蔡明 季茜 李培德

1. 湖北省氣象信息與技術(shù)保障中心 湖北 武漢 430074；2. 暴雨監(jiān)測(cè)預(yù)警湖北重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北 武漢 430074

引言

相關(guān)關(guān)系是變量間客觀存在的一種相互依存關(guān)系，是進(jìn)行系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能分析[1-2]的基礎(chǔ)。而相關(guān)系數(shù)作為用于量化變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)[3-5]，在如氣象[6-7]、航空[8-10]、電子[11-12]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。以往的相關(guān)性分析多使用簡(jiǎn)單相關(guān)、典型相關(guān)等建立于線性相關(guān)[13]基礎(chǔ)上的分析方法，僅能反映變量間的線性相關(guān)程度，無(wú)法反映變量間的非線性相關(guān)程度，故存在一定的局限性。

本文引入距離相關(guān)方法，利用變量間距離信息取代傳統(tǒng)相關(guān)性分析方法中的變量與其數(shù)學(xué)期望間差值信息，提出了一種適用于非線性相關(guān)分析的相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法，并通過(guò)非線性函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法克服了傳統(tǒng)相關(guān)性分析方法僅適用于線性相關(guān)分析的不足。

1 皮爾遜相關(guān)系數(shù)算法

傳統(tǒng)的相關(guān)性分析方法包括皮爾遜相關(guān)[14]分析、肯德?tīng)栂嚓P(guān)[15]分析和斯皮爾曼相關(guān)[16]分析，其中最為常用的是皮爾遜相關(guān)分析。

2 基于距離相關(guān)的相關(guān)系數(shù)算法

2.1 距離相關(guān)方法介紹

距離相關(guān)概念最早由Szekely，Rizzo和Bakirov于2007年提出。作為一種對(duì)于隨機(jī)變量間關(guān)系的全新度量方法，距離相關(guān)具有同皮爾遜相關(guān)類(lèi)似的真實(shí)相關(guān)性測(cè)度的性質(zhì)，但是實(shí)際上使用的是變量間距離替代皮爾遜相關(guān)的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差概念。也就是說(shuō)距離相關(guān)性不是根據(jù)樣本點(diǎn)和樣本統(tǒng)計(jì)期望之間的距離來(lái)估計(jì)兩個(gè)變量如何共同變化，而是根據(jù)樣本點(diǎn)與其他樣本點(diǎn)間的距離來(lái)估計(jì)變量是如何變化的，從而更好地捕捉變量間線性以及非線性依賴(lài)關(guān)系。

2.2 距離相關(guān)系數(shù)計(jì)算

2.2.1 距離相關(guān)統(tǒng)計(jì)。

2.2.2 距離相關(guān)系數(shù)計(jì)算。

距離相關(guān)系數(shù)R滿(mǎn)足0≤R≤1，其中，當(dāng)且僅當(dāng)X和Y獨(dú)立分布時(shí)，R=0；當(dāng)且僅當(dāng)X和Y的相關(guān)程度達(dá)到最大時(shí)，R=1。

需要注意的是，距離相關(guān)系數(shù)R為非負(fù)數(shù)，所以只能反映變量間彼此相關(guān)的程度，無(wú)法反映變量間呈現(xiàn)的是正的相關(guān)關(guān)系還是負(fù)的相關(guān)關(guān)系。

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 仿真設(shè)計(jì)

3.2 仿真結(jié)果與分析

3.2.1 線性模型。使用以下線性模型進(jìn)行驗(yàn)證：

得到的線性模型下的采樣散點(diǎn)圖如圖1所示。

圖1 線性模型下的樣本點(diǎn)和最佳擬合直線圖

由圖1可知，隨機(jī)采樣得到的樣本呈線性分布，且分布于最佳擬合直線兩側(cè)。仿真結(jié)果的具體統(tǒng)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 線性模型下的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

因此，如果兩個(gè)變量線性相關(guān)，則使用皮爾遜相關(guān)系數(shù)或距離相關(guān)系數(shù)都可以很好地反映變量間的相關(guān)關(guān)系。

3.2.2 波形模型。使用以下波形模型進(jìn)行仿真：

得到的波形模型下的采樣散點(diǎn)圖如圖2所示。

圖2 波形模型下的樣本點(diǎn)和最佳擬合直線圖

圖2中，隨機(jī)采樣得到的樣本呈波性非線性分布。仿真結(jié)果的具體統(tǒng)計(jì)參數(shù)如表2所示。

表2 波形模型下的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

因此，波形模型仿真中，距離相關(guān)系數(shù)比皮爾遜相關(guān)系數(shù)更能反映出變量間的相關(guān)關(guān)系。

3.3 仿真結(jié)果分析

仿真結(jié)果顯示：如果兩變量線性相關(guān)，使用皮爾遜相關(guān)分析和距離相關(guān)分析算法都會(huì)得到相似的相關(guān)性分析結(jié)果；如果兩變量非線性相關(guān)，則距離相關(guān)分析結(jié)果比皮爾遜相關(guān)分析結(jié)果更能體現(xiàn)變量間的真實(shí)關(guān)系。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將距離相關(guān)方法應(yīng)用于變量間相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，提出基于距離相關(guān)的相關(guān)系數(shù)算法：使用變量間距離取代皮爾遜相關(guān)系數(shù)計(jì)算中變量與變量均值之間的距離，從而能更好體現(xiàn)變量間的真實(shí)依賴(lài)測(cè)度，可用于線性和非線性模型下的變量相關(guān)性分析場(chǎng)景，克服了皮爾遜相關(guān)系數(shù)應(yīng)用存在的局限性。

由于距離相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果為非負(fù)數(shù)的特性，決定了距離相關(guān)分析只能分析兩變量間相關(guān)性的強(qiáng)弱而無(wú)法給出變量間呈現(xiàn)的是正相關(guān)關(guān)系還是負(fù)相關(guān)關(guān)系。

雖然存在以上不足，距離相關(guān)系數(shù)算法還是可以為變量間相關(guān)性分析提供一種新的思路和方法，具有一定的實(shí)踐意義。