葉志煒，黃樹清

福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院，福州 350117

中國古人計(jì)算圓周率是采取“割圓術(shù)”，南北朝時(shí)期的祖沖之在此基礎(chǔ)上將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后的第七位，遠(yuǎn)領(lǐng)先于同時(shí)期的國外圓周率的研究。而談到圓周率，我們往往想到的是數(shù)學(xué)中的求圓面積公式；談到碰撞，則往往想到的是物理中的彈性碰撞和非彈性碰撞。那么，彈性碰撞和圓周率有什么聯(lián)系呢？下面對(duì)此進(jìn)行研究。

1 彈性碰撞分析

此問題并不復(fù)雜，我們首先從高中物理中一個(gè)常見的碰撞概念說起。兩個(gè)物體之間在極短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生很大的相互作用力，然后速度發(fā)生了變化，這個(gè)過程就是碰撞。碰撞又可分為彈性碰撞（無機(jī)械能損失）、非彈性碰撞（部分機(jī)械能損失）和完全非彈性碰撞（機(jī)械能損失最大），本文所研究的是彈性碰撞范疇。

彈性碰撞中，最典型的一個(gè)碰撞模型如圖1所示。

圖1 典型碰撞模型

在水平地面上有兩個(gè)小球，球M的質(zhì)量為m，以速度v水平向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)球N的質(zhì)量為m，以速度 v也水平向右運(yùn)動(dòng)，且 v＞v，兩速度在同一直線上，問兩球碰撞之后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？

通常求解該問題時(shí)，我們都要利用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得到兩個(gè)等式，然后再利用代數(shù)的方法進(jìn)行求解，其中這兩個(gè)等式為

通過變換，我們成功地將方程簡化，由此便很容易將動(dòng)量和能量所對(duì)應(yīng)的圖像聯(lián)立畫出，如圖2所示。

圖2 動(dòng)量和能量對(duì)應(yīng)的圖像

以上推論說明，通過數(shù)學(xué)中幾何的方法可以有效解決物體的碰撞問題。

2 圓周率與碰撞的聯(lián)系

那么，圓周率是怎么跟碰撞產(chǎn)生聯(lián)系的呢？假設(shè)有彈性非常好且光滑的豎直固定墻和水平地面，地面上左邊放著物體M，其質(zhì)量為m（質(zhì)量小）；右邊放著物體N，其質(zhì)量為m（質(zhì)量大）。如圖3所示，初始物體N以初速度v向左運(yùn)動(dòng)與物體M發(fā)生碰撞，隨后物體M將會(huì)向左撞向墻面并反彈再撞物體N，如此反復(fù)碰撞直至停止，如果我們?nèi)ソy(tǒng)計(jì)物體M的碰撞次數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)碰撞的次數(shù)和圓周率的大小有著緊密聯(lián)系。分析可知，由于該過程還是彈性碰撞，所以依舊可以采用上文求得的幾何關(guān)系來進(jìn)行深入分析。

圖3 位于光滑地面上的M、N兩物體和豎直墻面之間的碰撞

圖4 多次碰撞過程中x和y值的變化情況示意圖

繼續(xù)根據(jù)圖像可以分析得到，每碰撞一次對(duì)應(yīng)著一段圓弧，而這段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓周角是θ，則可以得到碰撞N次之后，總的角度之和會(huì)比圓的圓周角小，即比圓周率的值略小，而碰撞N+1次后，會(huì)與圓周率的值相等或略大于圓周率，即

進(jìn)一步化簡可得

表1 與碰撞次數(shù)的關(guān)系

3 總結(jié)

本文通過非常規(guī)的數(shù)學(xué)幾何圖像的方式，推導(dǎo)得到圓周率與物體彈性碰撞之間奇妙的定量關(guān)系，揭示了數(shù)學(xué)與物理之間的奇妙聯(lián)系，同時(shí)也說明了具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)則可以更好地體會(huì)物理之美。