岑海鳳，許苑，李濤，陳坤, 鄭溫劍，李志剛

(1.廣東電網(wǎng)公司廣州供電局，廣州 510620； 2.華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣州 510640)

0 引 言

機(jī)組組合(Unit Commitment, UC)是電力系統(tǒng)短期發(fā)電調(diào)度的重要任務(wù)之一。在UC問題中，一般將減少系統(tǒng)發(fā)電成本作為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足負(fù)荷需求、備用需求等約束條件的前提下，確定各時(shí)段各機(jī)組的啟停狀態(tài)和出力大小。安全約束機(jī)組組合(Security-Constrained Unit Commitment，SCUC)進(jìn)一步考慮了系統(tǒng)基態(tài)與預(yù)想故障下的網(wǎng)絡(luò)安全約束，可提高發(fā)電計(jì)劃的安全性[1]。為了改善求解效率，通常可將SCUC問題分解為UC主問題與網(wǎng)絡(luò)安全校驗(yàn)子問題來處理[2]。

由于考慮了潮流方程，UC在數(shù)學(xué)上是一個(gè)非凸的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，求解十分困難。直流潮流(DC Power Flow, DCPF)模型是目前UC廣泛采用的模型[3-5]。它針對UC非凸性的來源，對潮流等式約束進(jìn)行了線性近似，計(jì)算效率高，但難以將其應(yīng)用于與電壓、無功相關(guān)的研究領(lǐng)域。且當(dāng)線路電阻電抗比R/X比較大或網(wǎng)絡(luò)電壓偏離額定值比較大時(shí)，DCPF模型所得到的結(jié)果誤差大[6]。針對DCPF模型的不足，許多學(xué)者對考慮了交流潮流(AC Power Flow, ACPF)約束的UC進(jìn)行了研究[7-8]。但因?yàn)閱栴}本身的非凸性，目前所采用的方法難以求得全局最優(yōu)解，不能保證求解的質(zhì)量。而隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展，出現(xiàn)了將潮流等式約束進(jìn)行凸松弛處理，從而轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題求解的方法[9]。該方法可以保證求解的質(zhì)量，但在松弛不精確的情況下，其所得到的解沒有實(shí)際物理意義。針對DCPF模型的不足與應(yīng)用ACPF的局限性，不少學(xué)者對考慮了電壓與無功的線性化潮流模型進(jìn)行了研究[10-11]。線性化潮流模型基于泰勒級數(shù)展開等數(shù)學(xué)變換，可以準(zhǔn)確地逼近ACPF，目前已在最優(yōu)潮流問題中得到了應(yīng)用[12-13]。

線路潮流與節(jié)點(diǎn)電壓在N-1條件下的安全校核是最為常見的網(wǎng)絡(luò)安全校驗(yàn)問題[14-15]。為了掌握N-1線路開斷后的系統(tǒng)狀態(tài)，通?？梢岳弥烽_斷分布系數(shù) (Line Outage Distribution Factor，LODF)[16-17]或靈敏度分析法[18]來計(jì)算。LODF以DCPF模型為基礎(chǔ)，憑借其可通過基態(tài)斷線線路的有功潮流計(jì)算故障后網(wǎng)絡(luò)的有功潮流分布。但是LODF同樣不能計(jì)算故障后的電壓與無功分布。而靈敏度分析法雖然可提供節(jié)點(diǎn)電壓、線路有功和無功潮流等全面的運(yùn)行數(shù)據(jù)，但其中的靈敏度系數(shù)與系統(tǒng)故障前的運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)，難以應(yīng)用于UC問題中。針對上述問題，文中提出了一種可計(jì)算故障后的電壓和無功分布、僅與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相關(guān)的改進(jìn)支路開斷分布系數(shù)(Modified Line Outage Distribution Factors，MLODF)。文中主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：

(1) 文中對于一種線性化潮流模型，推導(dǎo)了其對應(yīng)的MLODF。利用該MLODF可準(zhǔn)確逼近線路斷線后系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)電壓、線路有功和無功分布；

(2)文中提出了一種基于MLODF的SCUC模型，該模型較傳統(tǒng)基于LODF的模型可提供更為安全的發(fā)電計(jì)劃。

文中首先對MLODF進(jìn)行了推導(dǎo)；接著描述了基于MLODF的SCUC模型；然后介紹了模型的求解方法；最后通過算例分析說明所提出模型的性能。

1 MLODF的推導(dǎo)

對于一種線性化潮流模型，這節(jié)展示了其對應(yīng)MLODF的推導(dǎo)過程。

在靜態(tài)安全分析中，通常使用靈敏度分析法對線路開斷的場景進(jìn)行模擬。靈敏度分析法將支路開斷視為正常運(yùn)行情況下的一種擾動(dòng)，通過節(jié)點(diǎn)注入功率的變化量來模擬線路開斷的影響。圖1對支路nm開斷的場景進(jìn)行了模擬。

如圖1(a)、圖1(b)所示，線路開斷前、后應(yīng)滿足的功率平衡方程式分別為式(1)、式(2)：

(1)

(2)

如圖1(c)所示，模擬線路開斷時(shí)，假設(shè)除斷線線路外，其余線路潮流應(yīng)與斷線后的潮流一致。此時(shí)列寫節(jié)點(diǎn)功率平衡方程式有：

(3)

將式(3)減去式(2)可得：

(4)

式中ΔPn+jΔQn、ΔPm+jΔQm分別為模擬線路開斷前后節(jié)點(diǎn)n、m的注入功率變化量。

在文獻(xiàn)[10]中，采用了下列線性表達(dá)式來逼近支路潮流：

Pij=gij(Vi-Vj)-bij(θi-θj)

(5)

Qij=-bij(Vi-Vj)-gij(θi-θj)

(6)

(7)

(8)

整合式(7)和式(8)，可得到節(jié)點(diǎn)注入功率的表達(dá)式：

(9)

式中Y=G+jB為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；Y=G+jB為不包含并聯(lián)元件的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；Ysh=Gsh+jBsh表示節(jié)點(diǎn)并聯(lián)元件向量。

通過對式(9)執(zhí)行一階泰勒級數(shù)展開，可以計(jì)算節(jié)點(diǎn)注入功率與節(jié)點(diǎn)電壓間的靈敏度系數(shù)：

(10)

在模擬線路nm開斷時(shí)，當(dāng)給定節(jié)點(diǎn)注入功率變化量ΔP、ΔQ時(shí)，可以通過靈敏度系數(shù)求解節(jié)點(diǎn)電壓變化量ΔV、Δθ：

(11)

其中：

(12)

根(11)，可以計(jì)算節(jié)點(diǎn)n、m的電壓變化量：

(13)

整合(7)、式(8)和式(13)，可以得到故障前線路nm潮流、故障后線路nm潮流以及故障前后節(jié)點(diǎn)n、m注入功率變化量：

(14)

將式(4)帶入式(14)得：

(15)

根據(jù)式(11)和式(15)，可通過故障前線路nm潮流計(jì)算故障前后各節(jié)點(diǎn)電壓的變化量：

(16)

定義αi,nm、βi,nm、εi,nm、γi,nm為故障前線路nm的潮流與故障前后節(jié)點(diǎn)i電壓變化量間的靈敏度系數(shù)。因此可將故障后節(jié)點(diǎn)i的電壓表示為：

(17)

(18)

此外，故障后線路ij的潮流可表示為：

(19)

其中：

(20)

類似地，ΔQij、ΔPji、ΔQji也能通過故障前線路nm的潮流計(jì)算得到。

2 SCUC的數(shù)學(xué)模型

2.1 優(yōu)化目標(biāo)

文中SCUC的優(yōu)化目標(biāo)是最小化系統(tǒng)的發(fā)電成本。而火電機(jī)組的發(fā)電成本可用下列線性函數(shù)來描述：

(21)

2.2 約束條件

(1)節(jié)點(diǎn)功率平衡約束

(22)

(23)

(2)旋轉(zhuǎn)備用約束

(24)

(25)

(26)

rdg,t-pg,t≤0

(27)

(28)

(3)爬坡約束

-RDg≤pg,t-pg,t-1≤RUg

(29)

式中RUg和RDg為單個(gè)時(shí)段中機(jī)組的爬坡容量與滑坡容量。

(4)機(jī)組狀態(tài)變量間的邏輯約束

ug,t-ug,t-1=xg,t-gg,t

(30)

(31)

(32)

ug,t∈{0,1},0≤xg,t≤1,0≤yg,t≤1

(33)

其中，MDg為機(jī)組最小停機(jī)時(shí)間。

(5) 無功出力約束

(34)

(6)基態(tài)網(wǎng)絡(luò)安全約束

(35)

(36)

(7) N-1網(wǎng)絡(luò)安全約束：

(37)

(38)

3 模型的求解

由于電力網(wǎng)絡(luò)中線路眾多，需要考慮的N-1安全約束數(shù)目也很多。然而絕大多數(shù)的N-1安全約束是不起作用約束，可以在優(yōu)化模型中忽略。為了減少處理的N-1安全約束數(shù)目，文中借鑒了文獻(xiàn)[3]的方法，通過反復(fù)校驗(yàn)添加的方式來處理N-1安全約束。具體流程圖如圖2所示。

圖2 處理N-1安全約束的流程圖

首先求解基態(tài)的UC問題，意味著需要將約束式(22)～式(36)加入至模型中。根據(jù)求解結(jié)果，可以得到基態(tài)下的線路潮流和節(jié)點(diǎn)電壓。然后，可通過式(37)利用MLODF計(jì)算各條線路斷線后的網(wǎng)絡(luò)潮流。接著，對所有N-1故障進(jìn)行安全校驗(yàn)，若所有故障后的線路潮流和節(jié)點(diǎn)電壓均滿足式(38)，則說明目前的UC結(jié)果能夠滿足N-1準(zhǔn)則，得到了最終解；若不滿足，則需要以式(37)、式(38)的形式將相應(yīng)的線路約束和電壓約束加入至模型中求解。而求解完包含N-1安全約束的SCUC問題后，還需根據(jù)式(37)重新分析故障后的網(wǎng)絡(luò)潮流，以判斷是否有額外的N-1約束需要加入求解的模型中。就這樣通過反復(fù)地校驗(yàn)、添加約束，直至得到的解滿足所有N-1安全校驗(yàn)為止。

4 算例分析

文中SCUC的調(diào)度周期為24 h。這節(jié)首先對6個(gè)測試系統(tǒng)進(jìn)行N-1故障分析來說明MLODF的準(zhǔn)確性；接著對比了6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不同模型的SCUC結(jié)果的安全性；最后通過分析118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中的SCUC結(jié)果來說明所提出模型的安全性。

文中采用了文獻(xiàn)[13]的方法將約束式(36)和式(38)線性化，從而將SCUC轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。所有的優(yōu)化問題通過在軟件MATLAB R2018a上調(diào)用求解器Gurobi 8.1.1[20]來求解。

4.1 MLODF準(zhǔn)確性分析

表1 不同線性化潮流模型的誤差

假設(shè)DCPF模型的電壓幅值均為額定電壓。

由表1可以看出，MLODF與ACPF的電壓、有功潮流的誤差均小于DCPF。因?yàn)镸LODF在DCPF的基礎(chǔ)上考慮了電壓與無功的影響，因此其對ACPF的近似效果更好。此外，從表1中的第4列和第7列可以看出，MLODF 與原始線性化潮流模型的誤差數(shù)量級大致為1e-15。這體現(xiàn)了文中MLODF推導(dǎo)過程的正確性。

4.2 MLODF與LODF的安全性對比

為了說明文中提出的基于MLODF的模型(M1)較傳統(tǒng)基于LODF的模型(M2)的優(yōu)越性，本節(jié)對6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了測試，對比了兩種模型的SCUC結(jié)果。

6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)包含了3臺發(fā)電機(jī)與7條輸電線路。系統(tǒng)的線路參數(shù)、發(fā)電機(jī)特性數(shù)據(jù)和負(fù)荷數(shù)據(jù)均取自文獻(xiàn)[19]。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

圖4展示了M1模型和M2模型的SCUC中各機(jī)組的啟停狀態(tài)。其中前者的發(fā)電成本為111 328.590$，后者的為109 560.502$。

圖4 6節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各機(jī)組的啟停狀態(tài)

由圖4可看出，當(dāng)使用M2模型時(shí)，G3機(jī)組在1-9時(shí)段內(nèi)沒有啟動(dòng)。這主要是由于以下兩個(gè)原因引起的：(1) M2模型沒有考慮無功功率平衡約束。G1機(jī)組的無功出力上限為50 Mvar，而對于時(shí)段1、8和9，系統(tǒng)總的無功負(fù)荷分別為50.37 Mvar、51.06 Mvar和53.71 Mvar。為了滿足系統(tǒng)的無功需求，采用M1模型時(shí)會在相應(yīng)時(shí)刻啟動(dòng)較為便宜的G3機(jī)組與G1機(jī)組一同承擔(dān)負(fù)荷;(2) M2模型沒有考慮系統(tǒng)可能發(fā)生的電壓越限問題。對于時(shí)段2-7，當(dāng)僅有G1機(jī)組啟動(dòng)時(shí)，若線路1-2發(fā)生斷線，此時(shí)節(jié)點(diǎn)2的電壓往往會低于電壓下限值。此時(shí)需啟動(dòng)G3機(jī)組來改善網(wǎng)絡(luò)的功率分布以提高節(jié)點(diǎn)2的電壓。

為了進(jìn)一步說明M1模型較M2模型的安全性，下文對118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了測試。118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)包含了54臺發(fā)電機(jī)與186條輸電線路。系統(tǒng)的線路參數(shù)、發(fā)電機(jī)特性數(shù)據(jù)和負(fù)荷數(shù)據(jù)均取自文獻(xiàn)[19]。圖5展示了基于M1模型和基于M2模型的SCUC中各機(jī)組的啟動(dòng)時(shí)段。其中前者的發(fā)電成本為803 693.693$，后者的為794 533.039$。

圖5 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各機(jī)組的啟動(dòng)時(shí)段

由圖5可以看出，M1模型較M2模型需額外啟動(dòng)4臺機(jī)組，它們分別為連接在節(jié)點(diǎn)8的3號機(jī)組、連接在節(jié)點(diǎn)32的14號機(jī)組、連接在節(jié)點(diǎn)36的16號機(jī)組和連接在節(jié)點(diǎn)59的24號機(jī)組。當(dāng)不啟動(dòng)3號機(jī)組時(shí)，基態(tài)下線路8-5為無功重載線路。當(dāng)線路8-5開斷后，故障前線路上的潮流主要往短線路8-30轉(zhuǎn)移，這會造成線路8-30視在功率過載。此時(shí)通過啟動(dòng)3號機(jī)組可以改善網(wǎng)絡(luò)潮流分布。若14號與16號機(jī)組總處于停機(jī)狀態(tài)時(shí)，隨著網(wǎng)絡(luò)無功負(fù)荷的增加，部分時(shí)段中節(jié)點(diǎn)31和節(jié)點(diǎn)39、節(jié)點(diǎn)40的電壓會低于下限值。因此M1模型會在相應(yīng)時(shí)段啟動(dòng)這兩個(gè)機(jī)組以提高附近節(jié)點(diǎn)的電壓。此外，由于在8-24時(shí)段僅啟動(dòng)21號機(jī)組不能滿足節(jié)點(diǎn)59的無功負(fù)荷需求，因此M1模型會在相應(yīng)時(shí)段啟動(dòng)24號機(jī)組來承擔(dān)無功負(fù)荷。

從上述兩個(gè)算例可以看出，由于M1模型考慮了電壓和無功分布，基于M1模型的SCUC結(jié)果可解決潛在的電壓越限和視在功率越限問題。因此較傳統(tǒng)的M2模型，M1模型可提供更為安全的發(fā)電計(jì)劃。

4.3 MLODF安全性分析

為了探究基于MLODF的SCUC結(jié)果對于實(shí)際N-1線路開斷故障的承受能力，這節(jié)對118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了測試。仿真時(shí)將SCUC結(jié)果中的相關(guān)變量(PQ節(jié)點(diǎn)的注入功率、Vθ節(jié)點(diǎn)的電壓和 PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值和有功注入功率)固定后進(jìn)行ACPF計(jì)算，分析了線路開斷后的系統(tǒng)狀態(tài)。

將SCUC結(jié)果在線路N-1故障下進(jìn)行ACPF校驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有48處線路潮流越限(在所有N-1故障中占比為0.518%)、有152處節(jié)點(diǎn)電壓越限(在所有N-1故障中占比為1.224%)。其中線路潮流越限的情況主要發(fā)生在線路65-68開斷時(shí)，線路47-69與線路49-69的潮流發(fā)生越限。電壓越限的情況主要有兩種。一種發(fā)生在線路37-39開斷時(shí)，節(jié)點(diǎn)39與節(jié)點(diǎn)40的電壓低于下限值；另一種發(fā)生在線路100-103開斷時(shí)，節(jié)點(diǎn)110、111與112的電壓低于下限值。對越限情況的嚴(yán)重程度進(jìn)行分析，計(jì)算得到的平均潮流越限量為10.177 MV·A(占線路視在功率容量的5.356%)、平均電壓越限量為0.023 2 p.u.。由于越限量大，此時(shí)SCUC結(jié)果不能在這些故障發(fā)生時(shí)保障系統(tǒng)的安全性。而對于其他98%以上的N-1故障，SCUC結(jié)果可以保障線路潮流和節(jié)點(diǎn)電壓在安全的限值之內(nèi)。因此基于MLODF的SCUC結(jié)果能在絕大多數(shù)N-1故障下保障系統(tǒng)的安全性。

為了進(jìn)一步分析嚴(yán)重故障對于模型準(zhǔn)確度的影響，圖6～圖8展示了在峰荷時(shí)段17、對電壓與線路潮流準(zhǔn)確度影響最大的斷線場景下的網(wǎng)絡(luò)潮流分布。由圖6可以看出，此時(shí)節(jié)點(diǎn)39和節(jié)點(diǎn)40發(fā)生了電壓越限。這是由于當(dāng)線路37-39開斷后，節(jié)點(diǎn)39和節(jié)點(diǎn)40上的無功負(fù)荷不能通過近距離的連接在36號節(jié)點(diǎn)上的機(jī)組直接承擔(dān)，從而引發(fā)了節(jié)點(diǎn)電壓下降。在圖中可觀察到此時(shí)的節(jié)點(diǎn)電壓已經(jīng)偏離額定電壓，即偏離了近似時(shí)的假設(shè)條件，從而導(dǎo)致了誤差的增大。而從圖7可看出，即使在嚴(yán)重故障場景下，該模型仍對線路有功功率保持了良好的逼近效果。由圖8可以看出，此時(shí)105號線路47-69與106號線路49-69發(fā)生了潮流越限。這主要是因?yàn)榇藭r(shí)模型對線路無功功率近似效果差造成的。線路47-69與線路49-69均為長線路，支路電抗大。當(dāng)線路65-68開斷時(shí)，連接在節(jié)點(diǎn)49、節(jié)點(diǎn)69的發(fā)電機(jī)組均處于啟動(dòng)狀態(tài)。此時(shí)節(jié)點(diǎn)49、節(jié)點(diǎn)69電壓分別為0.959 p.u.和1.012 p.u.，而節(jié)點(diǎn)47與節(jié)點(diǎn)49相連，作為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，其電壓要低于節(jié)點(diǎn)49。由于線路47-69與線路49-69電抗大、電壓差值大，所以線路的無功損耗大。通過式(7)和式(8)可知，文中所采用的線性化潮流模型忽略了支路損耗。所以此時(shí)模型對相關(guān)線路無功功率的逼近效果差，從而導(dǎo)致了其與相關(guān)線路視在功率間的誤差增大。

圖6 時(shí)段17線路37-39開斷時(shí)系統(tǒng)電壓分布

圖7 時(shí)段17線路65-68開斷時(shí)系統(tǒng)有功功率分布

圖8 時(shí)段17線路65-68開斷時(shí)系統(tǒng)視在功率分布

從上述的分析可以看出，少數(shù)N-1故障在交流潮流校驗(yàn)下發(fā)生越限是由于節(jié)點(diǎn)電壓偏離額定電壓或線路無功損耗增大造成的。在這些故障情景下，實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)潮流偏離了線性化潮流模型節(jié)點(diǎn)電壓為額定電壓、忽略支路損耗的假設(shè)，因此此時(shí)模型誤差變大，進(jìn)一步導(dǎo)致了交流潮流校驗(yàn)越限。

5 結(jié)束語

文中針對一種線性化潮流模型推導(dǎo)了與之對應(yīng)的MLODF，并將MLODF應(yīng)用到了SCUC中。算例的結(jié)果表明：

(1)MLODF較DCPF對ACPF的近似效果更好。此外，它保持了原有線性化潮流模型的精度，這說明了推導(dǎo)過程的正確性；

(2)基于MLODF的SCUC模型考慮了無功和電壓約束。較傳統(tǒng)基于LODF的模型，它能提供更為安全的發(fā)電計(jì)劃；

(3)對于絕大多數(shù)N-1故障，基于MLODF的SCUC結(jié)果可以保障線路潮流和節(jié)點(diǎn)電壓在安全的限值之內(nèi)。

需要指出，部分線路開斷時(shí)，可能會出現(xiàn)系統(tǒng)電壓偏離額定值或線路無功損耗過大的情況。此時(shí)MLODF模型的精度降低，得到的SCUC結(jié)果不夠理想。因此，下一步的工作內(nèi)容主要在于如何進(jìn)一步地提高模型的準(zhǔn)確度。