張溶萍，劉茂省，解博麗

(中北大學(xué)，太原 030051)

0 引言

傳染病對(duì)人們的生活具有極大威脅[1-3]。自從Kermack 等[4]提出傳染病模型以來，大量的數(shù)學(xué)模型被用來分析各種傳染病問題[5]，包括傳染病的預(yù)防問題。疫苗接種和隔離是典型的預(yù)防策略。接種疫苗可以使個(gè)體產(chǎn)生抗體[6]，隔離可以阻斷傳染病的傳播。

疫苗作為有效預(yù)防策略之一，被廣泛運(yùn)用于傳染病預(yù)防和傳播控制[7]。通過理論研究發(fā)現(xiàn)，自愿接種不太可能達(dá)到群體免疫水平，而且預(yù)期死亡率會(huì)大幅上升[8]，所以強(qiáng)制接種是必要的。實(shí)驗(yàn)表明，疫苗很少能對(duì)個(gè)體提供完全的保護(hù)，而且大部分疫苗的有效期有限[9]，所以本文模型中同時(shí)考慮了疫苗的有效性和有效期。Alexander等[10]研究了流感的傳播動(dòng)力學(xué)，并計(jì)算了控制流感所必須的閾值接種率。結(jié)果表明，如果疫苗有效率和接種率的綜合作用達(dá)到閾值，流感的傳播就可以得到控制。

隔離作為另一種有效的預(yù)防策略，在新冠病毒的預(yù)防中起了關(guān)鍵作用[11]。隔離感染者可以減少感染的發(fā)生。胡新利等[12]研究了SEQIJR傳染病模型，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)?shù)卦黾痈綦x強(qiáng)度有利于控制疾病的蔓延。豐利香等[13]建立了一類具有隔離和不完全治療的傳染病模型，并進(jìn)行了理論分析，發(fā)現(xiàn)易感者自愿隔離可以防止自己被感染。Zhao等[14]建立了一種SEIR模型，將博弈理論決策過程的行為模仿納入研究和預(yù)測COVID-19爆發(fā)的動(dòng)力學(xué)過程。研究結(jié)果表明，個(gè)體層面采取預(yù)防感染的行為變化有可能在城市層面顯著降低COVID-19暴發(fā)的規(guī)模和時(shí)間。Amaral等[15]提出了一種SIR 模型，使用演化博弈論刻畫個(gè)體隔離策略的動(dòng)態(tài)。結(jié)果表明，帶隔離的情況出現(xiàn)了反復(fù)的感染波。

本文中提出一種結(jié)合疫苗接種和隔離的傳染病模型，其中隔離的個(gè)體不具有傳染性。根據(jù)實(shí)際情況，博弈論被用來描述易感者和接種者自愿隔離的選擇。感染者以一定的速率隔離，直到恢復(fù)。模型中同時(shí)考慮了疫苗的有效性和有效期。

1 模型

同時(shí)考慮隔離和疫苗接種2種保護(hù)措施。隔離作為一種有效的預(yù)防措施，可以阻斷傳染病的傳播，但會(huì)影響經(jīng)濟(jì)收入。接種疫苗可以使個(gè)體對(duì)傳染病產(chǎn)生抵抗力，但疫苗的有效率不是100%。

所有個(gè)體被分成7類：未隔離的易感者Su，隔離的易感者Sq，未隔離的接種者Vu，隔離的接種者Vq，未隔離的感染者Iu，隔離的感染者Iq，恢復(fù)者R。Su(t)，Sq(t)，Vu(t)，Vq(t)，Iu(t)，Iq(t)和R(t)分別表示在t時(shí)刻，各類人口占總?cè)丝诘谋壤?，其中Su+Sq+Vu+Vq+Iu+Iq+R=1。未隔離的易感者的感染率用β表示。由于疫苗的有效性不是百分之百，所以接種疫苗的個(gè)體仍可能被感染。接種疫苗且未隔離的個(gè)體的感染率用δβ表示。感染個(gè)體的恢復(fù)率用γ表示。疫苗的接種速率為η。假設(shè)疫苗的有效期為1/ed，且恢復(fù)個(gè)體在1/ed后失去免疫。疾病的傳播過程如圖1所示。

圖1 疾病的傳播過程示意圖

表1 收益矩陣元素

假設(shè)隔離個(gè)體的收益為-cq。接種且隔離的個(gè)體收益為-cq-cv。未隔離個(gè)體有感染的風(fēng)險(xiǎn)，假設(shè)未接種也未隔離的個(gè)體收益為-βIu，接種個(gè)體未隔離的收益為-δβIu。根據(jù)以上假設(shè)，建立動(dòng)力學(xué)方程如下：

e(Vu(t)+R(t))-ΦS1(t)+ΦS2(t)

ΦV1(t)+ΦV2(t)

μIu(t)-γIu(t)

由于

所以

代入上面的動(dòng)力學(xué)方程，可得

e(Vu(t)+R(t))-

μIu(t)-γIu(t)

2 模型分析

模型的無病平衡點(diǎn)是

根據(jù)下一代矩陣法[16]，求得模型的基本再生數(shù)為

模型的地方病平衡點(diǎn)表示為E*=(Su*，Sq*，Vu*，Vq*，Iu*，Iq*，R*)。令等式右邊為0，可得到以下等式：

定理1當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，E0不穩(wěn)定。

證明模型在無病平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣為

3 數(shù)值模擬

通過理論分析得到無病平衡點(diǎn)、地方病平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)，并分析無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。模型中的預(yù)防措施包括隔離和疫苗接種，通過數(shù)值模擬分析它們對(duì)傳染病的影響。

根據(jù)基本再生數(shù)的表達(dá)式可以看出：隨著β和δ的增加，基本再生數(shù)增加；隨著γ和μ的增加，基本再生數(shù)減少。接下來，通過作圖分析e和η對(duì)基本再生數(shù)的影響。其他參數(shù)取值：β=0.375，δ=0.02，γ=0.125，μ=0.1。

從圖2可以看出，隨著η的增加，基本再生數(shù)減少；隨著e的增加，基本再生數(shù)增加。在e和η較小時(shí)，基本再生數(shù)的變化速率較快；隨著e和η的增加，基本再生數(shù)的變化速率減慢?；驹偕鷶?shù)是判斷傳染病爆發(fā)的關(guān)鍵閾值，增加疫苗接種速率或感染者的隔離速率可以有效抑制傳染病傳播。

圖2 參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響曲線

當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，無病平衡點(diǎn)穩(wěn)定；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。取e=0.08，η=0.1，β=0.375和β=0.7進(jìn)行驗(yàn)證，此時(shí)基本再生數(shù)分別為0.753 9和1.417 3，分析這2種情況下的時(shí)間序列。

圖3中，豎線左側(cè)表示當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)各狀態(tài)的時(shí)間序列，右側(cè)表示當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)各狀態(tài)的時(shí)間序列?？梢钥闯觯?dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，感染個(gè)體的比例很快趨于0，其他狀態(tài)個(gè)體的比例穩(wěn)定到無病平衡點(diǎn)。當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，感染個(gè)體的比例趨于一個(gè)穩(wěn)定值。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，感染個(gè)體比例的穩(wěn)定值正好等于cq/β。在這2種情況下，接種疫苗的個(gè)體所占的比例均單調(diào)遞減，這是由于隔離的收益小于不隔離的收益。對(duì)于疫苗接種個(gè)體而言，被感染的可能性很小，所以隔離不是最好的選擇。

圖3 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性曲線

本文中的預(yù)防措施包括易感者接種疫苗，易感者的隔離，接種者的隔離和感染者的隔離。通過實(shí)驗(yàn)分析幾種預(yù)防措施的有效性和它們之間的關(guān)系。模擬易感者隔離與不隔離時(shí)的差別。

圖4中的曲線表示易感者不隔離時(shí)，各狀態(tài)的時(shí)間序列。豎線左、右兩邊的圖分別為原模型中，基本再生數(shù)小于1和大于1的情況。通過與圖3對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)β=0.375時(shí)，各狀態(tài)的穩(wěn)定值與易感者隔離時(shí)相同。當(dāng)β=0.7時(shí)，易感者和接種者的穩(wěn)定值變化不大，隔離與未隔離的感染者的比例明顯增加。根據(jù)地方病平衡點(diǎn)的表達(dá)式可以得出，恢復(fù)者的比例也有增加。綜上所述，當(dāng)傳染病形成地方病時(shí)，易感者的自愿隔離行為可以有效減少感染者的比例。

圖4 易感者隔離對(duì)傳染病的影響曲線

圖5中的曲線表示不接種疫苗(η=0)的情況下，β=0.375和β=0.7時(shí)，各狀態(tài)的時(shí)間序列。當(dāng)β=0.375時(shí)，無病平衡狀態(tài)變成了地方病平衡狀態(tài)，所以疫苗接種很有必要。當(dāng)β=0.7時(shí)，隔離與未隔離的感染者的比例變化不大，但隔離的易感者的比例明顯增加。由于η=0，根據(jù)地方病平衡點(diǎn)的表達(dá)式可以得出，恢復(fù)者的比例減少。由此可以得出，當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，疫苗接種可以控制傳染病的傳播；當(dāng)基本再生數(shù)大于1 時(shí)，疫苗接種可以減少易感者的自愿隔離比例。

圖5 疫苗接種對(duì)傳染病的影響曲線

圖6中的曲線表示不隔離感染者(μ=0)情況下，各狀態(tài)的時(shí)間序列。明顯地，當(dāng)β=0.375時(shí)，無病平衡狀態(tài)變成地方病平衡狀態(tài)，所以隔離感染者很有必要。當(dāng)β=0.7時(shí)，未隔離的易感者和未隔離的接種者減少，隔離的易感者增加。由此可以得出，當(dāng)基本再生數(shù)大于1 時(shí)，隔離感染者會(huì)減少易感者的自愿隔離比例。

圖6 隔離感染者對(duì)傳染病的影響曲線

4 結(jié)論

考慮包含疫苗接種和隔離2種預(yù)防措施的傳染病的傳播模型，易感者和接種者的隔離用博弈論來刻畫。通過理論分析，得到無病平衡點(diǎn)、地方病平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)的表達(dá)式，并證明了無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析了隔離和疫苗接種對(duì)傳染病的影響。結(jié)果表明，增加疫苗接種率可以減少基本再生數(shù)的值。當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，易感者的隔離可以有效減少感染者比例。