陳棟梁，皋 春

吳江盛澤中學，江蘇 蘇州 215228

1 問題的提出

2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題如圖1所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d。將小環(huán)從與定滑輪等高的A處靜止釋放，小環(huán)下滑過程中，下列說法正確的是（ ）

圖1 2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題

A．小環(huán)的機械能守恒

C．當輕繩與光滑直桿間夾角θ=60°時，小環(huán)的速度最大

誤解：需注意的是，小環(huán)加速度為零時，重物加速度不為零。不少人會誤認為小環(huán)加速度為零時，重物加速度也為零，從而得出繩子拉力T=2mg，θ=60°時小環(huán)速度最大的錯誤結論。

方法一：設小環(huán)在任意角度θ時的速度為v，由系統(tǒng)機械能守恒得：

則小環(huán)的速度為：

此速度表達式十分復雜，無法直觀得出速度的最大值及對應的角度，用數(shù)學求極值也非常困難。

此求解方法雖然可以排除錯誤答案，但不易被學生理解，且同樣無法判定小環(huán)速度在哪個位置最大。因此，方法二的信服力不夠，學生很難深入理解此題的全面過程。

基于上述困難，教師可以采用大家都熟悉且方便使用的Excel數(shù)值分析工具和圖像繪制功能等可視化教學技術，幫助和引導學生全面深入地理解復雜和抽象問題。

2 可視化教學：Excel數(shù)值分析工具及圖像繪制

可視化教學是指運用一切可能的圖示、動畫、聲音、視頻和實驗等技術和手段對教學的所有環(huán)節(jié)進行設計和整合，進而實施教學的過程。在教學過程中充分利用知識和思維可視化理論，使凸顯內涵要素的抽象或具體形態(tài)的外延可視化，使本來隱于頭腦中的思維過程外顯化、可視化。這樣，教師會更加容易地捕捉到學生錯誤概念的根源，從而更快捷、準確地建構新的概念和規(guī)律。

原題中，無論用公式法，還是特殊值法，都不能使小環(huán)和重物隨時間的變化規(guī)律可視化。而利用Excel的數(shù)值分析工具和圖像繪制功能，能完整地顯示小環(huán)和速度隨時間變化的過程，且可以找到特殊位置的軌點，使大家對速度變化規(guī)律的理解更清晰、更深入。

2.1 小環(huán)和重物速度的數(shù)值及圖像分析

圖2 小環(huán)和重物速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）圖2展現(xiàn)出的實際物理情境：在夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環(huán)和重物的速度都是先增大后減小。

（2）結合圖2和表1中的Excel計算數(shù)值可知，小環(huán)速度最大時θ=67.5°；重物速度最大時，對應的夾角θ=52.2°。

表1 小環(huán)和重物速度隨角度變化的計算數(shù)據(jù)

2.2 小環(huán)和重物加速度的數(shù)值及圖像分析

小環(huán)和重物的加速度直接制約小環(huán)和重物的速度的變化規(guī)律，只有理解加速度的變化規(guī)律，才能更深入地理解速度的變化規(guī)律。因此，用Excel的數(shù)值分析工具和圖像繪制功能，完整展示加速度隨時間變化的規(guī)律顯得非常有必要。

在任意角度θ時，對小環(huán)和重物分別受力分析，由牛頓第二定律，可得：

圖3 小環(huán)和重物加速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）由圖3，結合題目實際情境，在夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環(huán)的加速度由g逐漸減小為零，再反向增加；重物的加速度從零開始，先增大至某值再逐步減小為零，然后反向增加。

（2）由圖3，結合表2中的Excel計算數(shù)值，我們發(fā)現(xiàn)，小環(huán)加速度為零時，對應的夾角θ=67.5°；重物加速度為零時，對應的夾角θ=52.2°。即小環(huán)的加速度為零時，重物的加速度不為零。

表2 圖3對應的計算數(shù)據(jù)

2.3 小環(huán)和重物組成的系統(tǒng)動能之和的數(shù)值及圖像分析

能量問題是伴隨動力學問題必然要討論的問題。經上面的討論發(fā)現(xiàn)，原題中60°不是小環(huán)速度最大對應的角度，那是否是沒有意義的角度呢？通過Excel的數(shù)值和圖像功能，將小環(huán)和重物組成的系統(tǒng)動能之和進行可視化研究，發(fā)現(xiàn)了新的特殊結論。

圖4 系統(tǒng)動能之和隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）由圖4，結合題目實際情境，在夾角θ從90°逐漸減小的過程中，系統(tǒng)動能之和是先增大后減小。

（2）由圖4，結合Excel計算數(shù)值，容易發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)動能最大時夾角θ恰好為60°。所以，雖然60°不是小環(huán)速度最大時的角度，但卻是系統(tǒng)動能最大時的角度。

2.4 不同質量比時，小環(huán)和重物速度的數(shù)值及圖像分析

原題中，只討論了小環(huán)和重物在特殊質量時的變化規(guī)律。為使學生更深入地理解該物理問題，可以引導他們可視化探究小環(huán)和重物在不同質量比時的速度變化規(guī)律。

設小環(huán)質量為m，重物質量為m，在任意角度θ時小環(huán)的速度為v，重物的速度為v，由系統(tǒng)機械能守恒，得：

將兩個速度無量綱化，并約化質量后，可得：

圖5 不同質量比下小環(huán)速度隨角度變化的曲線

圖6 不同質量比下重物速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）結合圖5、圖6和題目實際情境，當質量比k＜1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環(huán)和重物的速度都是先增大后減小。但同一質量比下小環(huán)和重物的最大速度對應的角度并不一致。

（2）當質量比k=1.0時，小環(huán)和重物的速度都是一直增加的，最后趨于一個穩(wěn)定值。

（3）當質量比k＞1.0時，小環(huán)和重物的速度是一直增加的，且越增越快。

2.5 不同質量比時，小環(huán)和重物加速度的數(shù)值及圖像分析

原題只討論了小環(huán)和重物在特殊質量時的變化規(guī)律。為使學生更深入地理解該物理問題，可以引導他們對小環(huán)和重物在不同質量比時的加速度隨時間的變化規(guī)律進行可視化探究。設小環(huán)質量為m，重物質量為m，任意角度θ時小環(huán)的速度為 v，加速度為 a，重物的速度為 v，加速度為a。由受力分析、牛頓第二定律、加速度牽連和系統(tǒng)機械能守恒，可得：

圖7 不同質量比下小環(huán)加速度隨角度變化的曲線

圖8 不同質量比下重物加速度隨角度變化的曲線

圖像分析：

（1）圖7可得的實際物理情境：當質量比k＜1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，小環(huán)的加速度由g逐漸減小為零，再反向逐漸增加。這說明小環(huán)先加速后減速，中間會出現(xiàn)速度最大值；當質量比k≥1.0時，小環(huán)的加速度一直向下減小，即小環(huán)一直處于加速狀態(tài)。

（2）圖8可得的實際物理情境：當質量比k＜0.5時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，重物的加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向逐漸增加；當質量比為0.5≤k≤1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，重物的加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向逐漸增加，再減小，最后趨于不變。這表明當重物較輕時先向上加速，再向上減速；當質量比k＞1.0時，夾角θ從90°逐漸減小的過程中，加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向，大小逐漸增加，接著又逐漸減小為零，然后再變向并逐漸增加，最后趨于不變。這表明當重物較重時會多次出現(xiàn)加速和減速過程。

3 結語

用Excel的數(shù)值分析方法和圖像功能，用可視化的手段，描述物理量的變化規(guī)律，操作方便、簡單，易于師生課堂教學使用，并具有以下優(yōu)點：

（1）可以精準地找出復雜物理表達式中物理量的極值（常規(guī)手段或通過表達式無法直接得出，例如小環(huán)和重物的速度、加速度、總動能等物理量的極值問題）；

（2）可以完整、形象地描述物理量的變化規(guī)律，尤其是不同情形下的物理量的變化規(guī)律（例如不同質量比情形下，各物理量的變化規(guī)律），從而深入理解物理規(guī)律和本質；

（3）可以創(chuàng)造性地引導學生探究不同物理量之和的變化規(guī)律（例如系統(tǒng)動能之和的極值問題）。