伍慧玲, 王 靜, 王秀國, 李嬋娟

(1.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 中國精算研究院,北京 102206; 2.中華聯(lián)合財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)股份有限公司,北京 100071; 3.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 102206; 4.內(nèi)蒙古大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

0 引言

確定繳費(fèi)型養(yǎng)老計(jì)劃，以退休時(shí)刻為分界點(diǎn)，可以分為退休前累積期(accumulation phase)和退休后領(lǐng)取期(decumulation phase)兩個(gè)不同的階段。退休前累積期的管理目的為處理金融風(fēng)險(xiǎn)、背景風(fēng)險(xiǎn)和工資波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)等，以最大化退休時(shí)刻的投資回報(bào)。然而，確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)管理，不光出現(xiàn)在退休前的累積期。在退休時(shí)刻，在允許的情況下，退休者可以選擇不購買終身年金，而選擇延遲購買年金。在退休時(shí)刻至年金化時(shí)刻或死亡時(shí)刻之間，退休者可定期從養(yǎng)老基金賬戶里抽出一定的財(cái)富用于日常消費(fèi)支出，剩余的財(cái)富可根據(jù)自己的偏好進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資，目的是盡可能地提高年金化時(shí)刻的財(cái)富水平，或者最大化決策周期內(nèi)的累積消費(fèi)效用與年金化效用(或遺產(chǎn)效用)之和。

按優(yōu)化目的的不同，退休后的優(yōu)化管理研究方向大致可以分為三類：第一類為最小化破產(chǎn)概率，第二類為最大化自退休時(shí)刻到死亡或年金化時(shí)刻的累積消費(fèi)或遺產(chǎn)的CARACRRA效用均值之和，第三類為最小化退休時(shí)刻到死亡或年金化時(shí)刻的消費(fèi)水平(財(cái)富水平)與目標(biāo)值的二次效用均值，也稱為目標(biāo)定位型模型。由于本文的研究方向?qū)儆诘谌? 為了節(jié)省篇幅, 對第一類的研究論文, 讀者可參考文獻(xiàn)[1,2]。對于第二類研究方向, 讀者可參考[3～5]，在此不再敘述。

第三類模型也稱為目標(biāo)定位型(target-based)模型。在目標(biāo)定位型模型里，退休者對自己未來各時(shí)刻的投資回報(bào)或者消費(fèi)水平設(shè)定目標(biāo)值，未來各時(shí)刻的目標(biāo)值和真實(shí)值之間的差距用二次效用測量，然后選擇最優(yōu)的策略，以最小化自退休時(shí)刻開始到購買年金或死亡時(shí)刻為止，所有差距的折現(xiàn)效用均值之和。Gerrard, Haberman和Vigna[6]事先設(shè)定強(qiáng)制年金時(shí)刻以及消費(fèi)水平，不考慮退休者遺產(chǎn)效用，研究了退休后最優(yōu)投資問題。他們給出了自然目標(biāo)函數(shù)，這種目標(biāo)函數(shù)形式使得在某個(gè)時(shí)刻，如果財(cái)富水平達(dá)到了目標(biāo)水平，那么自這個(gè)時(shí)刻開始只需進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資，財(cái)富水平就會(huì)一直和目標(biāo)水平完全一致。Emms和Haberman[7]不考慮死亡率風(fēng)險(xiǎn)，以每個(gè)時(shí)刻無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)為參考值，然后用財(cái)富水平與參考值的比值為研究對象，采取最優(yōu)的投資策略，最小化每個(gè)時(shí)刻比值的折現(xiàn)效用均值之和。Gerrard, Haberman和Vigna[8]考慮退休者的隨機(jī)死亡概率和遺產(chǎn)效用，為退休者求出了最優(yōu)的投資-消費(fèi)策略和自然目標(biāo)函數(shù)形式。Emms[9]推廣了Gerrard, Haberman和Vigna[8]的研究成果，且將相對比值思路引入到目標(biāo)定位模型，將實(shí)際財(cái)富和目標(biāo)財(cái)富的比值以及實(shí)際消費(fèi)水平和目標(biāo)消費(fèi)水平的比值作為研究對象，選擇最優(yōu)的投資-消費(fèi)策略，最小化從退休時(shí)刻開始，到死亡時(shí)刻或強(qiáng)制年金時(shí)刻為止的財(cái)富比值和消費(fèi)比值的折現(xiàn)二次效用均值之和。Gerrard, H?gaard和Vigna[10]不考慮遺產(chǎn)效用，選擇最優(yōu)的投資-消費(fèi)-年金化時(shí)刻決策，最小化年金時(shí)刻或死亡時(shí)刻之前的消費(fèi)水平和消費(fèi)目標(biāo)差距的折現(xiàn)效用均值之和。Dadashi[11]固定年金化時(shí)刻, 采取自然目標(biāo)函數(shù), 不考慮遺產(chǎn)效用, 選擇最優(yōu)的投資組合策略，最小化財(cái)富水平和自然目標(biāo)水平的累積二次效用均值。在[11]一文中， 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資策略不允許賣空，且投資金額限定在一個(gè)范圍內(nèi)，終端財(cái)富不能低于某個(gè)警戒值，該文利用策略迭代方法(policy iteration method)求出了最優(yōu)解。 上述模型都是連續(xù)時(shí)間模型，為彌補(bǔ)研究空缺，Lin, Zeng和Wu[12]和Wu等[13]在離散時(shí)間框架下研究了退休后的動(dòng)態(tài)投資策略，兩者都是固定年金化時(shí)刻，不考慮如何選擇最優(yōu)化年金化時(shí)刻。上述論文均沒有考慮通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)對退休后的優(yōu)化決策的影響，為此，伍慧玲和董洪斌[14]推廣了Gerrard, Haberman和Vigna[6]的結(jié)果, 固定年金化時(shí)刻，考慮了帶通脹風(fēng)險(xiǎn)的退休后最優(yōu)投資決策，研究了通貨膨脹對投資策略、自然目標(biāo)函數(shù)以及破產(chǎn)概率的影響。然而，文獻(xiàn)[14]是基于連續(xù)時(shí)間框架進(jìn)行研究的，且僅研究了最優(yōu)投資策略。

和上述論文都不一樣，本文擬在離散時(shí)間動(dòng)態(tài)多期模型框架下，求解帶有通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)的退休后最優(yōu)投資和年金化時(shí)刻。和連續(xù)時(shí)間模型不同，我們證明了若通脹過程是隨機(jī)的，那么自然目標(biāo)函數(shù)在離散時(shí)間框架下是不存在。另外，我們建立了離散時(shí)間框架下的最優(yōu)年金化時(shí)刻判別標(biāo)準(zhǔn)，并詳細(xì)分析了通貨膨脹指標(biāo)、風(fēng)險(xiǎn)偏好以及折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響。

1 模型描述與求解步驟

1.1 模型描述

In+1=ZnIn

(1)

(2)

(3)

其中Qn=1/Zn是衡量通貨緊縮變化幅度的指標(biāo)，這些指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)含義在后面的模型結(jié)果性質(zhì)分析中將會(huì)用到。

1.2 求解步驟

考慮到通脹風(fēng)險(xiǎn)的存在，退休者想找一個(gè)最優(yōu)的年金時(shí)刻和一系列投資策略，評價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是使得終身的真實(shí)消費(fèi)均值的累積和達(dá)到最大。具體地說，若H*(0≤H*≤TS)是最優(yōu)的年金時(shí)刻，那么由時(shí)刻0開始到時(shí)刻H*-1為止的真實(shí)累積消費(fèi)與真實(shí)財(cái)富水平購買終身年金后提供的終身消費(fèi)保障之和達(dá)到最大。退休者通過下面兩個(gè)步驟達(dá)到自己的目標(biāo)。

步驟1退休者根據(jù)個(gè)人情況，在每個(gè)時(shí)刻n,對投資后的真實(shí)財(cái)富設(shè)定目標(biāo)值，記為Fn。 這個(gè)目標(biāo)值的設(shè)定是為了監(jiān)督投資過程的回報(bào)，使得退休者在年金化時(shí)刻能有更多的財(cái)富用于購買終身年金。令為相對固定的年金時(shí)刻，退休者采取如下的目標(biāo)定位型模型:

(4)

步驟2在生存期內(nèi)，因?yàn)檫x擇時(shí)刻H購買年金，退休者的終身累積真實(shí)消費(fèi)的折現(xiàn)均值是:

(5)

最優(yōu)的年金化時(shí)刻H*應(yīng)使得g(H)達(dá)到最大。在這里，我們假設(shè)平均死亡時(shí)刻Г大于強(qiáng)制購買年金時(shí)刻TS。 這個(gè)假設(shè)是合理的, 因?yàn)檎贫ǖ膹?qiáng)制年金時(shí)刻是為了保護(hù)大部分退休者的投資安全，因此，國民在退休時(shí)刻的平均剩余壽命要比延遲年金化的周期長。

2 模型求解

根據(jù)前文的求解步驟，本章節(jié)擬詳細(xì)地求解在通脹風(fēng)險(xiǎn)下的退休后最優(yōu)投資-年金化決策。為此, 我們首先相對固定H， 求解式(4)中的問題P(H)。為此，令

Vn(xn)=(Fn-xn)2

那么，首先根據(jù)貝爾曼優(yōu)化原理，我們得到Vn(xn)的遞歸方程為:

n=0,1,…,H-1

(6)

終端條件是:

VH(xH)=ε(FH-xH)2

(7)

此時(shí)，我們得到問題P(H)的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)，歸納到定理1中。

定理1問題P(H)的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)分別是:

(8)

Vn(xn)=An(xn)2-2Bnxn+Cn,n=0,1,…,H

(9)

其中，對于n=0,1,…,H-1以及終端條件，有

(10)

(11)

(12)

(13)

此時(shí)， 我們先求出了在最優(yōu)投資策略投資下，退休者在時(shí)刻0開始的每一期平均財(cái)富水平的遞歸方程，然后計(jì)算出使得(5)中的g(H)達(dá)到最大值的年金化時(shí)刻，記為H*。 對于第二步，我們可以利用數(shù)值分析手段，計(jì)算最優(yōu)的年金時(shí)刻，并探究一些參數(shù)對年金時(shí)刻的影響。

3 目標(biāo)函數(shù)的選擇以及投資策略性質(zhì)分析

我們先給出自然目標(biāo)函數(shù)的定義，然后證明，當(dāng)衡量通貨膨脹變化幅度的指標(biāo)Zn是隨機(jī)時(shí)，自然目標(biāo)函數(shù)不存在。

定義1目標(biāo)函數(shù)序列{F0,F1,F2,…}稱為自然目標(biāo)函數(shù)序列, 若在某個(gè)時(shí)刻n，財(cái)富水平Xn達(dá)到了目標(biāo)函數(shù)值Fn，那么自時(shí)刻n開始，決策者只需要進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資，并且未來各時(shí)刻所得的財(cái)富水平都等于對應(yīng)的預(yù)設(shè)目標(biāo)函數(shù)。

定理2若通貨膨脹的變化幅度Zn是隨機(jī)的， 那么不存在自然目標(biāo)函數(shù)。

就是當(dāng){Zk,k=0,1,2,…}是一個(gè)確定的只和時(shí)間有關(guān)的過程時(shí)，自然目標(biāo)函數(shù)形式為:

Fn=(Bn/An)(Qn-1E(Qn-1))/E(Qn-1)2=Bn/An

(14)

下面我們根據(jù)(10)和(11)，計(jì)算式(14)中的Fn，結(jié)果歸納在定理3。

(15)

式(15)就是當(dāng)前后兩期的通脹變化幅度{Zk,k=0,1,2,…}是一個(gè)確定過程時(shí)， 自然目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式。式(15)表明，時(shí)刻n的目標(biāo)值Fn是時(shí)刻H的目標(biāo)值FH以及時(shí)刻n以后各期消費(fèi)的折現(xiàn)值(以無風(fēng)險(xiǎn)利率為折現(xiàn)率)。 另外，當(dāng)時(shí)刻n,n+1,…,H-1的通脹幅度越大，即未來的通脹情況越嚴(yán)重，那么當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)值Fn就越大，以抵御未來的通脹； 當(dāng)終端目標(biāo)值FH越大，之前的目標(biāo)值就越大； 當(dāng)未來的累積消費(fèi)金額越大，那么當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)值就設(shè)置得越大。這些都是合乎常理的結(jié)論。

現(xiàn)在我們考察當(dāng){Zk,k=0,1,2,…}是一個(gè)確定過程且目標(biāo)形式采取(15)時(shí)，投資策略和財(cái)富過程的形式。根據(jù)(3)和(8)，我們先有

再把(15)代入上兩式, 整理得

上面內(nèi)容主要分析了目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，接下來我們開始分析問題P(H)的投資策略的性質(zhì)，結(jié)果歸納在定理4中。

定理4問題P(H)的最優(yōu)投資策略的性質(zhì)歸納如下：

抗戰(zhàn)建國與教育建國：抗戰(zhàn)時(shí)期福建的小學(xué)教育（1937—1939）………………………………………………張運(yùn)君，肖楠楠（4，99）

(i)當(dāng)通脹變化幅度{Zk,k=0,1,2,…}是一個(gè)確定過程且采取自然目標(biāo)函數(shù)形式(15)時(shí), 最優(yōu)投資策略隨著{Zk,k=0,1,2,…}的取值以及Fn-xn的增加而增加，因此預(yù)設(shè)的目標(biāo)值也可以衡量退休者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。

(ii)當(dāng)通脹變化幅度{Zk,k=0,1,2,…}是一個(gè)隨機(jī)過程時(shí)，令Qn=1/Zn，那么

(a)當(dāng)Var(Qn)不變時(shí)，若Var(Qn)>E2(Qn)，那么E(Qn)越大，風(fēng)險(xiǎn)投資策略的值就越大；若Var(Qn)

(b)當(dāng)E(Qn)不變時(shí)，若方差Var(Qn)越大，投資策略的值就越小。

定理4的結(jié)果表明，當(dāng)通脹過程是一個(gè)確定過程時(shí)，若通脹漲幅越大或者通脹緊縮幅度越小，為了保持一定的財(cái)富和消費(fèi)水平，在目標(biāo)定位模型里，退休者會(huì)更積極地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資，以對沖通脹漲幅的增加帶來的負(fù)面影響。若通脹過程是一個(gè)隨機(jī)過程，那么，從理論上來說, 風(fēng)險(xiǎn)投資金額與通脹變化幅度的關(guān)系依賴于Var(Qn)與E2(Qn)的大小關(guān)系。 然而，在實(shí)際中，因?yàn)橥ㄘ浥蛎浕蛘咄ㄘ浘o縮情況的波動(dòng)性不會(huì)特別大，一般來說，Var(Qn)

4 最優(yōu)年金時(shí)刻的性質(zhì)分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

4.2 最優(yōu)年金時(shí)刻的數(shù)值分析

在上面的參數(shù)設(shè)置下，我們擬展開下面幾方面的敏感度分析。

(1)E(Qn)對年金化時(shí)刻的影響

為了探究通脹改變幅度的均值對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響，我們將其他參數(shù)固定，只改變E(Qn)的值。本文對于通脹范圍的選取, 以E(Qn)=0.979為標(biāo)準(zhǔn), 貼近實(shí)際生活中通脹可能的波動(dòng)情況，設(shè)定E(Qn)的取值范圍是0.8～1.2之間，步長為0.01，來測定退休者最優(yōu)的年金化時(shí)刻如何變化，得出的結(jié)果如表1。

表1 E(Qn)對年金化時(shí)刻的影響

當(dāng)E(Qn)的值為0.979時(shí)，退休者最適合在66歲購買年金。隨著E(Qn)的增大，也就是通貨膨脹率的降低，退休者最優(yōu)的年金化時(shí)刻將向后推遲。當(dāng)通脹增幅取較大值，即E(Qn)小于0.92時(shí)，退休者基本在退休后很快就進(jìn)行年金化。這說明過大的通脹均值將給退休者帶來很大的投資壓力，他們對未來市場也持悲觀態(tài)度。此時(shí)，購買年金保險(xiǎn)將會(huì)是一個(gè)很好的選擇，因?yàn)槟杲鸹竽軌颢@得穩(wěn)定的保障，滿足生活所需的同時(shí)也減輕了自行投資的壓力。因此，在高通脹的情況下，通脹風(fēng)險(xiǎn)對退休者的年金決策起決定性作用。然而，當(dāng)E(Qn)大于0.93時(shí)，退休者未面臨較大的通脹壓力，他們會(huì)選擇延遲購買年金，且最優(yōu)年金化時(shí)刻跨度從66歲到70歲。當(dāng)E(Qn)大于1.19，呈現(xiàn)較嚴(yán)重通貨緊縮的狀態(tài)時(shí)，退休者甚至?xí)x擇在政府強(qiáng)制年金化時(shí)購買年金，以換取更多的時(shí)間進(jìn)行自主投資。綜上所述，我們可知通脹風(fēng)險(xiǎn)的存在確會(huì)讓退休者延遲購買終身年金，這在一定程度上解釋了年金之謎的成因。

(2)Var(Qn)對年金化時(shí)刻的影響

我們將均值E(Qn)固定為0.979，且將其他參數(shù)取值也固定，只改變Var(Qn)的數(shù)值，試圖看看Var(Qn)的取值變化對年金化時(shí)刻的影響。我們以Var(Qn)=0.00011為中心，讓Var(Qn)在小范圍內(nèi)上下波動(dòng)，最優(yōu)年金化時(shí)刻的變動(dòng)并不明顯。因此Var(Qn)對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響，與通脹均值相比不敏感一些。為了進(jìn)行規(guī)律性探索，將Var(Qn)在更大范圍內(nèi)波動(dòng)，得到的結(jié)果如表2。

表2 Var(Qn)對年金化時(shí)刻的影響

只有在Var(Qn)有了大幅度增長后，最優(yōu)的年金化時(shí)刻對Var(Qn)才比較敏感。 此時(shí)，Var(Qn)越大，退休者越傾向于提前購買年金。這表明，較大的通脹情況變動(dòng)會(huì)加大退休者的財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)退休者希望能盡早通過年金化的方式獲得穩(wěn)定的消費(fèi)保障。

(3)風(fēng)險(xiǎn)偏好對年金化時(shí)刻的影響

在目標(biāo)定位型模型里，各期財(cái)富目標(biāo)與投資所得的差距衡量著決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。若各期財(cái)富目標(biāo)定得較高，我們會(huì)認(rèn)為決策者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低，反之風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較高。在本模型中，由上面對財(cái)富目標(biāo)水平的設(shè)置，我們知道消費(fèi)倍數(shù)k值衡量這預(yù)設(shè)的財(cái)富目標(biāo)水平的高低。因此, 我們改變消費(fèi)倍數(shù)k的值， 考察k的取值對年金化時(shí)刻的影響。在這部分，消費(fèi)倍數(shù)k的變動(dòng)范圍在1～2之間，步長為0.01，得到的結(jié)果如表3。

表3 消費(fèi)倍數(shù)k對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響

由表3可知，隨著消費(fèi)倍數(shù)k的增加，退休者將會(huì)推遲購買年金。我們對表3的現(xiàn)象進(jìn)行解釋。當(dāng)k值設(shè)定較高時(shí)，退休者有較高的風(fēng)險(xiǎn)偏好，因此他傾向于通過承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，以獲得更多財(cái)富。若過早購買年金獲得穩(wěn)定保障，退休者將會(huì)失去自行投資的機(jī)會(huì)，因此，若k值越大，退休者就越選擇將年金化時(shí)間延后。當(dāng)我們設(shè)置初始值k為1.5時(shí)，退休者的最優(yōu)選擇是在66歲進(jìn)行年金化。當(dāng)k大于1.66時(shí)，再增加k的值，退休者最遲在67歲時(shí)購買年金，且不會(huì)再繼續(xù)延后。這是因?yàn)橥诵菡呖赡軙?huì)考慮自身的身體情況和投資能力，不希望因?qū)ω?cái)富的過多追求而在推遲年金化的過程中面臨更多風(fēng)險(xiǎn)。

(4)折現(xiàn)率對優(yōu)化決策的影響

折現(xiàn)率能反映退休者的行為特征，判斷他們是更有長遠(yuǎn)的打算，還是比較注重現(xiàn)階段的滿足感。我們假設(shè)E(Qn)=0.979，同時(shí)固定其他的參數(shù)取值，讓折現(xiàn)率在0.02～0.15的范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)， 最優(yōu)年金化時(shí)刻只有小幅變化， 如表4所示。隨著折現(xiàn)率的增加，退休者最優(yōu)年金化時(shí)刻將提前，這是養(yǎng)老計(jì)劃參與者更注重現(xiàn)階段消費(fèi)帶來的滿足度，未來的消費(fèi)對他們來說，時(shí)間越久，消費(fèi)帶來的滿足度越小。在帶有通貨膨脹的情況下更是如此，退休者預(yù)期未來的財(cái)富很可能會(huì)貶值，也會(huì)更希望盡早消費(fèi)，盡早年金化。

表4 當(dāng)E(Qn)=0.979時(shí), 折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響

當(dāng)E(Qn)的值減少到0.93時(shí)，此時(shí)通脹水平會(huì)有所提高，我們保持其他參數(shù)不變，再讓折現(xiàn)率在0～0.15的范圍內(nèi)波動(dòng)，步長為0.001，得到的結(jié)果如表5。

表5 當(dāng)E(Qn)=0.93時(shí),折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響

當(dāng)E(Qn)=0.93時(shí)，我們?nèi)阅艿玫浇Y(jié)論，即折現(xiàn)率越高，最優(yōu)年金化時(shí)刻將會(huì)提前。綜合對比表4和表5，我們發(fā)現(xiàn)，通脹率的大小將影響年金化時(shí)刻對折現(xiàn)率的敏感性。 在高通脹均值的情況下，退休者最佳購買年金時(shí)刻為61～67歲，時(shí)間跨度變長，并且折現(xiàn)率的較小改變，也將引起年金時(shí)刻的變動(dòng)。

5 結(jié)論

本文在動(dòng)態(tài)多期的目標(biāo)定位模型框架下，引入隨機(jī)通脹風(fēng)險(xiǎn)，研究了退休后投資和年金化時(shí)刻優(yōu)化決策問題，并分析了通脹風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)指標(biāo)對投資和年金化策略的影響，這是本文的特色和創(chuàng)新工作。在上述模型設(shè)置下，我們得到了最優(yōu)投資策略的顯式解，并證明了若通脹過程為隨機(jī)的，那么在現(xiàn)有相關(guān)研究里經(jīng)常使用的自然目標(biāo)形式不再存在。當(dāng)通脹過程退化到確定過程時(shí), 我們得到了自然目標(biāo)形式。理論研究表明:(1)風(fēng)險(xiǎn)投資金額會(huì)隨著通貨緊縮增幅的均值增加而減少，由于通貨緊縮增幅與通貨膨脹增幅是倒數(shù)關(guān)系，因此，從某種意義上來說，風(fēng)險(xiǎn)投資金額會(huì)隨著通貨膨脹增幅的均值增加而增加，以對沖通脹的增加帶來的負(fù)面影響;(2)通貨膨脹或通貨緊縮指標(biāo)取值的波動(dòng)性越大，最優(yōu)投資金額越少。通過數(shù)值分析方法，我們得到的結(jié)論歸納如下:(1)通脹情況的存在的確會(huì)讓退休者延遲購買年金, 這從一定程度上可以解釋年金之謎. 當(dāng)通脹程度較大時(shí)，退休者基本在退休后很快就購買終身年金；當(dāng)通脹程度不高時(shí)，退休者更愿意延遲購買年金;(2)年金化時(shí)刻對通貨緊縮漲幅的方差Var(Qn)的敏感程度不如E(Qn)高，總的來說，Var(Qn)越大，退休者越傾向于提前購買年金;(3)若退休者的風(fēng)險(xiǎn)偏好越高，他就越傾向于選擇將年金化時(shí)刻延后;(4)隨著折現(xiàn)率的增加，年金化時(shí)刻會(huì)提前。若E(Qn)越小，年金化時(shí)刻對折現(xiàn)率的改變就越敏感。