筅江蘇省常熟市沙家浜中學(xué) 曹鳴軍

1 引言

初中階段“數(shù)的開方”并沒有安排在有理數(shù)的乘方之后立即進(jìn)行教學(xué)，而是“過了很長一段時間”（人教版教材安排在七年級下學(xué)期，蘇科版教材則安排在八年級上學(xué)期）才引出數(shù)的開方，對我們開展平方根的新知引出來說，有很多數(shù)學(xué)情境可供選取，比如，基于平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長，等等，都可以成為引出數(shù)的開方的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”．本研究基于蘇科版教材八年級上冊研發(fā)的平方根（第1課時）課例，并跟進(jìn)闡釋筆者的教學(xué)立意，供研討．

2 平方根（第1課時）教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1（七上教材內(nèi)容）如圖1，把兩個面積為1dm2的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為2dm2的大正方形（如圖2）．如果設(shè)圖2中大正方形的邊長為x，那么x2=2，你們能求出x嗎？

圖1

圖2

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會感到困難，因?yàn)樵谄吣昙壣蠈W(xué)期只是給出圖2中正方形的邊長不是一個有理數(shù)，并且通過大量舉例、運(yùn)算、猜想得出上面設(shè)出的x是一個無限不循環(huán)小數(shù)（教材上給出無理數(shù)的名稱）．

問題2（八上勾股定理教材習(xí)題）如圖3，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角嗎？請說明理由．

圖3

追問：你能求出邊AC，AB的

長分別是多少？

預(yù)設(shè)：學(xué)生會根據(jù)勾股定理得出AC2=5，AB2=20，由于5，20不是一個“完全平方數(shù)”，繼續(xù)求解就會出現(xiàn)困難，這樣就引出本課的新知講授．

2.2 講授新知，初步運(yùn)用

求一個已知數(shù)（如3或-3）的平方的運(yùn)算，是乘方運(yùn)算，結(jié)果（冪）是9.

逆過來：

取一個未知數(shù)（如x）的平方，若結(jié)果（冪）是9，則x是3或-3.

取一個未知數(shù)（如x）的平方，若結(jié)果（冪）是a（強(qiáng)調(diào)a是非負(fù)數(shù)），求底數(shù)x的運(yùn)算是平方的逆運(yùn)算，叫作開方運(yùn)算；

進(jìn)一步用符號簡化表示開方運(yùn)算的定義，如下：

設(shè)計(jì)意圖：這個過程中，先用文字，再代入字母表示這個數(shù)，使得定義的表述更加簡明，讓學(xué)生體會符號表達(dá)的必要性．

練習(xí)：下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由．

教學(xué)組織：這組練習(xí)不難，教學(xué)時，注意引導(dǎo)學(xué)生“回到定義”解釋．隨后師生共同小結(jié)出：“一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．”

接著安排教材上“例1”及一組練習(xí)講評．

2.3 運(yùn)用新知，解決“問題”

解決問題：回到“問題1”“問題2”，請同學(xué)們分別寫出x的值，AC，AB的長是多少？

學(xué)生如果寫出正、負(fù)兩個方根，則提醒實(shí)際問題中要舍去負(fù)值．

繼續(xù)安排教材上例2（求一組數(shù)的算術(shù)平方根）、例3（判斷一些算式是否有意義），并組織學(xué)生討論交流，突出強(qiáng)調(diào)被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)．

2.4 課堂小結(jié)，訓(xùn)練鞏固

小結(jié)問題1：本課學(xué)習(xí)了哪種新的運(yùn)算？你覺得這種運(yùn)算與之前哪種運(yùn)算有關(guān)？你是如何理解它們之間的關(guān)系的？

小結(jié)問題2：對一個數(shù)a進(jìn)行開平方運(yùn)算時，要注意什么？

小結(jié)問題3：展望一下，你覺得后續(xù)如何研究對一個數(shù)開立方、開四次方？你能否舉例說說你會如何研究？

作業(yè)鞏固：

題2：教材上的“例4”．（例4的情境文字內(nèi)容較多，限于篇幅，這里不做摘引）

3 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

3.1 精選數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，引出新知“數(shù)的開方”

3.2 重視例題選編，前后環(huán)節(jié)“關(guān)聯(lián)呼應(yīng)”

本課教材上的例題共有4組，但我們并沒有全部照搬，而是選取了前三組例題，將例4作為課后作業(yè)進(jìn)行訓(xùn)練．課堂進(jìn)程中將開課階段的“問題1~2”作為一道例題進(jìn)行“新知運(yùn)用”，并且讓學(xué)生研究“含30°角的直角三角板”的三邊之比．這組“問題”的解決既過渡到新知“算術(shù)平方根”的引出，又關(guān)聯(lián)呼應(yīng)了開課階段的情境，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)用新知解決問題的教學(xué)目標(biāo)［2］．筆者認(rèn)為，新知課中的例題、習(xí)題選編要貼近教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、圍繞教學(xué)主線展開，對于偏離本課教學(xué)主線，或者習(xí)題內(nèi)容效度并不貼近教學(xué)目標(biāo)的大容量習(xí)題，可以在后續(xù)的習(xí)題課上再進(jìn)行考慮．基于以上認(rèn)識，由于本課是平方根教學(xué)的第1課時，所以我們將閱讀量偏大的“例4”后置在作業(yè)訓(xùn)練中，在后續(xù)平方根的第2課時安排習(xí)題講評時，可以進(jìn)行必要的小結(jié)提煉，并給出同類再練．

3.3 預(yù)設(shè)小結(jié)問題，回顧展望“成果擴(kuò)大”

課堂小結(jié)是目前課堂教學(xué)研究中一個相對比較薄弱的環(huán)節(jié)，我們常常見到的課堂小結(jié)是“百搭式”的，比如：“這節(jié)課你們學(xué)到了什么？”“這節(jié)課你還有什么疑惑？”然后少數(shù)學(xué)優(yōu)生把知識再說一遍，就完成了課堂教學(xué)任務(wù)．在上面課例的課堂小結(jié)階段我們預(yù)設(shè)了3個小結(jié)問題，分別引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué)內(nèi)容，問題比較開放，教學(xué)時，如果學(xué)生感覺不好表達(dá)，可以提醒學(xué)生舉例交流，因?yàn)橛赡芘e例（特別是舉出恰當(dāng)、適切的例子）往往可看出學(xué)生對新知的理解程度．對于課堂小結(jié)的第3個問題，我們安排學(xué)生展望“數(shù)的開方”、成果擴(kuò)大，猜想開三次方、開四次方等內(nèi)容，學(xué)生根據(jù)本課學(xué)習(xí)的路徑，應(yīng)該能初步說出什么是開三次方（或開立方），結(jié)果是三次方根（或立方根）等等．這就從授人以魚走向了授人以漁，也就是說，向?qū)W生傳遞如何研究數(shù)學(xué)是更高立意的教學(xué)設(shè)計(jì)．

4 寫在后面

以一節(jié)單元起始課為例，概述了筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)，由于平方根、算術(shù)平方根在有些教材中安排了多個課時進(jìn)行學(xué)習(xí)，我們在一節(jié)課中將數(shù)的開方、平方根、算術(shù)平方根等概念都帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，教學(xué)容量偏大，具體教學(xué)實(shí)踐時，還要注意結(jié)合學(xué)情適當(dāng)取舍，并跟進(jìn)必要的習(xí)題課講評訓(xùn)練．筆者在文中針對課例教學(xué)立意的闡釋多為個人觀點(diǎn)，拋磚引玉，期待大家的課例實(shí)踐與觀點(diǎn)研討．