周建峰

(浙江師范大學(xué)附屬中學(xué),浙江 金華 321004)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的共識(shí)，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育到高等教育都在不斷探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生根落地的有效途徑.其中，也不乏一些片面理解，如“在新課教學(xué)中培養(yǎng)核心素養(yǎng)，在復(fù)習(xí)課中抓應(yīng)試能力”.其實(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)綜合系統(tǒng)，新課中要重視核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，復(fù)習(xí)課、專題課也是核心素養(yǎng)培育的重要陣地.

筆者有幸在2020年初新冠疫情暴發(fā)階段，參加了浙江師范大學(xué)組織的“高考云眾對(duì)”節(jié)目，利用網(wǎng)絡(luò)直播的形式，以“數(shù)列”二輪復(fù)習(xí)為例，與廣大師生聊聊高考那些事，其中的每個(gè)環(huán)節(jié)都精心設(shè)計(jì)并滲透了數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng).

1 直播課片段

師：今天，老師將和大家一起以“數(shù)列”二輪復(fù)習(xí)為例，聊聊考題的素材和命題視角的變化，從中尋找不變的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，探尋知識(shí)的“根”與“芽”、命題的“源”與“流”.

環(huán)節(jié)1知識(shí)畫像——邏輯推理的邏輯直觀性.

1)學(xué)生活動(dòng)：用知識(shí)框圖的形式畫出“數(shù)列”一章的“知識(shí)畫像”，上傳至指定QQ群(3分鐘).

2)團(tuán)隊(duì)收集整理：從中選擇3～5份，展現(xiàn)不同層次的學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備.

3)教師活動(dòng)：通過3個(gè)層次的“知識(shí)畫像”，分析學(xué)生的不同呈現(xiàn)形式(粗獷型、簡(jiǎn)約型、完美型)，最后呈現(xiàn)團(tuán)隊(duì)的作品(如圖1).

圖1

評(píng)注邏輯推理核心素養(yǎng)既包含知識(shí)和方法的生成過程，也包括數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu).在這一環(huán)節(jié)中，用知識(shí)框圖的形式展示每位學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，厘清知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，直觀體現(xiàn)了知識(shí)邏輯關(guān)系，這是邏輯推理核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)——邏輯推理的思維發(fā)散性.

本環(huán)節(jié)采用師生云端同步合作的方法開展，學(xué)生可以隨時(shí)將自己設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)關(guān)系發(fā)至指定QQ群與教師互動(dòng).

1)形式變化：從原始結(jié)構(gòu)(即a1=1，an+1-an=1)出發(fā)，通過合理構(gòu)造，從而產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)(如圖2).

圖2

3)符號(hào)變化：將上述等式變?yōu)椴坏仁?適當(dāng)增加限制條件)，產(chǎn)生類等差和類等比結(jié)構(gòu).

評(píng)注邏輯推理核心素養(yǎng)既要關(guān)注知識(shí)和方法的生成過程，更要關(guān)注思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的變化.在這一環(huán)節(jié)中，通過原始結(jié)構(gòu)“a1=1，an+1-an=1”，從形式、結(jié)構(gòu)和符號(hào)變化產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)，引發(fā)方法的變化，但“源”來同“根”.以此帶領(lǐng)學(xué)生尋找邏輯推理的起點(diǎn)以及可以如何變化、變化生成什么等系列問題，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的滋養(yǎng)過程.

環(huán)節(jié)3問題演變——邏輯推理的考查層次性.

演變1尋“源”——題干情境.

類型1數(shù)列類型確定，直接確定基本量加以解決.

已知Sn是等差(比)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出以下兩個(gè)條件之一：

條件1給定兩項(xiàng)或項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，如：

1)am=a,an=b；

2)d=m(或q=m),ap=n；

3)am,an是方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根.

條件2給定項(xiàng)、前n項(xiàng)和的關(guān)系，如am=a,Sn=b.

類型2數(shù)列類型未知，需要通過轉(zhuǎn)化確定數(shù)列類型，然后確定基本量.

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出以下兩個(gè)條件之一：

條件3給出函數(shù)型條件，如：

1)(n,an)在直線y=x上或y=Aqx上；

2) (n,Sn)在曲線y=Ax2+Bx或y=A(qx-1)上.

條件4給出遞推條件，如：

1)a1=a,ean+1=ean+b或a1=a,lnan+1-lnan=b；

2)2an+1=an+an+2或ean，ean+1，ean+2成等比；

演變2問“流”——設(shè)問視角.

已知an=n，其中n∈N*.

第1層次加入常見裂項(xiàng)錯(cuò)位相消求和.

第2層次先求和后放縮.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題改編)

第3層次先放縮后求和.

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第20題改編)

第4層次等式遷移到不等式——類等差(比).

第7)小題的放縮方法與2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題、2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題密切相關(guān).

評(píng)注邏輯推理的層次性是培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)的重要要求，它可以實(shí)現(xiàn)邏輯的內(nèi)在貫通，有效整合數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法.在這一環(huán)節(jié)中，通過數(shù)列類型已知和未知兩大類以及項(xiàng)與項(xiàng)、項(xiàng)與和之間的關(guān)系等不同的角度尋找題“源”，再綜合不同的方法設(shè)計(jì)設(shè)問方向，實(shí)現(xiàn)對(duì)題干情境和設(shè)問視角多角度、多層次演變.題“源”演變的關(guān)鍵是情境變化，題“問”演變的關(guān)鍵是視角變化和問題遷移，交互生成不同背景、不同難度的題干和設(shè)問，實(shí)現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng)考查的層次性.

環(huán)節(jié)4“數(shù)列人”生成——邏輯推理的知識(shí)系統(tǒng)性.

1)學(xué)生活動(dòng)：用“數(shù)列”知識(shí)和方法為卡通人添上“心臟”“大腦”和“四肢”等，讓它成為你心中的“數(shù)列人”(圖3).

圖3

2)師生討論完善：“數(shù)列人”的心臟是遞推關(guān)系，大腦是轉(zhuǎn)化，大腿是兩種特殊數(shù)列，兩個(gè)抓手是通項(xiàng)與求和，基礎(chǔ)是函數(shù).學(xué)生還可以根據(jù)自身的知識(shí)掌握程度，進(jìn)一步添加細(xì)化的內(nèi)容，如可以畫上手指、脈絡(luò)等.

評(píng)注復(fù)習(xí)課必須立足于知識(shí)展開教學(xué)，作為章節(jié)的二輪復(fù)習(xí)，要讓學(xué)生建立自主梳理知識(shí)和方法的習(xí)慣與意識(shí).二輪復(fù)習(xí)的知識(shí)系統(tǒng)需要在一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上有所提升與突破，關(guān)鍵在于建立新的邏輯序.這一環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、標(biāo)準(zhǔn)模型、核心思想、關(guān)鍵能力等出發(fā)，由“粗”到“細(xì)”，通過“數(shù)列人”再次梳理知識(shí)，使邏輯鏈條不斷清晰，邏輯推理素養(yǎng)呈現(xiàn)螺旋式上升.

環(huán)節(jié)5模型發(fā)散——邏輯思維的載體多樣性.

師：請(qǐng)大家模仿本節(jié)課的結(jié)構(gòu)，對(duì)照高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，選擇一章知識(shí)，從以下3個(gè)方面課后自行完成：

1)理一塊：數(shù)學(xué)有骨架(知識(shí))、脈絡(luò)(方法)和肌肉(命題生長(zhǎng)點(diǎn))，你能否理清數(shù)學(xué)的主干知識(shí)的骨架、脈絡(luò)和肌肉？

2)畫一像：對(duì)于高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，你能否模仿“數(shù)列人”畫出“××人”？

3)命一題：能否選擇一個(gè)知識(shí)點(diǎn)自行命制不同層次(識(shí)記、理解和應(yīng)用)的試題？

評(píng)注數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和變化的思維脈絡(luò)具有一致性，當(dāng)邏輯思維素養(yǎng)發(fā)展到一定層次時(shí)，思維模式可以進(jìn)行移植、復(fù)制和遷移.不同的知識(shí)、不同的內(nèi)容可以通過相同或相似的思維模式實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

師：同學(xué)們，今天我不是主播，我只是一個(gè)主持人.通過今天的課堂和交流，我和我的團(tuán)隊(duì)希望帶給大家一種數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升的策略：尋根覓親，探尋知識(shí)的“根”與“芽”，審視命題的“源”與“流”.

2 幾點(diǎn)思考

1)對(duì)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施情況的反思.在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，團(tuán)隊(duì)考慮了兩方面因素:一是二輪復(fù)習(xí)，二是線上直播教學(xué).二輪復(fù)習(xí)如何達(dá)成學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的目標(biāo)？線上教學(xué)如何使學(xué)生從被動(dòng)學(xué)到主動(dòng)樂學(xué)、善學(xué)？

改變課堂模式，把主播變成主持.在課堂實(shí)施過程中，互動(dòng)環(huán)節(jié)給予學(xué)生充分的展示空間，學(xué)生們用線條、文字、符號(hào)、式子構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，上傳各式各樣的知識(shí)畫像、遞推關(guān)系和“數(shù)列人”.“以前從沒聽說過‘?dāng)?shù)列人’這個(gè)概念，沒想到知識(shí)可以用這樣的方法歸納！”直播課后，學(xué)生們給本節(jié)課的點(diǎn)贊和直播間內(nèi)彈幕上刷滿了“666”說明：我們的設(shè)計(jì)和課堂成功了！

2)對(duì)線上教學(xué)的思考.疫情按下了線下教學(xué)的暫停鍵，迫使廣大教師從課堂走向屏幕.但線上直播教學(xué)的難度遠(yuǎn)大于線下教學(xué)，換舞臺(tái)不減效果、從吸引人的眼球到影響人的學(xué)科發(fā)展成為困擾新“主播”的新難題.作為一次公益性線上直播活動(dòng)，受眾面很大，只有經(jīng)過精心設(shè)計(jì)、團(tuán)隊(duì)打磨、有效活動(dòng)，才能顯現(xiàn)線上教學(xué)的魅力.而學(xué)科教學(xué)無論是線上還是線下，都需要以發(fā)展學(xué)生的學(xué)科能力為指向，本次直播就是以發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)為目標(biāo)進(jìn)行的一次有效嘗試.