張拴娥

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055)

畢達哥拉斯模糊集已被廣泛應(yīng)用在解決多屬性問題中。Garg[1]研究了猶豫畢達哥拉斯模糊信息的Maclaurin對稱平均算子及其應(yīng)用，Rong等[2]研究了語言畢達哥拉斯模糊信息的Einstein算子及其應(yīng)用，Deng等[3]研究了二元語言畢達哥拉斯模糊信息的Heronian算子及其應(yīng)用，Liang等[4]研究了區(qū)間畢達哥拉斯模糊信息的Bonferroni算子及其應(yīng)用。由于實際問題的復(fù)雜性和不確定性,已提出的畢達哥拉斯模糊集不能準(zhǔn)確地表達評價信息。區(qū)間二元語言能夠有效避免語言評價信息在集結(jié)過程中出現(xiàn)信息損失的問題，提高了語言信息集結(jié)結(jié)果的精確性。將語言集與畢達哥拉斯模糊集相結(jié)合，提出的區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊集不僅可以全面地表達決策信息，而且能更好地反映問題的特點。為滿足決策的需要，本文的評價信息以區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊數(shù)的形式給出。

目前已有的多屬性決策相關(guān)方法大多是建立在決策者完全理性的基礎(chǔ)上。但在現(xiàn)實中，往往由于問題本身具有的不確定性以及決策者認知的局限性，無法達到完全理性。由此，Gomes等[5]以前景理論為依據(jù)，提出了交互式多準(zhǔn)則決策方法(TODIM)，該方法一經(jīng)提出，便受到了學(xué)者的關(guān)注。Ding等[6]研究了基于區(qū)間猶豫模糊環(huán)境的TODIM方法，Zhang等[7]研究了基于二元語言畢達哥拉斯環(huán)境的TODIM方法，張燕等[8]研究了基于猶豫畢達哥拉斯環(huán)境的TODIM方法，Huang等[9]研究了基于區(qū)間語言畢達哥拉斯環(huán)境的TODIM方法。因為在復(fù)雜環(huán)境下時間和計算復(fù)雜度的提高不利于TODIM實現(xiàn)，所以需要對TODIM方法進行優(yōu)化。主成分分析模型(PCA) 能夠在較大限度保留原始數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上，對高維變量進行集成和簡化，能夠更集中、更典型地反映研究對象的特征，在工程管理、風(fēng)險投資、城市綜合實力評價等眾多領(lǐng)域得到廣泛研究和推廣。Liu等[10]研究了基于直覺模糊主成分分析模型的復(fù)雜多屬性群決策方法，黃利文[11]研究了基于理想點的主成分分析法在綜合評價中的應(yīng)用，Xian等[12]研究了基于主成分分析模型在地震應(yīng)急方案中的應(yīng)用。

目前基于區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊主成分分析的TODIM多屬性決策問題鮮有研究，本文為了能夠獲得更加合理的屬性和決策者的權(quán)重，并消除多個變量之間的相關(guān)性，構(gòu)造區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊主成分分析模型(I2PFLV-PCA)；提出基于區(qū)間二元語言畢達哥拉斯主成分分析的TODIM方法解決復(fù)雜的多屬性問題；將此方法與傳統(tǒng)的TODIM方法以及Wei等[13]提出的聚合算子方法進行比較分析。

1 預(yù)備知識

定義1[14]稱二元組(si,αi)為二元語言評價值，其中,si表示集合S的第i個語言變量，αi∈[-0.5,0.5)為符號轉(zhuǎn)移變量，用來表示與評價信息si的偏差。

定義2[13]設(shè)評價信息λ為實數(shù)，可通過函數(shù)Δ將λ轉(zhuǎn)換為二元語言信息：

其中round(λ)表示四舍五入取整算子。存在逆映射Δ-1，使得Δ-1(si,αi)=i+αi=λ。

定義3[15]設(shè)有二元語言(si,αi)和(sj,βj)，si,sj∈S,αi,βj∈[-0.5,0.5)且(si,αi)≤(sj,βj)，則稱[(si,αi),(sj,βj)]為區(qū)間二元語言。運用函數(shù)Δ可以獲得與區(qū)間數(shù)Δ[λ1,λ2]，λ1,λ2∈[0,1],λ1≤λ2對應(yīng)的區(qū)間二元語言：Δ([λ1,λ2])=[(si,αi),(sj,βj)],其中，i=round(λ1),j=round(λ2),α=λ1-i,β=λ2-j。同樣存在函數(shù)Δ-1,將二元語言變量轉(zhuǎn)化成[λ1,λ2]，Δ-1[(si,αi),(sj,βj)=[λ1,λ2]。

2 區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊集

[μL(x),μU(x)],[νL(x),νU(x)]|x∈X>。

其中:0≤(μU(x))2+(νU(x))2≤1;α(x),β(x)∈[-0.5,0.5)。

定義5設(shè)X是論域，S是有限語言集，區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊集

]|xi∈X>(i=1,2)的運算律：

其中:

定義6設(shè)X是論域,S是有限語言集，

(1)

式中：l為語言變量的值；A1=Δ-1(sa1(x1),α1(x1))；A2=Δ-1(sa2(x2),α2(x2))；B1=Δ-1(sb1(x1),β1(x1))；B2=Δ-1(sb2(x2),β2(x2))；

證明性質(zhì)(1)證明：

性質(zhì)(3)證明：

|Q1B1-P1B2+P1B2-P1B3|+

|Q2A1-P2A2+P2A2-P3A3|+

|Q2B1-P2B2+P2B2-P3B3|)≤

定義7設(shè)X是論域，S是有限語言集,

(i=1,2,…,n)是區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊集，區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊加權(quán)平均算子(I2PFLWAζ)和加權(quán)幾何算子(I2PFLWGζ)是

的映射，分別表示為：

(2)

(3)

3 區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊變量的統(tǒng)計特征

給出變量的均值、差值、方差以及協(xié)方差的定義及其計算公式。

(4)

(5)

(6)

(7)

4 區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)

1)語言變量的標(biāo)準(zhǔn)化

2)區(qū)間隸屬度非隸屬度的標(biāo)準(zhǔn)化

對于矩陣Y第k列，令γk=min{μL(xik),νL(xik)}，通過公式

γk,νU(xik)-γk]轉(zhuǎn)化得到新的變量。然后

通過公式計算

得到新的隸屬度非隸屬度。

5 I2PFLV-PCA TODIM方法的應(yīng)用

5.1 I2PFLV-PCA TODIM方法的決策步驟

(8)

式中：

(9)

Zj(j=1,2,…,m)的累積優(yōu)勢度表示為

步驟6計算累積優(yōu)勢度矩陣。

(10)

總優(yōu)勢度φ(Zi)(i=1,2,…,m)為

(11)

步驟7計算總值Γ(Zi)(i=1,2,…,m)。

(12)

總值最大的方案是最理想的方案。

5.2 案例分析

到目前為止，預(yù)測火災(zāi)發(fā)生的時間和地點過于困難，因此火災(zāi)應(yīng)急計劃的選擇是非常迫切和必要的，這有助于減少損失。本文將I2PFLV-PCA模型TODIM方法應(yīng)用于緊急決策。

火災(zāi)應(yīng)急決策有四種備選方案。四個決策者Di(i=1,2,3，4),用語言集S={si|i∈[0,8]}對四個初步設(shè)計方案Zj(j=1,2,3,4)進行評價，以確保決策的科學(xué)性。在評價階段，每個方案考慮六種屬性，這些屬性包括：C1準(zhǔn)備能力，C2救援能力，C3恢復(fù)能力，C4組織能力，C5響應(yīng)時間，C6經(jīng)濟效率。

表1 決策矩陣Ri(i=1,2,3,4)Tab. 1 Decision matrix Ri(i=1,2,3,4)

根據(jù)公式(7)得到屬性的樣本協(xié)方差矩陣，見表2。基于協(xié)方差矩陣，求屬性主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率，見表3。由表3可知前三個主成分的累積貢獻率大于85%，充分表達了原始屬性中包含的大部分信息。

表2 屬性協(xié)方差矩陣Tab.2 Attribute′s covariance matrix

表3 屬性主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率Tab.3 Eigenvalues,eigenvectors,and CCRs of attribute PCs

(s0.422,0.072)],[0.046 6,0.053 3],[0.232,0.268 5]>。

根據(jù)公式(7)得到?jīng)Q策者的樣本協(xié)方差矩陣，見表4。基于協(xié)方差矩陣，求出決策者主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率，見表5。由表5可知前2個主成分的累積貢獻率大于85%，充分表達了原始決策者中包含的大部分信息。

表4 決策者的協(xié)方差矩陣Tab.4 Decision maker′s covariance matrix

表5 決策者主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率Tab.5 Eigenvalues,eigenvectors,and CCRs of decision maker PCs

(s1.570 1,0.143 9)],[0.302 4,0.320 2],[0.849 4,0.947 3]>。

M1=

M2=

累積優(yōu)勢矩陣

步驟6根據(jù)公式(11)計算總優(yōu)勢度φ(Zi)。

(φ(Z1),φ(Z2),φ(Z3),φ(Z4))T=AωD= (-1.778 3,-0.672 9,1.443 7,-1.725 5)T。

步驟7根據(jù)公式(12)計算備選方案Zi(i=1,2,3,4)的總體值Γ(Zi)(i=1,2,3,4)。

(Γ(Z1),Γ(Z2),Γ(Z3),Γ(Z4))T=

(0,0.343 1,1,0.016 4)T,

最終排序：Z3?Z2?Z4?Z1。

5.3 對比分析

為了進一步說明本文所提出方法的有效性，將該方法與傳統(tǒng)的TODIM方法，以及Wei等[13]提出的加權(quán)幾何算子聚合方法進行比較。

利用最大離差法確定權(quán)重。計算得出屬性權(quán)重ωC=(0.153 0,0.136 7,0.184 8,0.182 6,0.184 1,0.158 9)T和決策者權(quán)重ωD=(0.253 3,0.275 6,0.278 4,0.192 6)T。

首先根據(jù)傳統(tǒng)的TODIM方法，計算得到總優(yōu)勢度φ(Zi)(i=1,2,3,4)：

計算備選方案Zi(i=1,2,3,4)的總體值Φ(Zi)(i=1,2,3,4)：

(Φ(Z1),Φ(Z2),Φ(Z3),Φ(Z4))T=

(0.381 5,0,1,0.902 7)T。

得到最終排序：Z3?Z4?Z1?Z2。

然后應(yīng)用Wei等[13]提出的聚合方法計算。由于篇幅限制，本文僅給出C1屬性下各方案的聚合結(jié)果：

(s3,-0.164)],[0.470，0.611],[0.316,0.667]>,

[0.530,0.656],[0.347,0.483]>。根據(jù)得分函數(shù)計算每個方案得分值:

得到最終排序：Z3?Z4?Z1?Z2。

對比分析可知，利用I2PFLV-PCA的TODIM方法，傳統(tǒng)的TODIM方法以及Wei等[13]提出的聚合方法計算，得出最優(yōu)方案均為Z3，驗證了本文方法的有效性。Wei等[13]采用直接聚合的方法,沒有考慮極值對最終結(jié)果的影響,可能會得到不合理的結(jié)論。而本文所提出的方法在運算過程中將語言評價值采用平均值,這使決策過程更加科學(xué)合理。將傳統(tǒng)的TODIM方法和I2PFLV-PCA的TODIM方法進行對比可以得出，如果存在多重共線性，傳統(tǒng)的TODIM方法可能會得出不同的排序結(jié)果。本文提出的I2PFLV-PCA的TODIM方法的優(yōu)點：(1)I2PFLV-PCA模型不僅有效地對數(shù)據(jù)進行降維，消除變量之間的相關(guān)性，并且可以獲得合理的權(quán)重，這對TODIM方法非常重要；(2)I2PFLV-PCA的TODIM方法考慮了決策者的心理行為，能夠在決策中獲得更加精確的排序結(jié)果。

6 結(jié)論

1)區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊數(shù)能夠更加準(zhǔn)確地描述決策者的評價信息，所以本文的評價信息以區(qū)間二元語言畢達哥拉斯模糊數(shù)的形式給出。

2)為了克服多重共線性，降低變量間的相關(guān)性，本文提出了I2PFLV-PCA模型，可以獲得客觀的關(guān)于屬性和決策者的權(quán)重。

3)將I2PFLV-PCA模型和傳統(tǒng)的TODIM方法相結(jié)合，提出的基于I2PFLV-PCA的TODIM方法，不僅用來處理大量的區(qū)間二元畢達哥拉斯模糊數(shù)數(shù)據(jù)，并且成功地描述了決策者在決策過程中的心理行為。

4)通過將本文提出的方法與傳統(tǒng)的TODIM方法，以及Wei等[13]提出的聚合方法進行對比分析，驗證了基于I2PFLV-PCA的TODIM方法的有效性和實用性。本文所提出的方法為解決復(fù)雜多屬性決策問題提供了一種思路。