朱立華

（南京理工大學機械工程學院 江蘇 南京 210094）

“數(shù)值計算方法”是一門研究用計算機處理各類數(shù)學問題的計算理論與計算方法的學科，是各學科領域研究過程中數(shù)據(jù)分析和處理的基礎。因此，在大部分高等院校中該課程常被設置為理工科類本科生的必修課程?！皵?shù)值計算方法”課程以“高等數(shù)學”“線性代數(shù)”和計算機編程類課程為基礎，主要講授誤差分析、插值與擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程數(shù)值解法、代數(shù)方程數(shù)值解法、線性方程組數(shù)值解法等工程常用數(shù)值計算方法，利用計算機進行算法編程，旨在培養(yǎng)學生解決工程中實際問題的能力。在南京理工大學，該課程是機械工程、測控技術與儀器、航空宇航、電光科學、控制科學、車輛工程等專業(yè)本科生的專業(yè)必修課。

然而，該課程的教學過程中，學生普遍學習積極性不高，這其中既有主觀原因，又有客觀因素。從課程的特點出發(fā)進行分析，問題主要體現(xiàn)在以下兩個方面。

第一，“數(shù)值計算方法”課程涉及大量“高等數(shù)學”和“線性代數(shù)”的基礎理論知識，學生學習時需要回憶大量復雜的公式、定理及數(shù)學推導過程。學生的數(shù)學基礎參差不齊，甚至部分學生潛意識中對數(shù)學的“恐懼心理”而學得不深入、理解不透徹，導致該課程的學習效果不理想。

第二，在算法理論學習的同時，用計算機軟件進行算法編程實現(xiàn)是“數(shù)值計算方法”課程的一大特點，學生普遍缺乏對計算機邏輯的深入理解和計算機語言的熟練應用能力，導致算法的實踐過程存在困難。

分析上述兩個問題，主要是學生因數(shù)學理論的晦澀而學習興趣降低，主觀能動性弱。面對這一教學困難，高校教師開展了多輪教學改革以尋求解決方案，提高教學質(zhì)量。自2013年以來，教育部先后開展國家級虛擬仿真實驗教學中心、示范性虛擬仿真實驗教學項目和虛擬仿真實驗教學一流課程的建設。隨著國家對虛擬仿真平臺建設力度的不斷增加，各高校在相關方面展開了積極探索，虛擬仿真實驗教學已成為提升高等教育發(fā)展水平和全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量不可或缺的手段?？梢姟疤摂M仿真實驗”教學設計不失為提高本課程教學效果的有效手段。

南京理工大學的兵器科學與技術學科是國家“雙一流”建設學科，學校長期從事導彈武器系統(tǒng)的教學和科研，培養(yǎng)導彈武器系統(tǒng)方面的工程精英人才。依托學校特色，本科生培養(yǎng)內(nèi)容包括槍、炮、彈、箭等各類型戰(zhàn)術武器。其中，導彈作為兵器之王，國之重器，是打贏高技術條件下現(xiàn)代化戰(zhàn)爭的撒手锏，導彈武器系統(tǒng)方面的專業(yè)人才培養(yǎng)是國家國防建設的迫切需要。導彈的打擊制導過程需要大量的算法支撐及數(shù)據(jù)分析需求，囊括了“數(shù)值計算方法”課程的全部知識點。因此，學校建立“導彈制導過程”的虛擬仿真平臺，將“數(shù)值計算方法”課程的算法實踐有序地貫穿于虛擬仿真實驗中，不僅可以幫助學生深刻理解并掌握典型彈的運動特點，還可以增進學生對所學“數(shù)值計算方法”課程理論知識的理解，培養(yǎng)學生的工程實踐能力和科研創(chuàng)新能力。

2 虛擬仿真實驗原理和仿真系統(tǒng)設計

通常而言，導彈打擊目標實驗在真實條件下是很難實現(xiàn)的。一方面，該實驗環(huán)境惡劣，場地條件要求苛刻，實驗本身具有高度危險性，有可能造成人員安全事故。因此，學生很難有機會參與實驗。另一方面，“數(shù)值計算方法”等數(shù)學應用類課程要求將數(shù)學理論知識應用于實踐，原本是學生將所學理論與實踐相結合的有效工具。然而，常因算法算例的問題背景與學生所學專業(yè)的相關性弱，導致學生學習效果不佳。針對這兩個問題，教師對“數(shù)值計算方法”課程的課堂講授及實驗實踐教學模式進行重構，本著“能實不虛，虛實結合”的原則，建設了模塊化、層次化、可視化的虛擬仿真實驗平臺。這樣不僅可以為學生提供安全環(huán)境下的導彈打擊目標過程的深度體驗，而且?guī)椭鷮W生了解導彈打擊目標的總體設計過程以及各類數(shù)值算法的具體應用。本虛擬仿真實驗設計思想如圖1所示。

圖1 實驗原理框圖

虛擬仿真實驗應考慮一類發(fā)射制導的導彈，通過三維實景動畫，實時顯示動態(tài)參數(shù)曲線等虛擬仿真技術，讓學生觀察導彈打擊目標的完整過程。本虛擬仿真實驗主要分為目標運動預測與跟蹤、制導參數(shù)優(yōu)化和任務彈道解算三個模塊，各模塊層層遞進，均包含各類數(shù)值分析算法的實景應用。

2.1 目標運動檢測

在導彈打擊目標之前，首先需要獲取目標信息，并實時跟蹤。目標信息主要包括目標的運動建模和觀測數(shù)據(jù)擬合。在虛擬仿真實驗中，雷達可掃描環(huán)境中的目標，以獲取目標的實時位置。因此，構建雷達視窗，實時顯示觀測目標的位置，如圖2所示（p47）。在連續(xù)獲得位置數(shù)據(jù)的基礎上，可以采用數(shù)值計算中典型的拉格朗日插值、牛頓插值方法和三次樣條插值對目標的運動進行函數(shù)擬合，從而實現(xiàn)對目標運動的預測與跟蹤。不僅如此，考慮到觀測噪聲的影響，可以選擇數(shù)值計算中函數(shù)逼近類算法——最小二乘法對檢測數(shù)據(jù)做最佳平方逼近，經(jīng)回歸分析得到目標的運動規(guī)律，從而實現(xiàn)對目標運動的預測。

圖2 目標檢測虛擬仿真場景

2.2 制導規(guī)劃設計

在對目標實時檢測的基礎上，結合載體的運動狀態(tài)，進行制導規(guī)劃設計。導彈的總體規(guī)劃是一個復雜的過程，具有很強的綜合性。本虛擬仿真實驗主要考慮以最快命中目標為制導準則的彈道參數(shù)計算，因此將該過程建模為一類約束規(guī)劃問題。其目標函數(shù)為：

其中，、、為導彈的速度、俯仰角和偏航角。

設計的約束條件，包含動態(tài)約束和邊界約束。邊界約束包括對各參數(shù)的等式和不等式約束：

在顯示了參數(shù)優(yōu)化模型后，學生要選擇適當?shù)那蠼馑惴?。參?shù)優(yōu)化算法的迭代求解可采用的方法分為直接優(yōu)化算法、間接優(yōu)化算法和全局最優(yōu)算法三類。分別設置了高斯偽譜法、共軛梯度法和遺傳算法作為這三類算法的典型算法作為求解手段備選，如圖3所示。學生應了解三類算法的原理，并對比各算法的特點及適用性。

圖3 制導設計方法選擇

算法的求解過程體現(xiàn)了數(shù)值計算的迭代逼近特點，每次在設計參數(shù)的允許變化范圍內(nèi)產(chǎn)生一組設計參數(shù)。用這套參數(shù)連同輸入的已知數(shù)據(jù)即可計算出目標函數(shù)值。目標函數(shù)值反映一個設計方案的優(yōu)劣程度。若計算出的目標函數(shù)值較前一次計算值好，則保留，否則舍棄。再由優(yōu)化法子程序產(chǎn)生一組新的設計參數(shù)。如此循環(huán)，直到按一定條件結束優(yōu)化搜索，輸出最后所選的結果。這一過程的流程顯示和曲線顯示并行展示在實驗界面上，可使學生對整個流程的動態(tài)流向有更清晰的認識，幫助學生理解算法過程。最終，在選定方法并設置迭代停止條件后，得到制導參數(shù)初始值。

2.3 導彈任務彈道解算設計

本環(huán)節(jié)，根據(jù)得到的導彈初始條件，需要利用“數(shù)值計算方法”中的高階常微分方程求解的手段完成對目標打擊任務彈道的解算，并實施打擊。本實驗將歐拉法、四階龍格庫塔法、阿當姆斯法并列作為求解算法的選項，讓學生通過選擇不同的方法完成對導彈三自由度運動彈道的彈道解算。在實驗界面的三維視圖實時顯示導彈打擊目標的全過程（如圖4所示），并分析導彈與目標的相對距離、導彈與目標的速度、位置、姿態(tài)等參數(shù)的動態(tài)性能。通過本環(huán)節(jié)，學生可以明確檢驗不同常微分算法的計算精度和求解性能。

圖4 導彈制導過程示意圖

根據(jù)以上各個模塊的設計，學生可以反復做實驗，在各個模塊選擇不同的方法，對比打擊效果，加深理解。

3 實驗方案和實驗過程

按照任務牽引的“三階段”混合式實驗教學模式，實驗過程包括知識學習、虛擬實驗、考核評價和擴展提升四個環(huán)節(jié)。實驗全部環(huán)節(jié)均需要學生進行人機交互式操作，親身經(jīng)歷原理學習、實驗觀測、數(shù)據(jù)處理和結果分析整個過程，并以實驗報告的形式提交實驗成果。

3.1 知識學習

獲取實驗指導書，了解實驗目的、實驗內(nèi)容和實驗步驟。對實驗設計的坐標系、運動參數(shù)分析、導彈的運動學方程、常微分方程的數(shù)值求解、軌跡規(guī)劃、優(yōu)化算法等知識進行查缺補漏，為實驗做好知識儲備。

3.2 虛擬實驗

實驗內(nèi)容包括目標軌跡預測、制導優(yōu)化設計、任務彈道計算三個實驗模塊，完成炮射導彈攻擊坐標系認知、函數(shù)插值、約束優(yōu)化設計、彈體運動學建模、常微分方程的數(shù)值求解等5個實驗內(nèi)容。各個實驗模塊既能獨立運行，又能相互銜接，充分滿足了學生不同學習階段的能力培養(yǎng)需求。系統(tǒng)可在網(wǎng)頁版或PC客戶端運行，方便學生開展實驗。

3.3 考核評價

教師應記錄、分析和評價實驗過程中學生的操作信息，學生完成三個實驗模塊的在線測試。之后學生上傳實驗報告，教師生成成績反饋表。

3.4 拓展提升

學生完成交流討論和鞏固提升，教師線上批閱實驗報告，在線指導學生。

4 結語

為培養(yǎng)新時代背景下的高素質(zhì)國防專業(yè)人才，學校依托本校軍工特色，設計了基于“導彈制導打擊”的虛擬實驗，將“數(shù)值計算方法”課程的知識點融入仿真實驗中，通過對真實實驗場景的重現(xiàn)，提高學生的學習興趣，激發(fā)學生的學習主動性。學生可在實驗指導書的引導下，自主操作設備，獨立完成實驗過程。虛擬仿真的每一個環(huán)節(jié)對應“數(shù)值計算方法”課程相應知識點。通過模擬操作導彈制導打擊目標，學生可以加深對所學內(nèi)容的理解，進一步積極思考，實時調(diào)整自己的學習目標。在此基礎上，學校后續(xù)擬增加開放性課題研究，結合課堂授課環(huán)節(jié)的討論分析，對研究型教學進行有益的探索和嘗試。