盧依婷

(杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校，浙江 杭州 311215)

1 問題提出

2020年山東省數(shù)學(xué)高考貫徹了“低起點，多層次，高落差”的調(diào)控策略，結(jié)構(gòu)不良問題首次亮相．結(jié)構(gòu)不良問題具有條件缺失、選擇多樣、結(jié)果開放等特點，能夠使學(xué)生在解決問題的過程中，根據(jù)具體情境，從多個角度分析，考慮多個可能，尋找不同路徑，提出多種解決方法，以考查學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性，促進學(xué)生素養(yǎng)的形成和能力的提升．學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，大多遇到的是結(jié)構(gòu)良好的問題，問題的指向性明確，解決問題的思想方法自成一套．而在新高考選拔性要求高的背景下，勢必要一改過去的習(xí)慣，大膽設(shè)問，小心求證．因此，如何在課堂實踐中滲透結(jié)構(gòu)不良問題，從而提高教學(xué)實效性，幫助學(xué)生發(fā)散思維，促進學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升，值得一線教師探究．

2 問題分析

結(jié)構(gòu)良好問題是指問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和算子都是完整的，而結(jié)構(gòu)不良問題則是三者中至少有一個沒有明確界定的問題[1]．結(jié)構(gòu)不良問題要求學(xué)生在條件模糊的情境中，主動提出問題，完成開放性的探究任務(wù)．但本文并不是研究如何在課堂上學(xué)會結(jié)構(gòu)不良問題的解決方法，而是致力于突破常規(guī)新授課的設(shè)計，使得結(jié)構(gòu)不良問題不僅僅是課堂練習(xí)，還可作為教學(xué)的某一環(huán)節(jié)．

康托爾說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由．”在教學(xué)中，數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等理應(yīng)注重讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)教育的意義在于使學(xué)生學(xué)會思考，因此，教師在教學(xué)設(shè)計時，需在“如何使學(xué)生想得到”上多下功夫，提高處理“預(yù)設(shè)”與“生成”關(guān)系的能力，力爭通過有效提問促使學(xué)生實現(xiàn)知識的自主發(fā)現(xiàn)．那么，如何才能將結(jié)構(gòu)不良問題有效應(yīng)用于新授課中，使學(xué)生具有成長型思維模式，增強其學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機呢？如改變問題結(jié)構(gòu)，教師可構(gòu)造條件不清晰、某個條件不清晰或條件結(jié)論都不清晰但供選擇的不同程度的開放性問題，有層次地展開思考活動，建立局部邏輯體系[2]．在備課時，教師需有結(jié)合結(jié)構(gòu)不良問題進行教學(xué)的意識，思考每一課中的哪個知識點可應(yīng)用該結(jié)構(gòu)，并做好預(yù)設(shè)．

通過學(xué)習(xí)可知：一些數(shù)學(xué)概念可以通過充要條件給出它的等價定義，通過充分條件給出它的判定定理，通過必要條件給出它的性質(zhì)定理．因此，教師可從命題角度出發(fā)，將已知命題的條件、結(jié)論與否定后的條件、結(jié)論放在一起作為選項，暗示學(xué)生從充分必要性著手自由重組命題，通過演繹推理證明命題．對于多條件的命題，可考慮刪減條件，或增添易混淆的相關(guān)條件，形成新命題．簡而言之，該環(huán)節(jié)設(shè)計的基本流程有3點——提、構(gòu)、評，筆者稱之為TGP教學(xué)模型．首先，根據(jù)具體教學(xué)情境，提取關(guān)鍵條件；其次，構(gòu)造結(jié)構(gòu)不良問題，讓學(xué)生自主探究；最后，師生共同評價，教師總結(jié)．以下是筆者的兩個教學(xué)案例，供各位同仁參考．

3 解決案例

3.1 案例1

在“函數(shù)的零點與方程的根”一課中，筆者以零點存在定理為背景，按照“概念—定理—應(yīng)用”的線索，設(shè)置了4個教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，自然銜接．為進一步加深學(xué)生對定理的理解，筆者在獨立思考、合作探究環(huán)節(jié)中，應(yīng)用TGP模型，把分析環(huán)節(jié)中得到的與零點存在定理相關(guān)的條件提取出來，設(shè)置了體現(xiàn)各條件、結(jié)論內(nèi)在關(guān)系的結(jié)構(gòu)不良問題，讓學(xué)生重構(gòu)命題并討論評價．最后，通過改變條件，得到判斷零點唯一的一個充分條件．

探究1請同學(xué)們從下列條件中任選3個，組成一個命題，并判斷真假，若是假命題，則請通過圖像說明理由．

①f(a)f(b)<0；

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點；

④f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點；

⑤f(a)f(b)≥0.

筆者先給出探究1，讓學(xué)生竭盡所能地組合條件成為有意義的命題，并通過小組討論互相判斷對方命題的真假性．待學(xué)生充分討論后，再給出探究2．

探究2請同學(xué)們從下列條件中任選3個，組成一個命題，并判斷真假，若是假命題，則請通過圖像說明理由．

①f(a)f(b)<0；

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點；

④f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點；

⑤f(a)f(b)≥0；

⑥函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)無零點.

探究2在探究1的基礎(chǔ)上增加了條件⑥，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)無零點．在筆者給出探究2后，學(xué)生的探究熱情更加高漲，討論氛圍濃厚，仿佛在打游戲通關(guān)，升級后打高級副本．筆者乘機讓一位學(xué)生上臺寫下自己小組的探究成果，并在討論過程中， 引導(dǎo)學(xué)生若有補充則可上臺展示；若認(rèn)為有寫得不對的，則也可上臺舉反例推翻．

生1上臺書寫的4個命題都是假命題，并且給出了正確的反例圖像．

命題1若①②，則④(反例如圖1).

圖1 圖2

命題2若②⑤，則④(反例如圖2).

命題3若②⑤，則⑥(反例如圖3).

圖3 圖4

命題4若②⑤，則③(反例如圖4).

生2在生1的基礎(chǔ)上進行補充，得到以下命題．

命題5若②③，則①(反例如圖3).

命題6若①③，則②(反例如圖5).

圖5 圖6

筆者發(fā)現(xiàn)兩位學(xué)生在黑板上書寫的命題都是假命題，于是面向全體學(xué)生問：“全是假命題嗎？是否有真命題？”生3立馬舉手上臺補充了3個命題．

命題7若②⑥，則⑤.

命題8若②④，則①．

命題9若③④，則⑥．

生3認(rèn)為命題7和命題8均為真命題，而命題9條件與結(jié)論矛盾，顯然為假命題，故圖略．對于命題8，生4認(rèn)為這是假命題，上臺舉出反例如圖6．對于命題7，生4也認(rèn)為是假命題，嘗試著舉出反例，但沒找出破綻．這個命題引起了全班爭議，大部分學(xué)生認(rèn)為是假命題卻未找出反例．由于時間有限，筆者說明了命題7為真命題的理由，解決了學(xué)生糾結(jié)的點．

該探究環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖是使學(xué)生通過幾個重要條件的自由組合，感悟各個條件間的充分必要性如何．借助一些正反例研究函數(shù)零點存在的條件，但千萬不要把充分條件當(dāng)成必要條件，且需注意零點存在定理無法判定零點個數(shù)，因此，自然想到零點唯一的充分條件．另外，學(xué)生在這兩個探究中被調(diào)動了積極性，為探究3的順利開展做鋪墊．筆者引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)的方式，從邏輯嚴(yán)密性的角度對定理中兩個條件的充分性、必要性進行考查，抓住了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)的契機．

探究3請同學(xué)們從除④外的條件中任選3個作為條件，結(jié)論為④，組成一個真命題．

①f(a)f(b)<0；

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點；

④f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點；

⑤f(a)f(b)≥0；

⑥函數(shù)y=f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù).

由上述探究，學(xué)生快速得出以①②⑥作為條件，可推出④．即如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上，圖像是連續(xù)的，并且在閉區(qū)間的兩個端點上的函數(shù)值互異，即f(a)f(b)<0，且是單調(diào)函數(shù)，那么，這個函數(shù)在(a,b)內(nèi)必有唯一的零點．該處并未像前兩個探究那樣如此開放，而是更像一個選擇題.當(dāng)然此處可以讓學(xué)生自由選擇條件組成命題，通過判斷真假得到相關(guān)結(jié)論．但由于課堂時間有限，筆者舍棄了該處的開放，其實關(guān)于零點唯一的充分條件的探究大有文章可做．

3.2 案例2

解三角形是由已知的邊角確定未知邊角元素的過程．三角形的6個元素中知道幾個能解三角形？有哪些類型？筆者再次應(yīng)用TGP模型，將三角形的6個元素提取出來作為條件，引入結(jié)構(gòu)不良問題，讓學(xué)生自己選擇條件構(gòu)造命題，完成求解并整理各種情形．以下呈現(xiàn)的是例題及教師預(yù)設(shè)的內(nèi)容．

例1已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，請在以下6個條件中選擇3個作為條件，若可以解三角形，則請作答；若不行，則請說明理由．

情形1若選擇①②③，相當(dāng)于已知三角形的3條邊長，則可利用余弦定理得到3個角的大?。?/p>

情形2若選擇①②④或①②⑤或②③⑤或②③⑥或①③④或①③⑥，相當(dāng)于已知兩邊長和其中一邊的對角，則可利用正弦定理得到第三邊的對角，且需要判斷解是否唯一．

情形3若選擇①②⑥或②③④或①③⑤，相當(dāng)于已知兩邊長和第三邊的對角，則可利用余弦定理求出第三邊，且需要判斷解是否唯一．

情形4若選擇①④⑤或②④⑤或②⑤⑥或③⑤⑥或①④⑥或③④⑥，相當(dāng)于已知兩角和其中一角的對邊，則可利用正弦定理得到第三個角所對應(yīng)的邊長，再進一步求解．

情形5若選擇③④⑤或①⑤⑥或②④⑥，相當(dāng)于已知兩角和第三個角的對邊，則可利用正弦定理求出第三邊．

情形6若選擇④⑤⑥，相當(dāng)于已知3個角的大小，則此時三角形是不確定的．

4 行動反思

4.1 增強使用結(jié)構(gòu)不良問題授新課的意識

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)構(gòu)不良問題應(yīng)用廣泛，其通常以目標(biāo)不清晰的問題形式呈現(xiàn)，但在該情境下學(xué)生是接受學(xué)習(xí)，不符合新課程“一切為了學(xué)生的發(fā)展”理念．若希望學(xué)生變被動為主動，成為信息加工者進行探究學(xué)習(xí)，則教師需有意識地重視和改進數(shù)學(xué)的教學(xué)．備課時應(yīng)基于學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，思考在何處可巧妙應(yīng)用結(jié)構(gòu)不良問題引發(fā)認(rèn)知沖突，并做好預(yù)設(shè)．在探究過程中基于構(gòu)造的幾個問題，不斷啟發(fā)學(xué)生，提高學(xué)生思維的敏捷性，促進學(xué)生認(rèn)知的飛躍和提升，從而在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)以生為本的先進教育理念．

4.2 巧用結(jié)構(gòu)不良問題，幫助學(xué)生理解新知識的本質(zhì)

問題是認(rèn)知沖突的“導(dǎo)火索”，提問對學(xué)生的思維提升有顯著效果．當(dāng)教師提出問題恰到好處時，將會激發(fā)學(xué)生的探究熱情，有利于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[3]．TGP模型作為一種有效的教學(xué)策略，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展路徑．該模型不僅可通過探究用于概念辨析和深化理解，而且能夠?qū)⒍囝}合一，使學(xué)生在體驗命題者意圖的同時，對數(shù)學(xué)知識的來龍去脈有本質(zhì)性理解．其解決過程能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲、幫助學(xué)生多角度把握問題本質(zhì)、追尋知識背后的價值、形成跨學(xué)科綜合解決問題的關(guān)鍵能力．好的問題是思維發(fā)展的助推器，因此其也可結(jié)合問題鏈的使用靈活、課外預(yù)設(shè)、整體性等特性，體現(xiàn)思維脈絡(luò)，實現(xiàn)真正意義上“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的”．

4.3 注重新授課的時效，緊握新高考趨勢

課堂是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的第一陣地，而數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)知識浸潤核心素養(yǎng)的形成．在新高考選拔性要求高的背景下，結(jié)構(gòu)不良試題增加了問題的情境性，符合通過情境與情境活動來考查學(xué)生的學(xué)科能力的要求．在新授課中引入結(jié)構(gòu)不良問題，能夠彌補傳統(tǒng)教學(xué)的不足，活化“死知識”，有利于調(diào)動學(xué)生的思維，高度激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生經(jīng)歷從感知到理解頓悟的過程．此外，教師應(yīng)把握好新高考趨勢，通過調(diào)整二者的部分結(jié)構(gòu)進行結(jié)合，打破固有觀念，多策略創(chuàng)新教學(xué)，用層次遞進的結(jié)構(gòu)不良問題探究驅(qū)動學(xué)生循序漸進地思考，用整體教學(xué)追求直觀和邏輯的融合發(fā)展，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的育人功能．