徐文彬，王天嬌

（1.信陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2.信陽(yáng)航空職業(yè)學(xué)院 航空管理學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000）

中國(guó)天眼——500 m 口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，簡(jiǎn)稱FAST），是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡.它的落成啟用對(duì)我國(guó)在科學(xué)前沿實(shí)現(xiàn)重大原創(chuàng)突破，加快創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展具有重要意義[1].

FAST 由主動(dòng)反射面、信號(hào)接收系統(tǒng)（饋源艙）以及相關(guān)的控制、測(cè)量和支承系統(tǒng)組成.其中主動(dòng)反射面系統(tǒng)是由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動(dòng)器及支承結(jié)構(gòu)等主要部件構(gòu)成的一個(gè)可調(diào)節(jié)球面[2].主索網(wǎng)由柔性主索按照三角網(wǎng)格方式構(gòu)成，用于支承反射面板（含背架結(jié)構(gòu)），每個(gè)三角網(wǎng)格上安裝一塊反射面板，整個(gè)索網(wǎng)固定在周邊支承結(jié)構(gòu)上.主動(dòng)反射面共有主索節(jié)點(diǎn)2 226 個(gè)，每個(gè)主索節(jié)點(diǎn)連接一根下拉索，下拉索下端與固定在地表的促動(dòng)器連接，實(shí)現(xiàn)對(duì)主索網(wǎng)的形態(tài)控制[3].索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其連接見圖1.

圖1 索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其連接

主動(dòng)反射面可分為基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài)2 個(gè)狀態(tài).當(dāng)處于基準(zhǔn)態(tài)時(shí)，反射面是半徑約300 m，口徑為500 m的球面（基準(zhǔn)球面）；當(dāng)處于工作態(tài)時(shí)，反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個(gè)300 m 口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面（工作拋物面）[4].FAST 在觀測(cè)時(shí)的剖面見圖2，C點(diǎn)是基準(zhǔn)球面的球心，饋源艙接收平面的中心只能在與基準(zhǔn)球面同心的一個(gè)球面（焦面）上移動(dòng)，兩同心球面的半徑差為F=0.466R（其中：R為基準(zhǔn)球面半徑，稱為焦徑比）.饋源艙接收信號(hào)的有效區(qū)域?yàn)橹睆? m 的中心圓盤[5].當(dāng) FAST 觀測(cè)某個(gè)方向的天體目標(biāo)S時(shí)，饋源艙接收平面的中心被移動(dòng)到直線SC與焦面的交點(diǎn)P處，調(diào)節(jié)基準(zhǔn)球面上的部分反射面板，形成以直線SC為對(duì)稱軸、以P為焦點(diǎn)的近似旋轉(zhuǎn)拋物面，從而將來(lái)自目標(biāo)天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域內(nèi)[6].

圖2 FAST 剖面

1 反射面形狀調(diào)節(jié)模型

模型的建立思路是根據(jù)FAST 的主動(dòng)反射面在基準(zhǔn)狀態(tài)下是球面，建立球面方程，在工作狀態(tài)下，依據(jù)觀測(cè)天體的位置在FAST 的正上方及饋源艙的焦徑比等條件，建立理想拋物面；隨著觀測(cè)天體的位置發(fā)生變化，理想拋物面也會(huì)隨著發(fā)生位置的改變[7]，通過(guò)極坐標(biāo)變換求得新的理想拋物面頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)理想拋物面的形狀、大小、焦徑比不發(fā)生變化，以及球面、拋物面具有對(duì)稱性等條件，將新理想拋物面投影區(qū)域內(nèi)各主索節(jié)點(diǎn)的位置平移至以原點(diǎn)為圓心的區(qū)域內(nèi)，通過(guò)球面方程確定各主索節(jié)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，以促動(dòng)器伸縮沿基準(zhǔn)球面徑向趨向球心方向?yàn)檎?，該徑向就是通過(guò)原點(diǎn)和主索節(jié)點(diǎn)的直線方程，將直線方程與理想拋物面方程聯(lián)立，即可求得拋物面上的交點(diǎn)，交點(diǎn)與主索節(jié)點(diǎn)的距離就是要求的各主索節(jié)點(diǎn)的伸縮量[8].

1.1 理想拋物面的建立

在基準(zhǔn)狀態(tài)下，反射面是半徑為300 m，口徑為500 m 的球面，在工作狀態(tài)下，反射面的形狀是一個(gè)拋物面，從遠(yuǎn)處發(fā)射出的沿直線傳播的信號(hào)經(jīng)過(guò)反射面反射匯聚到饋源艙中，也就是說(shuō)饋源艙正好在拋物面的焦點(diǎn)處[9].假定待觀測(cè)天體位于基準(zhǔn)球面的正上方（見圖3），由拋物面的焦點(diǎn)位置P（0，-0.466R）可確定拋物面方程[10]，繞z軸旋轉(zhuǎn)可得到理想拋物面方程

圖3 拋物面的剖面

其中：p=2F=2×0.466×R；c=2pR；R=300.拋物面方程是由二維直角坐標(biāo)系中的拋物線方程x2=2pz+c繞z軸旋轉(zhuǎn)后得到的三維空間的拋物面方程，c是指z軸方向上下平移的距離.

基準(zhǔn)狀態(tài)下的球面方程為

在xoz平面內(nèi)，拋物線與圓在點(diǎn)x=±150處有2個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)，在x?[-150,150]內(nèi)是所求的拋物線，這個(gè)區(qū)域以外，拋物線會(huì)在圓的下方，不是將要求的區(qū)域.繞z軸旋轉(zhuǎn)后形成的拋物面，在以（0，0）點(diǎn)為圓心，半徑為300 m 的圓內(nèi)形成所要求的拋物面（見圖4）.

圖4 各主索節(jié)點(diǎn)通過(guò)調(diào)節(jié)形成的理想拋物面

1.2 反射面板調(diào)節(jié)模型的建立

當(dāng)待觀測(cè)天體S從正上方移動(dòng)到其他位置時(shí)，具體方位用方位角α和仰角β來(lái)表示，天體在正上方時(shí)確定的理想拋物面，稱為初始位置的理想拋物面.

確定新的理想拋物面頂點(diǎn)坐標(biāo)，將主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（0,0,-300.4）作為初始工作拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)球面的參數(shù)方程得到，即

式中：α1，β1分別為拋物面頂點(diǎn)坐標(biāo)的初始位置與x軸，z軸的夾角；r為頂點(diǎn)坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離.

通過(guò)計(jì)算，理想拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-49.320 0,-36.889 4,-294.018 5），由于饋源艙接收平面的中心只能在基準(zhǔn)球面同心的一個(gè)球面（焦面）上移動(dòng)，兩同心球面的半徑差為F=0.466R（其中R為基準(zhǔn)球面半徑，稱為焦徑比），拋物面的頂點(diǎn)位置發(fā)生變化，但拋物面的形狀、大小、焦距等不會(huì)發(fā)生變化，只是拋物面的對(duì)稱軸以原點(diǎn)為固定點(diǎn)，分別與x軸，z軸形成α,β夾角.紅色點(diǎn)為在基準(zhǔn)球面上要調(diào)節(jié)為工作拋物面的主索節(jié)點(diǎn)（見圖5a）.所以，求新的工作拋物面各主索節(jié)點(diǎn)的伸縮量，可以通過(guò)將這些節(jié)點(diǎn)的x,y坐標(biāo)值分別平移49.32，36.889 4 m，至以原點(diǎn)為圓心，口徑相同的一個(gè)圓內(nèi)（見圖5b）.

圖5 基準(zhǔn)球面上的主索節(jié)點(diǎn)形成工作拋物面的位置坐標(biāo)

以紅色點(diǎn)中任一點(diǎn)K（x0,y0）為例，平移之后的新點(diǎn)坐標(biāo)M（x1,y1）為

由式（2）求得M（x1,y1）在基準(zhǔn)球面上對(duì)應(yīng)的z1值，，以點(diǎn)M（x1,y1,z1）與原點(diǎn)（0,0,0）為徑向，可確定一條直線

該直線方程與拋物面方程（式（1））有2個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)z值大于零，舍去，小于零的那個(gè)點(diǎn)為要求的z點(diǎn)，也就是主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)N（x2,y2,z2），點(diǎn)M，N間的距離為，即為從基準(zhǔn)球面調(diào)整為工作拋物面時(shí)該主索節(jié)點(diǎn)的伸縮量，同樣也是點(diǎn)K（x0,y0,z0）處主索節(jié)點(diǎn)的伸縮量（見圖6）.

圖6 新拋物面的剖面示意圖

2 數(shù)值結(jié)果

中國(guó)天眼的主動(dòng)反射面共有主索節(jié)點(diǎn) 2 226 個(gè)，反射面板4 300 塊，所有主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和編號(hào)，促動(dòng)器下端點(diǎn)（地錨點(diǎn)）坐標(biāo)、基準(zhǔn)態(tài)時(shí)上端點(diǎn)（頂端）的坐標(biāo)，以及促動(dòng)器對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)等數(shù)據(jù)，來(lái)源于2021 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A 題的附件中.

工作態(tài)時(shí)，反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個(gè) 300 m 口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面（工作拋物面），在這個(gè)區(qū)域內(nèi)共有710 個(gè)主索節(jié)點(diǎn)，通過(guò)Matlab 程序計(jì)算，可求解出該區(qū)域內(nèi)所有主索節(jié)點(diǎn)的伸縮量.由于數(shù)據(jù)較大，這里只顯示以新工作拋物面頂點(diǎn)坐標(biāo)為圓心，口徑為300 m 的區(qū)域內(nèi)一小部分主索節(jié)點(diǎn)的編號(hào)及伸縮量（見表1，已按從小到大排序）.

表1 口徑為50 m 的區(qū)域內(nèi)主索節(jié)點(diǎn)的編號(hào)及伸縮量 m

最小伸縮量的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為D27，最小伸縮量為0.001 073 785 m，是最接近新工作拋物面頂點(diǎn)坐標(biāo)的主索節(jié)點(diǎn)，有約1 mm 的調(diào)整；最大伸縮量的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為D186，伸縮量為0.694 403 584 m.中國(guó)天眼各主索節(jié)點(diǎn)下方促動(dòng)器的徑向伸縮范圍為-0.6～+0.6 m，伸縮范圍為1.2 m.數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，該區(qū)域內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)伸縮量均在可伸縮范圍內(nèi).

新位置下的工作拋物面剖面圖見圖7（a 為整個(gè)區(qū)間的剖面圖，x?[-197.2831,97.812 9]，b～d 為小區(qū)間的放大圖）.

圖7 不同區(qū)間新拋物面的剖面示意圖

3 結(jié)語(yǔ)

將中國(guó)天眼主動(dòng)反射面的形狀調(diào)節(jié)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，就是球面上有一個(gè)拋物面，以球面的圓心為定點(diǎn)，拋物面的頂點(diǎn)在球面上運(yùn)動(dòng)，難點(diǎn)在于主動(dòng)反射面是由小的反射面板組成，相當(dāng)于球面上離散的點(diǎn)，反射面板在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中形狀、大小不發(fā)生變化，相當(dāng)于離散的點(diǎn)之間的距離不會(huì)變.在這些條件的限制下，該模型借助Matlab 程序，能很好地計(jì)算出天體在任意方位下，理想拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)、反射面300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)、各促動(dòng)器的伸縮量等數(shù)值.