陳爐云,鄧乃旗,楊 念

（1.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064）

0 引 言

理論分析和數(shù)值計(jì)算是艦船結(jié)構(gòu)聲振特性預(yù)報(bào)的主要方法。對于艦船系統(tǒng)這樣的復(fù)雜對象，即使實(shí)施精確的數(shù)字建模也存在一定的偏差，這些偏差不是由于設(shè)計(jì)或建造的錯(cuò)誤因素所導(dǎo)致的，而是由結(jié)構(gòu)固有屬性所決定。由于存在著不確定性因素，結(jié)構(gòu)響應(yīng)參數(shù)僅是真實(shí)結(jié)果的近似值，兩者間的偏差可能超出設(shè)計(jì)許可，并可能導(dǎo)致重大工程風(fēng)險(xiǎn)。在艦船結(jié)構(gòu)建造過程中，存在著影響其聲振特性的固有的、具有隨機(jī)特性的影響參數(shù)，即建造因素不確定性。由于存在建造因素不確定性，使得艦船結(jié)構(gòu)聲振特性參數(shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)具有一定概率密度分布的隨機(jī)變量，這表明在一定建造工藝水平下，不能消除該不確定性對系統(tǒng)的影響，即使提高工藝水平也只能使不確定性區(qū)間變窄而不能消除。建造因素不確定性包括材料參數(shù)不確定性、幾何尺寸不確定性、邊界條件不確定性、初始條件不確定性、操作環(huán)境不確定性、載荷不確定性等[1-4]。當(dāng)結(jié)構(gòu)中存在多個(gè)不確定性輸入?yún)?shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的預(yù)測值與實(shí)際值會存在巨大的偏差[5-7]。

對于結(jié)構(gòu)聲振特性不確定性問題，需評估各參數(shù)的不確定性對最終響應(yīng)的影響，并用概率統(tǒng)計(jì)方法對這些影響進(jìn)行描述以獲得綜合影響程度。針對已知概率密度分布的不確定性輸入，采用數(shù)學(xué)模型將輸入不確定性參數(shù)傳導(dǎo)給輸出響應(yīng)，獲得輸出參數(shù)的概率分布特征。不確定性問題的主要計(jì)算方法包括攝動法[8]、蒙特卡洛法[9]、可靠性分析法[10]、響應(yīng)面法[11]和譜分解方法[12]等等。譜分解方法在處理高斯分布和非高斯分布問題的計(jì)算效率方面有一定優(yōu)勢。為解決非高斯分布和參數(shù)協(xié)方差未知問題，廣義多項(xiàng)式混沌方法（generalized polynomial chaos,GPC）成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)。

本文將GPC 法應(yīng)用于圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動的不確定性分析，將自由振動不確定性研究范圍從隨機(jī)載荷不確定性方面擴(kuò)展到考慮建造因素的不確定性問題。在文中建立自由振動不確定性分析模型，將結(jié)構(gòu)建造因素中的不確定性傳導(dǎo)并反映到圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性概率密度分布。研究成果可用于考慮建造質(zhì)量影響的艦艇結(jié)構(gòu)聲振特性的預(yù)報(bào)與控制。

1 廣義多項(xiàng)式混沌方法

1.1 廣義多項(xiàng)式混沌方法概述

在不確定性分析中，標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量的選擇將影響計(jì)算收斂性和截?cái)囗?xiàng)數(shù)，選擇最佳匹配多項(xiàng)式可提高計(jì)算效率，如表1 所示。在聲振特性不確定性計(jì)算中，采用Hermite 多項(xiàng)式擬合不確定性參數(shù)較為合適，其最高階為3次。

表1 不確定參數(shù)對應(yīng)的最佳多項(xiàng)式類型Tab.1 Uncertain parameter types and the corresponding orthogonal polynomials

1.2 廣義多項(xiàng)式混沌方法的隨機(jī)投影

選定多項(xiàng)式類型后，定義隨機(jī)空間(Ω,γ,P)，其中Ω是總樣本空間、γ是樣本空間中的σ域、P是事件概率。對于隨機(jī)空間，空間中任意不確定性變量χ可表示為

式中，Ψi為隨機(jī)正交基，xi為待定系數(shù)。隨機(jī)正交基Ψi是一組含有隨機(jī)向量ξ的多項(xiàng)式，它們滿足正交性條件：

1.3 廣義多項(xiàng)式混沌方法的求解

應(yīng)用廣義多項(xiàng)式混沌方法，將結(jié)構(gòu)中建造非確定性因素作為輸入?yún)?shù)通過結(jié)構(gòu)控制方程傳遞到輸出的響應(yīng)結(jié)果中，開展非高斯分布的隨機(jī)問題求解。

應(yīng)用GPC 法求解不確定性問題的步驟為：（1）將不確定性參數(shù)表示成多項(xiàng)式混沌展開式形式，求解該展開式系數(shù)；（2）用廣義多項(xiàng)式混沌表達(dá)式表達(dá)不確定性輸入?yún)?shù)和所求解響應(yīng)結(jié)果；（3）將輸入?yún)?shù)不確定性通過結(jié)構(gòu)的隨機(jī)控制方程傳導(dǎo)至輸出參數(shù)中，求得響應(yīng)表達(dá)式中的未知系數(shù)。GPC法求解過程如圖1所示。

圖1 基于GPC的求解過程示意圖Fig.1 GPC-based solving flow chart

設(shè)結(jié)構(gòu)聲振方程滿足線性條件，將圖1所示的求解步驟應(yīng)用于結(jié)構(gòu)聲振特性不確定性分析中，需獲得結(jié)構(gòu)中輸入?yún)?shù)（如材料密度、板殼厚度、肋骨型號等）的概率密度分布。

通過不確定性傳導(dǎo)功能，將結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性特性傳導(dǎo)至輸出參數(shù)（即結(jié)構(gòu)聲振特性），獲得結(jié)構(gòu)聲振特性概率密度分布，求解過程如圖2所示。

圖2 基于GPC的結(jié)構(gòu)聲振特性不確定性求解Fig.2 Dynamical solution based on GPC

2 不確定性輸入?yún)?shù)

在應(yīng)用GPC進(jìn)行結(jié)構(gòu)聲振特性不確定性求解中，需求解式（4）中待定系數(shù)xi。設(shè)變量χ和ξ處于同一隨機(jī)空間中且具有相同的概率分布，采用Galerkin投影法描述待定系數(shù)xi：

式中，a、b是標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量上、下限。設(shè)式中χ(ξ)為未知函數(shù)，需進(jìn)行隨機(jī)空間轉(zhuǎn)換以獲得不確定性變量χ關(guān)于參數(shù)ξ的表達(dá)式χ=F(ξ)，變換方程如圖3所示。

圖3 不同隨機(jī)分布之間的變換Fig.3 Conversion between uncertain parameters

在圖3 中，不確定性變量χ在隨機(jī)空間Ω1中，概率分布為ρ1(χ)，區(qū)間為[c,d]；隨機(jī)參數(shù)ξ在隨機(jī)空間Ω2中，概率分布為ρ2(ξ)，區(qū)間為[a,b]。不確定性變量χ和標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量ξ間的變換滿足：

對于大多數(shù)隨機(jī)分布函數(shù)，式(7)中隨機(jī)分布函數(shù)F(ξ)并不是一個(gè)顯性表達(dá)式，需引入標(biāo)準(zhǔn)平均分布為中間變量實(shí)現(xiàn)對待定系數(shù)xi的轉(zhuǎn)換方程，將式（7）代入式（6）中，可得

建立不確定性變量χ和標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量ξ對于標(biāo)準(zhǔn)平均分布μ(0,1)的空間變換方程：

3 不確定性傳導(dǎo)方程

3.1 不確定性傳導(dǎo)

在結(jié)構(gòu)聲振特性不確定性分析中，研究輸入?yún)?shù)不確定性對聲振特性的影響，將輸入?yún)?shù)（結(jié)構(gòu)材料、結(jié)構(gòu)幾何尺寸等）的不確定性特性通過運(yùn)動控制方程有效地傳導(dǎo)到輸出參數(shù)（結(jié)構(gòu)響應(yīng)、聲學(xué)響應(yīng)等）概率密度分布中。

在應(yīng)用有限元法進(jìn)行確定性固有頻率系數(shù)λri分析中，涉及確定性剛度矩陣系數(shù)ki、確定性質(zhì)量矩陣系數(shù)mi和確定性振型向量系數(shù)φri。由于涉及大量積分運(yùn)算且非常耗時(shí)，需對傳導(dǎo)方程進(jìn)行改進(jìn)。

3.2 配點(diǎn)法概述

對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)，其變量χ的概率密度分布ρ1(χ)無法通過明確的函數(shù)來表示，采用基于配點(diǎn)法（collection method，CM）結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得ρ1(χ)的概率密度分布具有一定優(yōu)勢。配點(diǎn)法基本原理是基于最小二乘法原理，使兩種預(yù)測結(jié)果間的誤差達(dá)到最小，以確定相關(guān)的不確定性參數(shù)。

求解式（13），獲得廣義多項(xiàng)式混沌系數(shù)xi，進(jìn)而獲得χ的概率密度。配點(diǎn)法可直接避開通過式（8）中復(fù)雜積分運(yùn)算求解系數(shù)的過程，減小計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算量。

3.3 配點(diǎn)法求解響應(yīng)混沌系數(shù)

為提高計(jì)算效率，將配點(diǎn)法和廣義多項(xiàng)式混沌法進(jìn)行結(jié)合，用于作為輸入?yún)?shù)的不確定性變量混沌系數(shù)及作為輸出的結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式中混沌系數(shù)的求解，獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率密度分布，其求解過程如圖4所示。

圖4 配點(diǎn)法求解響應(yīng)混沌系數(shù)Fig.4 Flow chart for obtaining response coefficients based on collocation method

從圖4 可知，應(yīng)用配點(diǎn)法結(jié)合GPC 法求解非確定性問題時(shí)，可避免應(yīng)用確定性剛度矩陣系數(shù)、確定性質(zhì)量矩陣系數(shù)、確定性振型向量系數(shù)求解確定性固有頻率系數(shù)中的推導(dǎo)和計(jì)算。可直接利用成熟有限元商業(yè)軟件進(jìn)行求解，且可依托商業(yè)軟件的計(jì)算優(yōu)勢簡化計(jì)算過程，使計(jì)算效率最大化。

4 數(shù)值分析

4.1 模型概述

以圓柱殼模型為例，采用Galerkin 投影方法確定不確定性參數(shù)，分別采用GPC 法和蒙特卡洛法計(jì)算固有頻率，驗(yàn)證GPC法的正確性。

具有兩端簡支圓柱殼結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)如表2所示。結(jié)構(gòu)材料為鋼，力學(xué)特性為：密度ρ=7860 kg/m3，彈性模量Em=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3。

表2 圓柱殼幾何參數(shù)Tab.2 Cylindrical shell geometry parameters

4.2 彈性模量概率密度

彈性模量概率密度分布圖如圖5所示。

圖5 彈性模量概率密度分布Fig.5 PDF of elastic moduli

4.3 固有頻率概率計(jì)算

基于Hermite 多項(xiàng)式，結(jié)合GPC 法和配點(diǎn)法計(jì)算圓柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率不確定性，計(jì)算步驟為：（1）定義圓柱殼結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料參數(shù)及彈性模量概率密度分布函數(shù)；（2）求解圓柱殼結(jié)構(gòu)的確定性固有頻率解；（3）將不確定性參數(shù)表示成多項(xiàng)式混沌展開式的形式；（4）推導(dǎo)含建造因素的圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動方程；（5）引入隨機(jī)變量，將建造不確定性參數(shù)定義為不確定性變量；（6）基于Hilbert 空間，引入正交基Ψi；（7）應(yīng)用逆冪法（inverse power method）求解自由振動方程的特征值；（8）設(shè)定方程收斂標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行收斂性判斷；（9）應(yīng)用Galerkin投影法求解多項(xiàng)式混沌表達(dá)式中系數(shù)xi；（10）進(jìn)行結(jié)構(gòu)固有頻率非確定性數(shù)值計(jì)算；（11）將計(jì)算結(jié)果與蒙特卡洛法進(jìn)行對比。

圖6 所示為用GPC 和不同模擬次數(shù)的蒙特卡洛法計(jì)算第一階固有頻率值對比，結(jié)構(gòu)固有頻率的變化滿足正態(tài)分布。

圖6 GPC與蒙特卡洛法計(jì)算對比Fig.6 Comparison between GPC and different order MC

圖7 分別為用GPC 法、5000 次模擬蒙特卡洛法計(jì)算的圓柱殼結(jié)構(gòu)前4 階固有頻率的概率密度分布，圖中豎直虛線表示為圖5 中所定義的彈性模量期望值對應(yīng)的固有頻率。

由圖7 可知，不同階結(jié)構(gòu)固有頻率的變化滿足正態(tài)分布。采用GPC 法計(jì)算結(jié)果同蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果具有較好的一致性，GPC 法在求解動力學(xué)問題方面的有效性得到了驗(yàn)證。

圖7 GPC法同5000次模擬蒙特卡洛方法的固有頻率對比Fig.7 Natural frequency comparison between GPC method and 5000 MC

4.4 計(jì)算效率驗(yàn)證

為驗(yàn)證GPC 法計(jì)算效率，對比GPC 法和不同模擬次數(shù)蒙特卡洛法的計(jì)算時(shí)間，如表3所示。

由表3 可知，在計(jì)算精度基本相似情況下，采用5000 次模擬蒙特卡洛法需137 247.6 s，而采用GPC 法僅需要184.2 s，計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于蒙特卡洛法。圖7 和表3 表明，GPC 法在求解實(shí)際大型結(jié)構(gòu)工程不確定性振動問題時(shí)具有明顯的優(yōu)勢和潛力。

表3 GPC法同蒙特卡洛法的計(jì)算時(shí)間對比Tab.3 Consuming time of GPC and Monte Carlo

5 結(jié) 語

本文針對艦艇建造過程中的聲振特性不確定性問題，推導(dǎo)了GPC 法對不確定性參數(shù)的求解公式及不確定性傳導(dǎo)公式。以圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，將GPC 法與有限元數(shù)值方法相結(jié)合開展了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的非確定性分析。通過數(shù)值計(jì)算，驗(yàn)證了所提出方法的可行性和有效性。研究成果可應(yīng)用于艦艇結(jié)構(gòu)聲振特性的精確預(yù)報(bào)，并可為艦艇聲學(xué)質(zhì)量控制提供策略。