江蘇省無錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 郭桂霞
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是人教版選修性必修第一冊(cè)內(nèi)容,分為兩個(gè)課時(shí),“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)了直線方程、圓的方程之后的后繼知識(shí),學(xué)生已具有一定的觀察、分析和解決一些相關(guān)問題的能力。而推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法對(duì)雙曲線、拋物線方程的推導(dǎo)具有直接的類比作用,為學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線內(nèi)容提供了理論基礎(chǔ)和基本模式,是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)建模示范。本文從知識(shí)導(dǎo)入、知識(shí)建構(gòu)、知識(shí)運(yùn)用三方面教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考,提升學(xué)生思維,主動(dòng)建構(gòu)模型,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
情境1:播放“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器發(fā)射升空的視頻,當(dāng)屏幕上出現(xiàn)探測(cè)器運(yùn)行的軌跡時(shí),學(xué)生齊聲呼喚軌道是橢圓。
(評(píng)析:背景材料緊跟時(shí)代步伐,迅速抓住學(xué)生的注意力,能讓學(xué)生觸景生情,激發(fā)探索熱情,認(rèn)識(shí)到建模的必要性,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)從生活中來,數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。)
情境2:幾何畫板展示圓被壓扁的過程
生眾:橢圓。
師:以上圖形從感性上看都給我們橢圓的印象,從數(shù)學(xué)理性的角度上看,它們是嚴(yán)格意義上的橢圓嗎?為了進(jìn)一步研究橢圓,我們將利用解析幾何的思想,用代數(shù)的方法來研究幾何問題,所以我們要研究橢圓的方程,這就是我們要研究的課題:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(評(píng)析:設(shè)置情境,引入疑惑,激發(fā)學(xué)生對(duì)問題的思考與反思,給出研究課題的必要性。讓學(xué)生能從數(shù)學(xué)的眼光思考問題,培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性。)
師:如何求橢圓方程?關(guān)于橢圓你有哪些了解?
生眾:橢圓定義。
(評(píng)析:讓學(xué)生能主動(dòng)地根據(jù)先前認(rèn)知結(jié)構(gòu),有選擇性地知覺外在信息,讓思維有增長(zhǎng)的起點(diǎn)。)
師:橢圓的定義是什么?
生1:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)FF的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。
師:常數(shù)有要求嗎?
生2:常數(shù)2a必須大于FF。
師:為什么?
生3:如果常數(shù)等于FF,軌跡為線段FF;若常數(shù)小于FF,軌跡不存在。
(評(píng)析:讓學(xué)生了解知識(shí)的內(nèi)涵與外延,這是思維增長(zhǎng)的必經(jīng)過程。)
師:我們不會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,回顧一下如何求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
生4:建立坐標(biāo)系、設(shè)點(diǎn)、找等量關(guān)系、代入坐標(biāo)、化簡(jiǎn)。
(評(píng)析:通過復(fù)習(xí)舊知識(shí),并采用同化法,喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的提取,從而找到了知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”。)
師:求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系?
生5:以FF所在直線為x軸,以過F與FF垂直的直線為y軸。
生6:以FF所在直線為x軸,以FF中垂線為y軸。
師:有兩種建系的方法,大家覺哪個(gè)更好呢?為什么?
生7:第二個(gè),圖形更對(duì)稱,感覺后面的運(yùn)算可能更簡(jiǎn)單一點(diǎn)。
(評(píng)析:尊重學(xué)生思路,發(fā)揮學(xué)生主體性,并讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考思路的合理性與思路的優(yōu)化、能優(yōu)化的原因,培養(yǎng)學(xué)生思維的不斷深入。)
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系:以直線FF為x軸,線段FF的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系。
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y):設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),FF=2c,F(xiàn)(-c,0),(c,0)。
師:如何化簡(jiǎn)這個(gè)方程呢?大家可討論討論。
生8:直接兩邊平方;
生9:移項(xiàng)后兩邊平方;師:我們選哪種方法?生10:第二種,一邊一根式,對(duì)稱一些。
(評(píng)析:前面建系的對(duì)稱性已在學(xué)生思維里有了意識(shí),主動(dòng)去優(yōu)化方法,思維有所增長(zhǎng)。)
在黑板上用方案2加以推導(dǎo)。在化簡(jiǎn)得出方程(a-c)x+ay=a(a-c)后師:能否把式子寫得更簡(jiǎn)潔些?
師:大家觀察式子的特征,若x,y是一次的話,是什么曲線的方程?
生11:直線的截距式方程。
生12:與x軸的交點(diǎn)為(-a,0),(a,0),與y軸的交點(diǎn)為(-b,0),(b,0)。
師:一次是直線,二次是曲線表示橢圓,數(shù)學(xué)很奇妙。
(評(píng)析:滲透了自然美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美,幫助學(xué)生記憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。)
師:這里a,b,c的等量關(guān)系和大小關(guān)系如何?
師:那么方程是否會(huì)具有對(duì)稱性呢?
生13:好像有,x,-x分子是平方,的平方一樣,y,-y的平方一樣。
它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,a是最大的(既然b=a-c,那么我們是否能在圖中找到以a,b,c為邊的直角三角形呢?結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)△OFB)
(評(píng)析:讓學(xué)生從數(shù)的角度感受到對(duì)稱性,體會(huì)形與數(shù)的統(tǒng)一。)
生眾:圓。
(評(píng)析:從代數(shù)的角度觀察橢圓與圓的區(qū)別,對(duì)情境2的直觀感知的嚴(yán)謹(jǐn)化。)
師:橢圓可圓可扁,焦點(diǎn)在軸上的橢圓該如何表示?
(評(píng)析:類比焦點(diǎn)在軸上的橢圓,讓學(xué)生利用已有知識(shí),在做中學(xué),類比學(xué),并把新知識(shí)同化到原有知識(shí)。)
例1:判斷下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo):(過程略)
師:能幫我們總結(jié)一下求焦點(diǎn)的方法嗎?
生15:先化成標(biāo)準(zhǔn)方程,再看分母大小確定焦點(diǎn)位置,再利用c=b-c求出,得到焦點(diǎn)坐標(biāo)。
(評(píng)析:通過具體實(shí)例讓學(xué)生能根據(jù)分母的大小判斷焦點(diǎn)位置,會(huì)求橢圓方程中的基本量a,b,c的方法。)
變式:求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦 點(diǎn) 是F(-2,0),F(xiàn)(2,0)且過點(diǎn)P(2,3)。(2)焦距為4,且過點(diǎn)P(2,3)。
師:對(duì)于(1),你能說出解題思路和主要過程嗎?
生17:2a=PF+PF,直接求出a,c=2,b=a-c求出b。
(評(píng)析:掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的思想方法——定義法和待定系數(shù)法;求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),焦點(diǎn)位置不確定,能主動(dòng)分類討論。)
例2:已知一輛運(yùn)油車上的儲(chǔ)油罐截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓,它的焦距為2.4m,外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之和為3m,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(過程略)
(評(píng)析:與課程導(dǎo)入相呼應(yīng),解決實(shí)際問題。讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,讓學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題時(shí),能用數(shù)學(xué)的思維去分析、建立模型并解決。)
教學(xué)反思:本課是圓錐曲線的方程的起始課,通過在課堂上讓學(xué)生直觀感受橢圓形狀,判斷橢圓的方法,讓學(xué)生感受直觀的不足、研究橢圓方程的必要,讓學(xué)生的思維從具體到抽象,從淺層到深入,思維的發(fā)展可視化。在研究未知的橢圓方程時(shí),引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的圓的方程的求法,主動(dòng)類比研究橢圓,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)。橢圓方程出來后,讓學(xué)生從數(shù)與形兩個(gè)角度感受對(duì)稱性,體會(huì)數(shù)學(xué)形與數(shù)的統(tǒng)一,感受數(shù)學(xué)的美,讓學(xué)生能在后續(xù)的雙曲線中主動(dòng)尋找數(shù)學(xué)的美,培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)美并創(chuàng)造美的能力,感受大自然美的同時(shí)能嘗試用數(shù)學(xué)建模的思想給予美的詮釋。
數(shù)學(xué)是一種思維活動(dòng),數(shù)學(xué)教育是思維的教育。在知識(shí)的導(dǎo)入與生成過程中,通過設(shè)置高質(zhì)量的問題,讓學(xué)生充分思考,尋求思路的合理性,主動(dòng)優(yōu)化思路,讓思維的增長(zhǎng)有土壤,教師搭好腳手架,引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí),在做中學(xué),類比學(xué),引導(dǎo)學(xué)生思維不斷走向深入,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。