◎楊婷梅

(廣東茂名幼兒師范?？茖W(xué)校理學(xué)院,廣東 茂名 525200)

一、引言

換元法，又稱變量代換法，是通過(guò)等式替換，把某個(gè)式子或變量看成一個(gè)整體，引入新的變量，把所要研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的數(shù)學(xué)問(wèn)題去研究，即把復(fù)雜的、非標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題變得標(biāo)準(zhǔn)化、簡(jiǎn)單化，從而使問(wèn)題更容易得到解決換元法實(shí)質(zhì)上就是利用“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想，其關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造元和設(shè)元，把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，把隱含的條件顯露出來(lái)，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，把難以求解的形式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ男问?，?shí)現(xiàn)等量代換，使計(jì)算問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而快速解決問(wèn)題

因此，換元法是中小學(xué)數(shù)學(xué)，乃至大學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要而且應(yīng)用廣泛的思想方法筆者研究了換元法在《數(shù)學(xué)分析》中的主要幾點(diǎn)應(yīng)用以及解題技巧，把理論知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，提高解題效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)

二、換元法在函數(shù)極限中的應(yīng)用

令=arcsin，

則=sin且當(dāng)→0時(shí)，有→0

【評(píng)析】可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)→0時(shí)，arcsin與是一組等價(jià)無(wú)窮小，通過(guò)換元可將其轉(zhuǎn)化為第一類重要極限問(wèn)題

令=tan，

當(dāng)→0時(shí)，有→0

【評(píng)析】以上兩個(gè)例子使用換元法，把極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的兩類重要極限問(wèn)題來(lái)計(jì)算，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化

設(shè)=cos,=sin,∈[0,2π]

當(dāng)→0,→0時(shí)，有→0

于是，

【評(píng)析】該例題通過(guò)三角換元，把二元函數(shù)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限計(jì)算，減少了一個(gè)變量計(jì)算更方便簡(jiǎn)潔

三、換元法在求解導(dǎo)數(shù)和微分問(wèn)題中的應(yīng)用

在計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分問(wèn)題時(shí)，換元思想方法同樣適用，它是求解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的重要思想方法

四、換元法在計(jì)算積分問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)積分是大學(xué)課程《數(shù)學(xué)分析》中的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生難以掌握的知識(shí)點(diǎn)之一使用換元法，可以快速解決一些復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題，通過(guò)變量代換，把一個(gè)不能直接運(yùn)用積分公式計(jì)算的積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用積分公式來(lái)計(jì)算的問(wèn)題，它在計(jì)算函數(shù)不定積分中的應(yīng)用主要分為以下兩種情況

(一)不定積分的第一換元積分法

第一換元積分法實(shí)質(zhì)上是將不定積分的被積表達(dá)式“湊”成微分的形式，簡(jiǎn)稱為“湊微分法”，但不能忘記最后要還原回原來(lái)的變量熟練換元法后，可以不寫(xiě)出中間的換元過(guò)程

令=7+3，則有

【評(píng)析】當(dāng)不能直接利用積分公式

(二)不定積分的第二換元積分法

第二換元積分法的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，以達(dá)到積分的目的

不妨設(shè)=5sin，有d=5cosd

于是，

(三)用換元法求解定積分

設(shè)=5sin，有d=5cosd

(四)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

【評(píng)析】用極坐標(biāo)變換求二重積分時(shí)，要注意除變量作相應(yīng)的替換外，要把“面積微元”dd換成dd

五、換元法在冪級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

設(shè)有數(shù)列{}(=1,2,…)，稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

由于=-2，故=+2，于是得到冪級(jí)數(shù)

【評(píng)析】本例題若不用換元法，使用比值法求解收斂半徑，計(jì)算比較煩瑣，通過(guò)換元，把非標(biāo)準(zhǔn)型的冪級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型的冪級(jí)數(shù)，更容易求出收斂半徑和收斂域

六、結(jié)語(yǔ)

以上求極限問(wèn)題，應(yīng)用換元法，可以把復(fù)雜的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)重要極限問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，或者減少極限變量，把含有兩個(gè)變量的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)變量，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化；微分、不定積分或定積分問(wèn)題使用換元法，可使計(jì)算簡(jiǎn)單快捷；非標(biāo)準(zhǔn)型的冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題用換元法可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型的冪級(jí)數(shù)來(lái)討論

換元法可解決以上相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可見(jiàn)換元法在大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》課程中的應(yīng)用非常廣泛與普遍，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，熟練掌握且靈活應(yīng)用換元法是非常重要的學(xué)生通過(guò)運(yùn)用換元思想使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了重要的解題思路，提升了解題速度，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維品格