōu)化則不考慮不確定變量的分布情況、旨在找到最壞情況下最優(yōu)的結果，例如董海等使用魯棒優(yōu)化方法找到不確定變量最壞情況下使總成本以及血液儲存量最小的結果。(4)董海、吳瑤、齊新娜：《基于改進差分鯨魚優(yōu)化算法的血液供應鏈網絡多目標魯棒優(yōu)化設計》，《計算機應用》2021年第8期。周愉峰等從國家層面的血液戰(zhàn)略儲備角度思考，運用魯棒優(yōu)化的思想，以血液保障及時度最高為目標，建立國家血液戰(zhàn)略儲備庫選址-庫存模型。(5)周愉峰、李志、劉思峰：《基于隨機p-魯棒優(yōu)化的國家血液戰(zhàn)略儲備庫選址-庫存模型》，《中國管理科學》2018年第10期。然而，隨機優(yōu)化對于不確定變量分布的選擇具有主觀性，并沒有考慮到不確定變量分布情況也具有隨機性，而魯棒優(yōu)化對于不確定變量的處理完全不考慮隨機性。分布式魯棒優(yōu)化則結合隨機優(yōu)化與魯棒優(yōu)化的特點，旨在找出最壞分布情況下最優(yōu)的方案。Wang等研究了在只有少量歷史觀測數據的情況下采用分布式魯棒優(yōu)化災害后的血液供應網絡，對血液庫存預部署和救援活動提供指導。(6)Wang C., Chen S.,“A distributionally robust optimization for blood supply network considering disasters”,Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review, vol.134(2020).Qiu等考慮在需求不確定性和供應中斷的情況下，通過對一些設施故障或連接線路中斷引起的供應中斷場景概率進行描述，采用分布式魯棒優(yōu)化進行求解。(7)Qiu R.,Wang Y.,“Supply Chain Network Design under Demand Uncertainty and Supply Disruptions: A Distributionally Robust Optimization Approach”,Scientific Programming, vol.106 (2016),pp.1-15.然而不管是隨機優(yōu)化還是分布式魯棒優(yōu)化均為風險中性決策(即僅考慮期望值，傳統魯棒優(yōu)化則是極度厭惡風險決策)，沒有考慮決策者的風險偏好，并不適用于現實情況，決策者的風險偏好會對決策行為產生重大影響，因此需要把決策者的風險規(guī)避特征引入到血液供應網絡的研究中。

對于選擇怎樣的風險度量方法來有效地度量決策者的風險規(guī)避特征，目前廣泛使用的是風險價值方法(VaR)，該方法最初由Philippe提出，被廣泛運用于金融投資領域。(8)Philippe Jorion ,Value at Risk:The Benchmark for Controlling Market Risk,New York: McGraw-Hill,2000.但由于VaR方法無法預測臨近的不利事件并且計算困難，在此基礎上Rockafellar提出了條件風險價值方法(CVaR)，它可以有效降低概率事件對決策方案的影響，彌補了VaR不滿足次可加性、未考慮尾部風險等缺陷。(9)Rockafellar R.T.,Uryasev S.,“Conditional value-at-risk for general loss distributions”,Journal of banking & finance,vol.26(2002),pp.1443-1471.簡惠云等使用CVaR工具分析了具有風險偏好零售商的條件風險值及最優(yōu)訂貨決策。(10)簡惠云、許民利：《基于CVaR的供應鏈契約及其實驗研究》，《管理科學學報》2015年第10期。黃金波等使用CVaR工具構建風險優(yōu)化模型和風險對沖模型，實現風險的估計與風險的管理同步進行。(11)黃金波、李仲飛、姚海祥：《基于CVaR核估計量的風險管理》，《管理科學學報》2014年第3期。然而，Wan等發(fā)現CVaR方法僅考慮了低于分位數的平均收益值，忽略了高于分位數的部分，這使得決策者的決策目標偏低，整體預期利潤也有所下降。(12)Wan Y.,Clutter M.L.,Mei B.,et al.,”Assessing the role of U. S. timberland assets in a mixed portfolio under the mean conditional value at risk framework”,European Journal of Operational Research,vol.50(2015),pp.118-126.為了改進CVaR方法的缺陷，陳宇科等采用均值-CVaR方法分析了閉環(huán)供應鏈成員在分散決策和聯合決策時的最優(yōu)決策，驗證了均值-CVaR比CVaR更能提高零售商的訂貨量和利潤。(13)陳宇科、熊龍、董景榮：《基于均值-CVaR 的閉環(huán)供應鏈協調機制》，《中國管理科學》2017年第2期。尚春燕等使用均值-CVaR方法研究制造商創(chuàng)新情形下回購契約供應鏈的訂貨及協調機制，通過比較也證明了均值-CVaR方法的優(yōu)勢之處。(14)尚春燕、關志民、米力陽：《基于均值-CVaR 的回購契約供應鏈創(chuàng)新協調機制》，《工業(yè)工程》2019年第5期。然而上述文獻都是通過對風險的度量研究金融投資領域或者傳統供應鏈協調領域，缺乏對應急管理領域的應用研究。

綜上所述，以往的文獻對于如何將風險度量方法引入應急血液供應網絡的研究較少。因此本文將采用“均值-CVaR”方法來度量風險規(guī)避的應急決策者，使用分布式魯棒優(yōu)化方法優(yōu)化災后臨時獻血點選址決策。本文的主要貢獻如下：

(1)對應急物資中的細分領域——血液資源進行研究，拓展了我國應對突發(fā)災害事件物資儲備領域的研究類型；

(2)應急決策者可以根據自身規(guī)避風險的程度，利用模型進行決策；

(3)所提出的應急血液供應網絡配置決策方法具有通用性和可擴展性，可為未來災害發(fā)生后進行快速響應和高效處置提供科學化的理論指導和決策支持。

二、血液供應網絡規(guī)劃模型描述

(一)問題描述

本文研究的血液供應網絡節(jié)點包括固定獻血點、臨時獻血點、血站和需求點醫(yī)院(圖1)。獻血點作為供給方，醫(yī)院作為需求點，當災害發(fā)生后的第一階段，由于血站以及醫(yī)院自身的血液儲存量可能無法滿足醫(yī)院的需求，因此政府或應急管理部門需要根據災害情形判斷是否組織獻血以及是否啟用候選點增加血液供給。獻血點可以分固定采血點以及臨時獻血點。固定獻血點(如獻血屋、獻血車)日常存在，可以大量采血，負責血站的日常血液供應；臨時獻血點采集的血液量比固定獻血點少，它是在災難發(fā)生后從多個候選點中被選出而建立的。獻血點將收集來的血液運送到血站進行處理。

圖1 血液供應網絡

為了減少易腐血液的額外運輸并節(jié)省生命周期的時間，將處理血液的工作集中在血站，血站會對這些血液樣本進行記錄、檢測和分揀，并將全血通過離心分解為血液制品(如血漿、血小板和紅細胞等)，在災害發(fā)生的第二階段，血站需要根據醫(yī)院各自的需求將血液制品運送到醫(yī)院。

(二)模型假設

集合：

I：固定獻血點i集合，i∈I；

J：臨時獻血點j集合，j∈J；

K：血站k集合，k∈K；

H：醫(yī)院h集合，h∈H；

M：血液制品種類m集合，m∈M。

參數：

Fj：臨時獻血點j的建設成本(包括獻血車輛的征用以及采血設備的配置)；

B：建設費用總預算；

Op：每單位血液的采集成本(包括血袋、采血前初篩、衛(wèi)生耗材，以及發(fā)給獻血者的紀念物禮品等)；

Ob：每單位血液的運營成本(包括血站對血液的檢測、血液成分制備、人工成本、水電費、專用設備折舊，以及一些相關的間接成本)；

Cik：每單位血液從固定獻血點i到血站k的運輸費率；

Cjk：每單位血液從臨時獻血點j到血站k的運輸費率；

Ckh：每單位血液從血站k到醫(yī)院h的運輸費率；

ui：固定獻血點i采血上限；

uj：臨時獻血點j采血上限；

Rkm：災前血站k擁有血液制品m的安全庫存量；

rkm：災前醫(yī)院h擁有血液制品m的安全庫存量；

w：單位血液的過剩成本；

p：單位血液的懲罰成本；

φm：各種血液制品m占全血比例；

dhm：醫(yī)院h對每種血液制品m的需求量。

決策變量：

Xj：臨時獻血點j是否被啟用，是則為1，否則為0；

Oik：從固定獻血點i采集全血運往血站k的數量；

Ojk：從臨時獻血點j采集全血運往血站k的數量；

Okhm：從血站k運往醫(yī)院h各種血液制品m的數量；

Rehm：醫(yī)院h處每種血液制品m過剩的數量；

Shhm：醫(yī)院h處每種血液制品m短缺的數量。

目標函數：

在災難發(fā)生后，應急管理決策者需評估血站血液儲存量是否足以應對災后急劇上升的血液需求量，并決定是否建立臨時獻血點擴大血液供給。因此，第一階段的成本函數包括：臨時獻血點的建設成本、運輸成本以及血液的采集與運營成本。第一階段目標函數如下式所示：

(1)

(1-1)

(1-2)

(1-3)

Xj∈{0，1},Oik(Ojk∈R+)

(1-4)

其中，約束(1-1)表示固定獻血點最大血液采集量約束；約束(1-2)表示建設臨時獻血點不能超過預算；約束(1-3)表示只有被選擇的候選臨時獻血點才能進行采集，同時臨時獻血點不能采集超過其所能采集的最大血液量；約束(1-4)為各決策變量的取值范圍約束。

在決策好第一階段臨時獻血點的候選位置Xj后，第二階段的成本函數包括：短缺成本、未滿足的懲罰成本以及運輸成本。第二階段目標函數如下式所示：

(2)

(2-1)

(2-2)

Okhm,Rehm,Shhm∈R+

(2-3)

其中，約束(2-1)表示血站運往醫(yī)院的血液量不能超過其加工的血液量和安全庫存，約束(2-2)表示每個醫(yī)院血液供應、短缺、剩余之間的關系，約束(2-3)表示各決策變量的取值范圍約束。

綜上所述，本文分別闡述了兩階段涉及的目標函數項及約束條件，如果能精準觀測到災后醫(yī)院對血液的應急需求的分布fd，那么就可以用隨機規(guī)劃的方法建立模型：

在血液供應網絡構建時，主要困難之一是災后的應急血液需求信息是不確定的。Wang等使用的隨機規(guī)劃需要大量歷史數據來獲取需求值的概率分布，在災害數據極為稀缺的情況下，會增加概率分布的預測的誤差，對決策的有效性會造成較大影響。(15)Wang B., Najjar L., Xiong N N., et al.,“Stochastic Optimization: Theory and Applications”,Journal of Applied Mathematics, vol.2013(2016),pp.1-2.Bertsimas等采用魯棒優(yōu)化的方法描述血液供應網絡中的不確定性，但是魯棒優(yōu)化僅考慮隨機變量的最壞情況，得到的決策過于保守。(16)Bertsimas D .,Brown D.B., Caramanis C.,“Theory and Applications of Robust Optimization”,SIAM Review,vol.53(2011),pp.464-501.因此在考慮完整的概率分布信息無法獲取但是可以獲取部分需求分布信息的情況下，本文選擇Delage等提出的分布式魯棒優(yōu)化求解。分布式魯棒旨在尋求血液需求量概率分布最糟糕情況下目標函數的最小值。(17)Delage E., Ye Y.,“Distributionally Robust Optimization Under Moment Uncertainty with Application to Data-Driven Problems”,Operations Research, vol.58(2010),pp.595-612.

(三)分布式魯棒血液供應網絡構建

采用分布式魯棒優(yōu)化得到血液供應網絡模型(DRO)如下：

s.t.(1-1)～(1-4)

其中，該模型構建一個概率分布集合D，它包含需求的概率分布被稱為模糊集，其中N表示訓練集的規(guī)模，ε表示魯棒參數。

(4-1)

分布式魯棒優(yōu)化尋找需求量概率分布最糟糕情況下的最優(yōu)決策，其本質上還是風險中性決策，沒有考慮決策者的風險偏好，然而決策者的風險偏好會對決策行為產生重大影響，因此需要對風險進行度量完善決策的合理性。

(四)基于均值-CVaR分布式魯棒血液供應網絡構建

風險價值VaR是在給定的置信度下，資產或者證券組合可能遭受的最大可能損失值，描述了相應的損失分布的分位數，但是其無法估計最大損失之外的額外損失，沒有考慮極端情況，不能很好刻畫尾部風險。CVaR預測了極端風險情況，描述了超過VaR值部分的超額損失的平均值，但是該方法僅考慮了低于分位數的平均收益值，忽略了高于分位數的部分，這使得決策者的決策目標偏低，整體預期利潤也有所下降。因此本文采用均值-CVaR來度量風險規(guī)避的決策者。均值-CVaR工具常用于金融投資領域，它期望利潤和CVaR的凸組合，最大化風險規(guī)避決策者的期望利潤。運用均值-CVaR工具建立模型如下：

(5)

其中，α∈[0,1)稱為風險規(guī)避因子，表示風險偏好；α=0表示風險中性；α→1表示高度規(guī)避風險。η表示置信水平α下π(X,O,d)最大的損失水平。λ∈[0,1]表示兩者的權衡比重，λ=0表示決策者風險中性，0<λ<1表示預期成本與CVaR的凸組合，λ=1表示決策者高度風險厭惡。

將目標函數化簡得到：

(6)

根據Efd[π(X,O,d)]的強對偶性，可得：

(7)

綜上所述，兩階段分布式魯棒優(yōu)化模型可以表示為：

(8)

s.t.(1-1)～(1-4)

三、數值實驗

本文選擇使用Python第三方庫rsome進行求解。rsome是一種開源Python包，用以處理各種優(yōu)化問題，可以利用許多外部的最優(yōu)化求解器，形成一種統一的建模求解語言，實現建模和算法二者的分離，被廣泛運用于魯棒優(yōu)化和分布式魯棒優(yōu)化的求解中。(18)Chen Z., Sim M., Xiong P.,“Robust Stochastic Optimization Made Easy with RSOME”,Management Science,vol.66(2020),pp.3329-3339.本文的數值實驗中運用rsome建模，調用Gurobi求解模型，平均運算時間為487.81秒。

(一)實例背景

本文以2010—2020年四川省成都市應對地震災害為背景進行應急血液供應災后選址問題研究(圖2)。選擇成都市11個區(qū)級以上的血液收集地作為固定的獻血點，并選取成都市6個大型血站進行血液存儲。由于血液制品種類較多，選取其中3種需求量較大的產品，分別為紅細胞、血小板、血漿。選取成都市30家三甲醫(yī)院作為血液需求點。

圖2 案例背景

臨時獻血點的建設成本包括臨時獻血車的調用以及采血設備的使用，假設建設成本為30000元，建設成本預算為200000元。

血液的采集成本包括血袋、采血前初篩、衛(wèi)生耗材，以及發(fā)給獻血者的紀念物禮品等，血液的運營成本主要是血站對血液的檢測、血液成分制備、人工成本、水電費、專用設備折舊，以及一些相關的間接成本。參考海南省2016年血液中心公開采供血成本數據，血液的采集成本為74.53元/U，血液的運營成本為270.09元/U。(19)王東亞：《無償獻血，為何會有償使用？幫您算算一袋血的成本賬——海南省血液中心公開采供血成本》，《南國都市報》(數字報)2016年9月28日。

成都市固定獻血點有11個，位于成都市各個區(qū)，收集血液的上限與各地覆蓋人口相關。根據國家衛(wèi)健委公布的2020年人均獻血率為1.12%，人均獻血量在300ml—400ml之間，各固定獻血點獻血量上限如表1所示。

表1 獻血量上限

成都市臨時獻血點候選地有8個，位于成都市各市以及縣，各臨時獻血點獻血量上限如表2所示。

表2 獻血量上限

根據Kochan等的研究，災后的單位血液短缺成本數據為857元/U，災后多余血液單位處理成本為361.15元/U。(20)Kochan C.G., Kulkarni S.S., Nowicki D.R.,“Efficient Inventorying and Distribution of Blood Product During Disasters”,in Advances in Managing Humanitarian Operations. Springer,Cham,2016,pp.185-204.各血液制品占全血比例如表3所示。

表3 血液制品占全血比例

(二)計算結果

通過改變參數α和λ的值可以衡量不同決策者風險規(guī)避的程度。本文設置魯棒參數ε=10*N-1/10，比較不同α和λ下，對總成本的影響(圖3)。

圖3 不同風險規(guī)避程度下總成本比較

將臨時獻血點彭州市、都江堰市、崇州市、大邑縣、邛崍市、蒲江縣、簡陽市、金堂縣分別標記為候選地(1)—(8)。不同α和λ下，選擇啟用的臨時獻血點如表4所示。

表4 不同風險規(guī)避程度下啟用臨時獻血點

通過圖3以及表4可知，當權衡比重λ下降時，DRO模型的最佳目標值減小，因為CVaR在目標函數中的比例變小。隨著決策者風險厭惡程度的上升(即α上升)，災后血液供應網絡總成本開始逐步上升，并且隨著候選地址的逐步開放，總成本開始趨向平穩(wěn)，直到α→1,此時決策者高度厭惡風險，得到過度保守解，成本達到最高。在預算范圍內啟動所有的候選地點包括：彭州市、都江堰市、崇州市、邛崍市、簡陽市、金堂縣。從地理位置上來講這些地方不僅距離血站較近，同時人口基數較多可以收集更多的血液。

通過改變α和λ的值進一步測試期望值與CVaR之間的變化，通過圖4及圖5可知，風險規(guī)避程度高的期望成本(即α較高)總是高于風險規(guī)避程度低的期望成本，CVaR的趨勢也同樣如此，從λ=0.5之后期望成本開始達到平穩(wěn)狀態(tài)，此時啟用所有候選地址，并且在較高的風險規(guī)避程度下，權衡比重λ對成本的影響更為突出。

圖4 不同風險規(guī)避程度下期望成本比較

圖5 不同風險規(guī)避程度下CVaR比較

設置魯棒參數ε=10*N-1/10，α=0.7，λ=0.9下分布式魯棒模型供給醫(yī)院血液數量為DRO*，魯棒優(yōu)化模型為RO*，隨機優(yōu)化模型假設不確定需求分布為均勻分布設為SP*(表5)。本文設置5個訓練集，各醫(yī)院需求量為DEM*，計算各模型平均需求未滿足量GAP，令由表5以及圖6、7、8可以看出使用分布式魯棒優(yōu)化模型可以顯著降低血液產品的未滿足率。魯棒優(yōu)化模型由于其過度保守性，會選擇在最壞情況下進行決策，因此在供給不足的情況下，該模型選擇將產品優(yōu)先供給其中幾個醫(yī)院，導致其他醫(yī)院需求未滿足率上升，因此在該優(yōu)化模型下平均未滿足率較高。隨機優(yōu)化模型相較于分布式魯棒優(yōu)化模型，在降低紅細胞未滿足率上性能相似，但是在優(yōu)化血小板以及血漿的未滿足率上有顯著提升。

表5 各模型下各產品需求未滿足率

圖6 不同模型下各醫(yī)院紅細胞平均未滿足率

圖7 不同模型下各醫(yī)院血小板平均未滿足率

圖8 不同模型下各醫(yī)院血漿平均未滿足率

四、總結

在災后安全救援的過程中對血液需求進行預測是十分困難的。但為了保證血液的充足供應，盲目加大采血不僅會增加過剩血液的報廢成本，而且會加重社會負擔，造成血液資源的浪費。本文考慮大規(guī)模自然災害事件發(fā)生后應急血液需求具有不確定性的特點，利用分布式魯棒優(yōu)化處理不確定性，達到模型魯棒性與經濟性之間的均衡，同時引入均值-CVaR工具來度量風險規(guī)避的決策者。應急決策者可以根據自身風險承受能力選擇相應的方案，為應急救災工作提供參考和決策支持。

未來將考慮血液的更多特性，例如多種類型血液之間的互相替代性、血液供應不穩(wěn)定等特性，以及地震災害下資源成本、路徑中斷等不確定性，并結合災害強度以及受災可能性，進行應急血液供應鏈網絡選址問題的后續(xù)研究。