謝 旋，李 明，王軍偉，柳新科

（西安科技大學力學系，西安 710054）

0 引 言

船舶在海上航行時會受到強風、海浪等多種因素的影響，發(fā)生傾斜和搖擺運動，如橫搖、縱搖和垂蕩等[1]。在這些牽連運動中，橫搖具有運動劇烈、周期短暫的特點，因此在研究牽連運動對船用旋轉機械系統(tǒng)的影響時應予以重點考慮。雖然船體橫搖頻率遠遠低于氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的工作頻率，但是由橫搖牽連運動產生的科式慣性力會直接影響到氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的垂向和橫向非線性動力學行為，因此研究橫搖作用下的氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的動力學特性具有重要意義。

氣囊-浮筏隔振系統(tǒng)是一種性能優(yōu)異的隔振設備，它可以通過充放氣來調整各氣囊的高度，并且具有固有頻率低、承載能力大、駐波頻率高和無蠕變等特點，被廣泛應用于各種大型機械系統(tǒng)的振動控制。近年來，不少學者在浮筏隔振方面進行了研究，Li[2]建立了具有不同頻率和不同幅值的多個激勵作用下的浮筏系統(tǒng)的動力學模型，基于多尺度法求解幅頻響應方程以及解的不穩(wěn)定區(qū)域；Liu[3]研究了浮筏隔振系統(tǒng)（FRIS）對船用離心泵振動特性的影響；方媛媛[4]采用一種改進的Bingham 模型，推導了非線性磁流變阻尼力表達式，建立了船舶輔機浮筏隔振系統(tǒng)的動力學模型，分析了磁流變阻尼器各參數(shù)對隔振效果的影響規(guī)律；Zhao[5]考慮到基礎激勵源與浮筏隔振系統(tǒng)之間的耦合效應，建立了基礎激勵作用下系統(tǒng)的動力學模型，分析了系統(tǒng)的動力學特性。上述研究在氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的動力學特性及浮筏隔振性能方面進行了比較深入的分析。

目前，關于牽連運動下轉子-軸承系統(tǒng)動力學的研究工作主要集中在機載、車載和艦載等領域，例如，Hou[6-7]考慮了飛機懸停和正弦機動飛行兩種工況，以不同工況下帶有三次非線性彈性支承的轉子系統(tǒng)為研究對象，建立方程進行理論、數(shù)值求解和分岔分析，詳盡分析了機動轉子系統(tǒng)的非線性動力學行為；Briend[8]考慮到汽車渦輪增壓機和飛機渦輪機上機載轉子的振動會受到各種支撐的影響，建立了多種支撐激勵作用下機載轉子的六自由度運動模型并分析了其動力學特性；Han[9-11]建立了包括旋轉、俯仰和偏航運動下的柔性轉子系統(tǒng)的動力學模型，分別對只含一個基本運動和兩個運動耦合下的轉子系統(tǒng)進行了分析，研究了多種參數(shù)激勵對轉子-軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響，提出并驗證了基礎縱搖運動作用下行星齒輪的動力學模型；Zhang[12-13]將基底運動和非線性油膜力耦合，研究了基礎運動對長短軸承假設下非線性油膜力的影響，建立了考慮船舶橫搖和縱搖運動作用下的船用渦輪機轉子系統(tǒng)數(shù)學模型，分析了系統(tǒng)的非線性動力學行為；劉鎮(zhèn)星等[14]考慮到艦船搖擺運動，引入非線性油膜力并利用拉格朗日方程建立了滑動軸承-齒輪副系統(tǒng)的非線性動力學模型以分析其動力學特性，為艦船設計中齒輪箱位置的布置提供參考依據；Han[15]建立了垂蕩和非線性油膜力作用下的轉子-軸承系統(tǒng)的動力學模型，研究了垂蕩作用下船用轉子系統(tǒng)的動力學行為。以上研究工作主要考慮了牽連運動對轉子系統(tǒng)的影響。

動力系統(tǒng)的振動是船舶重要振動噪聲源之一，為了保證艦船的安全性和隱蔽性，一般會采用氣囊-浮筏作為隔振裝置以實現(xiàn)船用動力系統(tǒng)的減振和降噪。船用旋轉機械系統(tǒng)在增加了隔振裝置后，由于受牽連運動的作用，船用轉子—軸承系統(tǒng)的振動情況變得更為復雜，對隔振也提出了更高的要求，因此隔振系統(tǒng)的動力學行為研究及其參數(shù)優(yōu)化顯得非常迫切。本文重點研究橫搖作用下氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的非線性動力學特性。

1 橫搖作用下系統(tǒng)的動力學模型

1.1 系統(tǒng)動力學方程的建立

橫搖作用下氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)模型如圖1 所示。為了更好地研究此問題，作以下假設：（1）只考慮船舶橫搖的作用，船舶橫搖時，始終繞著其旋轉中心O1Z1軸轉動，Z方向的運動應是一致的，q為船舶橫搖角度，船舶平動的位移分別為x0、y0和z0，船舶平動加速度為0；（2）實際工況中氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的安裝位置到旋轉中心有一定的距離，垂向距離用a、橫向距離用b來表示，但為了計算簡便，取a=0，b=0；（3）轉子為剛性軸段，圓盤質量為m1，偏心距為e，轉速為ω，轉子相對于船的垂向位移和橫向位移分別為x1和y1；（4）軸承為短軸承，在船舶橫搖時軸承軸向（Z方向）的行為是一致的；（5）軸承支座及浮筏可看成一個整體，質量為m2，在船舶橫搖過程中，軸承支座及浮筏整體相對于船的垂向位移和橫向位移分別為x2和y2，氣囊垂向、橫向的剛度及阻尼都是線性的，氣囊垂向總剛度為kv，橫向總剛度為kh，氣囊垂向總阻尼因子為cv，橫向總阻尼因子為ch。O0X0Y0Z0是地面上的定坐標系，O1X1Y1Z1是船的平動坐標系，始終與定坐標系平行，O1X1′Y1′Z1′是固定在船上并隨船旋轉的坐標系，即聯(lián)船坐標系[16]。

圖1 船舶橫搖運動和氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of ship rolling motion and a marine rotor system coupled with air bag-floating raft

船舶橫搖時，有坐標轉換矩陣

以轉子為研究對象，在定坐標系中的絕對位移為

式中，橫搖角度θ、轉子相對于船位移x1和y1均與時間t有關。轉子絕對位移ra對時間t求兩次導數(shù)得到絕對加速度aa，根據假設（1），船舶平動無加速度，則絕對加速度為

式中，絕對加速度aa是由相對加速度項、牽連加速度項以及科式加速度項組成。由于轉子只受重力和軸承油膜力，在定坐標系中有合力

1.2 無量綱方程

為了增強所研究內容的適用性，引入特征長度—軸承油膜間隙c、時間尺度—時間t等物理量，對動力學微分方程中的各個物理量進行無量綱處理，相關參數(shù)見表1。

表1 無量綱參數(shù)表達式Tab.1 Expression of dimentionless parameters

對方程進行無量綱化，有以下規(guī)定：x?=dx/dt，y?=dy/dt，θ?=dθ/dt，X′=dX/dτ，Y′=dY/dτ以及θ′=dθ/dτ。假定船體產生橫搖運動的橫搖位移關系式滿足正弦規(guī)律[13，20-21]θ=θmsin(ωz t)，其中，θm是無量綱橫搖幅值，ωz是橫搖頻率。又由τ=ωt，可以把θ表示成關于無量綱時間τ的函數(shù)：

對式（8）進行無量綱化，并與式（11）聯(lián)立得到系統(tǒng)無量綱運動方程：

式中，Ω是轉子無量綱轉速，η是轉子無量綱轉速與無量綱橫搖頻率之比，α是轉子無量綱偏心距，θm是無量綱橫搖幅值，n是質量比，Ωvn和Ωhn分別是軸承支座及氣囊浮筏整體的無量綱垂向、橫向固有頻率，fx和fy為無量綱非線性油膜力。

對式（9）無量綱化，得非線性油膜力的無量綱表達式：

2 非線性動力學分析

考慮到油膜力的強非線性特性，采用4 階Runge-Kutta 方法對無量綱的動力學微分方程進行求解。氣囊浮筏-耦合轉子系統(tǒng)無量綱參數(shù)取值：σ=3、λ=0.2、α=0.05、n=60、Ωvn=0.5、Ωhn=0.5、ζv=0.1及ζh=0.1，轉子轉速W取值范圍為0.6～3.5。船舶發(fā)生橫搖時，主要參數(shù)有幅值和頻率，參數(shù)取值范圍[22]見表2。

表2 船舶橫搖參數(shù)取值范圍Tab.2 Range of ship rolling parameters

2.1 轉子轉速變化對橫搖作用下系統(tǒng)動力學特性的影響

圖2（a）為橫搖幅值θm=0 時，即無橫搖作用時系統(tǒng)位移隨轉子轉速Ω變化的分岔圖。系統(tǒng)隨轉子轉速的增加表現(xiàn)出周期1、周期2、準周期和混沌等典型的非線性動力學特性，具體表現(xiàn)為：轉速小于2.29時，系統(tǒng)呈穩(wěn)定的周期1運動狀態(tài)；隨著轉速的增加，系統(tǒng)運動狀態(tài)由周期1經倍周期分岔到周期2；轉速繼續(xù)增加，系統(tǒng)運動狀態(tài)由周期2 分岔的兩支合為一支，系統(tǒng)呈周期1 運動狀態(tài)；轉速持續(xù)增加，系統(tǒng)發(fā)生準周期分岔，轉子的位移幅值也在持續(xù)增大，系統(tǒng)呈準周期運動狀態(tài)；轉速持續(xù)增加至大于3.43后，最大Lyapunov指數(shù)數(shù)值大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖2 位移Xr隨轉速Ω變化的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)Fig.2 Bifurcation diagram of displacement Xr with speed Ω and its largest Lyapunov exponents

圖2（b）為橫搖幅值θm=0.05、橫搖頻率Ωz=0.01時，橫搖作用時系統(tǒng)位移隨轉子轉速Ω變化的分岔圖。橫搖作用下的轉子系統(tǒng)隨著轉子轉速增加表現(xiàn)出準周期和混沌的非線性動力學特性，表現(xiàn)為：轉速較低時，系統(tǒng)處于準周期運動狀態(tài)；轉速增加至2.29處，準周期由一支分岔為兩支，系統(tǒng)運動狀態(tài)仍是準周期的；轉速繼續(xù)增加至2.61處，準周期分岔的兩支又合為一支，系統(tǒng)處于準周期運動狀態(tài)；轉速持續(xù)增加，系統(tǒng)位移幅值也持續(xù)增加，隨后轉速增加至3.43 處，最大Lyapunov 指數(shù)數(shù)值大于0，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。與無橫搖作用的系統(tǒng)相比，橫搖作用下系統(tǒng)的運動狀態(tài)更為復雜。

圖3～6是橫搖幅值θm=0.05、橫搖頻率Ωz=0.01時，轉子轉速Ω分別為1.11、2.57、2.82和3.48情況下系統(tǒng)的動力學穩(wěn)態(tài)響應。轉子轉速Ω=1.11時，轉子軸心軌跡形似“梭形”，對比垂向和橫向位移變化，橫向的振動幅值更大，龐加萊截面上的點構成了一條封閉曲線；時域響應中轉子位移峰值隨著時間的波動較小，頻域響應中橫搖頻率f0和工作頻率f1=1/2π=0.159 占主要成分，倍頻2f1等存在但占比很小，此時最大Lyapunov指數(shù)為-0.027 71，系統(tǒng)處于準周期運動狀態(tài)。

圖3 θm=0.05、Ωz=0.01、Ω=1.11時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應Fig.3 Steady-state response of the system with θm=0.05,Ωz=0.01,Ω=1.11

圖4 θm=0.05、Ωz=0.01、Ω=2.57時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應Fig.4 Steady-state response of the system with θm=0.05,Ωz=0.01,Ω=2.57

轉子轉速Ω=2.82時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應較之前更為平穩(wěn)，振動幅值減小并趨于穩(wěn)定。這時軸心軌跡圖中轉子的垂向和橫向位移變化對比，轉子垂向振動幅值略大于橫向，龐加萊截面上的點構成了一條封閉曲線；時域響應中位移峰值的波動較小，頻域響應中橫搖頻率f0和工作頻率f1=1/2π=0.159占主要成分，還有倍頻2f1等存在但占比很小，此時最大Lyapunov指數(shù)為-0.008 46，系統(tǒng)處于準周期運動狀態(tài)。

圖5 θm=0.05、Ωz=0.01、Ω=2.82時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應Fig.5 Steady-state response of the system with θm=0.05,Ωz=0.01,Ω=2.82

圖6 θm=0.05、Ωz=0.01、Ω=3.48時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應Fig.6 Steady-state response of the system with θm=0.05,Ωz=0.01,Ω=3.48

圖7 為有無橫搖作用下轉子垂向、橫向振動幅值與轉子轉速關系。這時橫搖作用的幅值θm=0.05，對比無橫搖作用的系統(tǒng)，有橫搖作用的系統(tǒng)垂向、橫向振動幅值都更大。轉子轉速Ω從0.6 至1.11，振動幅值呈增加趨勢；Ω從1.11 至2.3，振動幅值有所減小；Ω從2.3 至2.6，振動幅值突然增加后又減?。沪笍?.6 至3.08，振動幅值稍有增加趨勢；Ω大于3.08 后，振動幅值增加迅速。低轉速時，轉子橫向振動幅值大于垂向；高轉速時，轉子垂向振動幅值大于橫向。

圖7 轉子振動幅值與轉速關系Fig.7 Relationship of rotor vibration amplitudes with speeds

2.2 橫搖幅值對系統(tǒng)動力學特性的影響

圖8為橫搖頻率Ωz=0.01，橫搖幅值θm分別等于0.25、0.45時系統(tǒng)的分岔圖及其最大Lyapunov指數(shù)圖。對比圖2中無橫搖作用和橫搖幅值θm=0.05時系統(tǒng)的分岔圖及其最大Lyapunov 指數(shù)圖，在較大橫搖幅值的情況下，隨著轉子轉速增加，系統(tǒng)仍是在固定的轉速時發(fā)生分岔、并以一確定的轉速進入混沌，由此可見，橫搖幅值的變化并不會影響到系統(tǒng)運動狀態(tài)的改變。

圖8 不同橫搖幅值時位移Xr隨轉速Ω變化的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)Fig.8 Bifurcation diagram of displacement Xr varying with speed Ω and its largest Lyapunov exponents at different roll amplitudes

圖9為不同橫搖幅值條件下轉子垂向振動幅值與轉速的關系。不同橫搖幅值下的轉子垂向振動幅值隨轉速變化的曲線具有相似性。在轉速變化范圍內，大橫搖幅值對應的曲線始終在小橫搖幅值對應的曲線的上方，說明橫搖幅值的增加會使系統(tǒng)的振動幅值增大。

圖9 不同橫搖幅值時垂向振動幅值與轉子轉速關系Fig.9 Relationship between vertical vibration amplitude and rotor speed at different roll amplitudes

圖10 為不同的轉子轉速條件下轉子的垂向振動幅值隨橫搖幅值的變化關系圖。隨著橫搖幅值的增加，垂向振動幅值以曲線的形式增大；在轉速Ω=3.48 條件下，橫搖幅值增加到0.64 時，轉子垂向振動幅值為1，垂向振動幅值等于軸承油膜間隙，轉子與軸承發(fā)生碰撞，大角度的橫搖對高轉速轉子系統(tǒng)運行的安全穩(wěn)定性影響極大；對比圖中轉速Ω=2.57和Ω=2.82時垂向振動幅值與橫搖幅值的關系曲線，θm小于0.5 時，兩條關系曲線幾近重合，θm大于0.5 后，Ω=2.57 對應曲線始終在Ω=2.82 對應曲線的上方，系統(tǒng)在轉速為2.82時抵抗大幅度橫搖的能力較轉速為2.57時更強。

圖10 不同轉子轉速時垂向振動幅值與橫搖幅值關系Fig.10 Relationship between vertical vibration amplitude and roll amplitude at different rotor speeds

3 結 論

在對橫搖作用下氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的非線性動力學特性進行研究時，本文考慮了船舶橫搖運動對氣囊浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的影響，建立了橫搖作用下系統(tǒng)的動力學模型，對動力學方程進行了無量綱化處理，并采用數(shù)值方法求解得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，分析了橫搖作用下系統(tǒng)的非線性動力學特性。研究表明：

（1）橫搖作用下氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)的運動狀態(tài)，隨轉子轉速的增加表現(xiàn)為：準周期→混沌；相較于無橫搖作用的系統(tǒng)出現(xiàn)的周期1、周期2等簡單周期同步運動，橫搖作用下系統(tǒng)的運動狀態(tài)更為復雜；對比無橫搖作用時系統(tǒng)的振動幅值，橫搖作用下系統(tǒng)的振動幅值增大明顯。

（2）橫搖作用下氣囊-浮筏耦合船用轉子系統(tǒng)，隨著橫搖幅值的增大，其運動狀態(tài)仍是由準周期過渡到混沌，一般情況下橫搖幅值的增減不會影響到橫搖作用下系統(tǒng)的分岔及混沌特性。此外，橫搖作用下系統(tǒng)的振動幅值會隨著橫搖幅值的增大而增大，且這種增大關系是以曲線形式呈現(xiàn)的。