李元啟，趙曉慧，陳宏玉，劉紅軍，劉 上

(1.西安航天動(dòng)力研究所，陜西 西安 710100； 2.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

燃燒組件是液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中重要的核心組件之一，其工作過程包含了流動(dòng)與燃燒現(xiàn)象中極其復(fù)雜的物理化學(xué)過程，且工作參數(shù)在短時(shí)間內(nèi)變化劇烈。對(duì)燃燒室工作過程的建模一直是學(xué)者重點(diǎn)研究的方向。特別是在發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程仿真中，既要考慮模型的準(zhǔn)確性，又要保證一定的計(jì)算速度，使得燃燒室的建模工作極富挑戰(zhàn)性。

早期的研究中，主要關(guān)心系統(tǒng)的低頻緩變過程，燃燒室建模采用零維模型，該類模型反映的是參數(shù)的平均效應(yīng)，能夠在低頻范圍內(nèi)描述燃燒室的建壓過程。劉昆、程謀森等在此基礎(chǔ)上將燃燒室分為燃燒區(qū)和流動(dòng)區(qū)，燃燒區(qū)采用零維集總參數(shù)模型，對(duì)流動(dòng)區(qū)和噴管建立一維理想氣體假設(shè)下的流動(dòng)有限元狀態(tài)變量模型。劉上等利用線性化頻域法建立了包含零維燃燒區(qū)和考慮聲學(xué)效應(yīng)的分布參數(shù)流動(dòng)區(qū)的燃燒室模型，分析了涵蓋燃燒室中高頻的動(dòng)態(tài)特性。上述分區(qū)模型將燃燒室動(dòng)態(tài)特性的研究范圍從低頻擴(kuò)充到了中高頻率，但是其流動(dòng)過程均采用了無源等熵流動(dòng)的假設(shè)，與實(shí)際情況存在一定的差別。文獻(xiàn)[9-11]在沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室性能分析時(shí)用一維歐拉方程描述燃燒流動(dòng)過程，可以準(zhǔn)確地反映燃燒室內(nèi)的參數(shù)分布情況，但其模型中放熱源項(xiàng)采用燃料熱值與燃料流量的乘積來確定，僅適用于燃料完全反應(yīng)的富氧工況?；鸺l(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)存在富燃或富氧的不同工況，該模型并不完全適用。

本文在前人基礎(chǔ)上，基于一維氣相歐拉方程，考慮液體推進(jìn)劑蒸發(fā)加質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)放熱、流動(dòng)截面積變化，建立了適用于火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒組件系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真模型。

1 數(shù)學(xué)模型與求解

假設(shè)燃燒室截面積是緩慢變化的，其參數(shù)的均值僅取決于一個(gè)方向的空間坐標(biāo)和時(shí)間，則燃燒室內(nèi)的物理過程可視為準(zhǔn)一維流動(dòng)和化學(xué)反應(yīng)，在氣相控制方程基礎(chǔ)上考慮橫截面積變化、物質(zhì)質(zhì)量添加、化學(xué)反應(yīng)放熱、壁面摩擦和變比熱比等各種影響因素，則燃燒室內(nèi)的過程可用準(zhǔn)一維歐拉方程描述，其中向量方程的3個(gè)分量分別代表了質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒方程。

(1)

式中：為守恒變量；為通量函數(shù)；為源項(xiàng)。其表達(dá)式分別為

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(5)

1.1 源項(xiàng)的分析

控制方程中較為關(guān)鍵的一項(xiàng)即源項(xiàng)，源項(xiàng)中包含了質(zhì)量守恒方程的源項(xiàng)、動(dòng)量守恒方程的源項(xiàng)和能量守恒方程的源項(xiàng)。其中質(zhì)量守恒方程的源項(xiàng)代表液態(tài)推進(jìn)劑蒸發(fā)成氣態(tài)，從而給氣相控制方程帶來的加質(zhì)項(xiàng)。其數(shù)學(xué)模型可以用蒸發(fā)和摻混的子模型來描述。動(dòng)量守恒方程的源項(xiàng)代表了氣體與壁面的摩擦損失。能量守恒方程的源項(xiàng)代表了氣相推進(jìn)劑之間化學(xué)反應(yīng)的放熱項(xiàng)以及氣體與壁面熱交換帶來的加熱或放熱項(xiàng)。如何通過各個(gè)子模型準(zhǔn)確地描述上述物理過程是燃燒室數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵。

加質(zhì)項(xiàng)可表示為

(6)

其物理意義為假設(shè)液態(tài)推進(jìn)劑的蒸發(fā)沿燃燒室的分布形態(tài)為正弦信號(hào)的前半個(gè)周期，并且蒸發(fā)的范圍限定于區(qū)間[，]內(nèi)，式(6)滿足，即保證了質(zhì)量添加的守恒性

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釋熱項(xiàng)主要是求反應(yīng)焓的問題，通過熱力計(jì)算可以得到推進(jìn)劑化學(xué)反應(yīng)的平衡溫度，即

=(,)

(8)

式中：為混合比；為燃燒室壓力。因此反應(yīng)焓可以表示為

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值得注意的是，混合比以入口的氧化劑和燃料的質(zhì)量流量的比值來表示[見式(10)]，而不是以燃燒室內(nèi)總的氧化劑和燃料的質(zhì)量積存量來表示，因此燃燒室的熱力參數(shù)可以敏感地對(duì)入口流量的波動(dòng)進(jìn)行響應(yīng)。這樣就解決了一大關(guān)鍵問題，即流量的高頻擾動(dòng)可以實(shí)時(shí)地被模型所反映，進(jìn)而反饋到燃燒室的其他熱力參數(shù)的計(jì)算上。故而該模型能夠本質(zhì)地適應(yīng)高頻相應(yīng)的計(jì)算。

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1.2 數(shù)值計(jì)算格式

空間離散采用了ROE格式，具體格式見文獻(xiàn)[16]。由于存在源項(xiàng)和動(dòng)量方程中面積變化帶來的附加項(xiàng)，直接采用ROE格式計(jì)算會(huì)導(dǎo)致在面積變化處產(chǎn)生流量不守恒的現(xiàn)象，需對(duì)式(1)的特征向量進(jìn)行修正，具體形式為

(11)

(12)

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式中符號(hào)的含義見文獻(xiàn)[16-17]。

對(duì)于火箭發(fā)動(dòng)機(jī)而言，燃燒室內(nèi)蒸發(fā)和化學(xué)反應(yīng)的時(shí)間尺度非常小，而流動(dòng)和傳熱的時(shí)間尺度較大，即意味著其數(shù)學(xué)模型存在很大的剛性，顯式的歐拉法或龍格-庫塔法求解剛性微分方程較為困難，因此時(shí)間離散采用了隱式變步長(zhǎng)的時(shí)間推進(jìn)Dassl方法。

2 算例驗(yàn)證

2.1 靜態(tài)算例

以線性分布熱源的問題為例，模型示意圖如圖1所示。氣體工質(zhì)為空氣。流通通道為等截面，忽略氣體的摩擦力，對(duì)于理想無黏流動(dòng)，初始時(shí)刻加熱量為零，則各個(gè)截面上氣流參數(shù)相同，入口靜壓=1×10Pa，靜溫=300 K，單位橫截面積上的氣流流量=01 kg/s，管道總長(zhǎng)度=0.1 m，管道截面積=001 m，氣流通道內(nèi)的熱源分布為

圖1 線性熱源問題示意圖

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圖2 線性熱源問題計(jì)算結(jié)果

2.2 動(dòng)態(tài)算例

以文獻(xiàn)[20]中的試驗(yàn)結(jié)果為例，對(duì)含熵波和聲波的氣路算例的求解進(jìn)行驗(yàn)證。如圖3所示，該試驗(yàn)裝置是由一段長(zhǎng)約1.5 m和直徑0.12 m的圓柱形流動(dòng)管路組成，流路出口設(shè)置短噴管使流動(dòng)達(dá)到臨界音速，冷空氣和熱空氣經(jīng)過臨界氣噴嘴送入該試驗(yàn)裝置流路。冷空氣流路噴嘴前設(shè)置諧波干擾，使冷空氣產(chǎn)生流量振蕩，進(jìn)而引起摻混氣體的溫度變化，以形成熵波，增大冷空氣的流量會(huì)導(dǎo)致混合氣溫度降低，因此將冷空氣等效為燃料，熱空氣等效為氧化劑。該方案可等效于富燃燃燒室，可以模擬富燃燃?xì)獍l(fā)生器燃料流路中的干擾。高低溫氣體在頭部處通過很多氣噴嘴直接進(jìn)行摻混，混合距離可以忽略不計(jì)，認(rèn)為在燃燒室入口處已經(jīng)完成了混合。

圖3 試驗(yàn)裝置示意圖

給定入口邊界條件，熱空氣溫度=780 K，流量=684 kg/s，冷空氣溫度=300 K，流量為周期性變化，表達(dá)式為

=+Δsin(2π)

(15)

式中,c0=10 kg/s。

分別采用集中參數(shù)模型和本文的分布參數(shù)模型對(duì)該試驗(yàn)裝置的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行仿真計(jì)算，并將時(shí)域解變換至頻域，結(jié)果如圖4所示，結(jié)果表明，在=0～600 s的低頻范圍內(nèi)，氣路的幅值響應(yīng)有逐漸降低的趨勢(shì)，即對(duì)低頻幅值響應(yīng)更敏感，相位差滯后隨頻率的增加有增加的趨勢(shì)，在100 s以上的頻率范圍，在幅值和相位特性上均產(chǎn)生了熵波響應(yīng)。

圖4 試驗(yàn)裝置末端的頻率特性

從幅值上看，本文的分布參數(shù)模型和集中參數(shù)模型均和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，區(qū)別在于，集中參數(shù)模型不能捕捉到100 s以上的熵波現(xiàn)象，而分布參數(shù)模型完全能夠反映出熵波現(xiàn)象。再從相位上看，集中參數(shù)模型在大于100 s的范圍內(nèi)，完全和試驗(yàn)結(jié)果相背離，而分布參數(shù)模型與試驗(yàn)結(jié)果能夠吻合，再次驗(yàn)證了集中參數(shù)模型只能適用于低頻范圍內(nèi)，=100 s對(duì)應(yīng)的頻率為100/2π，即不到20 Hz。這與文獻(xiàn)中提到的頻率范圍相一致。而本文提出的分布參數(shù)模型所適用的頻率范圍遠(yuǎn)大于集中參數(shù)模型。

進(jìn)一步地，將研究的頻率范圍擴(kuò)充至中高頻范圍，取無量綱角頻率0<<8，計(jì)算氣路的頻率特性，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，圖5為氣路試驗(yàn)系統(tǒng)管路末端的壓力頻率響應(yīng)特性，圖6為氣路試驗(yàn)系統(tǒng)管路中點(diǎn)位置的壓力頻率響應(yīng)特性。

圖5 氣路試驗(yàn)系統(tǒng)管路末端壓力頻率響應(yīng)特性

圖6 氣路試驗(yàn)系統(tǒng)管路中點(diǎn)壓力頻率響應(yīng)特性

結(jié)果表明，在更高的頻率范圍內(nèi)，采用集中參數(shù)模型計(jì)算的壓力響應(yīng)幅值趨向于0，說明了集中參數(shù)模型無法反映高頻的響應(yīng)特性。而分布參數(shù)模型和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，特別是在=π的位置，即一階縱向聲學(xué)頻率處，氣路的末端應(yīng)處于壓力振蕩的波腹位置，振幅最大，氣路中點(diǎn)處應(yīng)處于壓力振蕩的波節(jié)位置，振幅最小。本文的模型準(zhǔn)確地捕捉到了氣路末端的壓力響應(yīng)峰和氣路中間的壓力波節(jié)，峰值和頻率均與試驗(yàn)結(jié)果吻合。甚至到了二階聲學(xué)頻率處(=2π位置)，該模型也有較好的計(jì)算結(jié)果，二階聲學(xué)頻率下氣路的末端和中點(diǎn)均為壓力振蕩的波腹，振幅最大，模型的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果也能夠吻合。從相頻特性曲線上看，當(dāng)入口流量的擾動(dòng)頻率增加時(shí)，氣路中點(diǎn)和末端與入口的相位角滯后是逐漸增大的，相對(duì)而言，氣路末端的相位角滯后相對(duì)更大，可以看到，分布參數(shù)模型對(duì)相位角的計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果也能較好吻合。

在低頻范圍內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明了氣路中存在明顯的熵波波動(dòng)特征。但在無量綱角頻率>1.5后，試驗(yàn)數(shù)據(jù)沿著比較平滑的曲線移動(dòng)，這一點(diǎn)在相頻曲線中體現(xiàn)得更加明顯。這是由于熵波是一種物質(zhì)波，其傳播速度等于流速，文獻(xiàn)[20]提到，在通常湍流度水平的圓柱形流路中，當(dāng)頻率大于400 Hz時(shí)，熵波會(huì)產(chǎn)生耗散效應(yīng)。原因在于，熵波的產(chǎn)生機(jī)理是：當(dāng)入口推進(jìn)劑流量產(chǎn)生波動(dòng)時(shí)，在燃燒室內(nèi)會(huì)周期性地生成溫度不同的燃?xì)鈭F(tuán)，當(dāng)擾動(dòng)頻率較低時(shí)，前一時(shí)刻生成的燃?xì)鈭F(tuán)有足夠的時(shí)間向下游流動(dòng)，后一時(shí)刻在燃燒室頭部生成新的燃?xì)鈭F(tuán)時(shí)，前一時(shí)刻的燃?xì)鈭F(tuán)已經(jīng)流向了下游，各個(gè)溫度不同的燃?xì)鈭F(tuán)存在位置空間上的分布，氣團(tuán)隨流體整體向下游流動(dòng)，從而造成了燃燒室內(nèi)的壓力波動(dòng)。當(dāng)入口擾動(dòng)頻率很高時(shí)，上一個(gè)時(shí)刻生成的燃?xì)鈭F(tuán)還沒來得及流動(dòng)到下游，又在同一個(gè)位置生成了另一個(gè)燃?xì)鈭F(tuán)，高低溫的燃?xì)鈭F(tuán)幾乎在同一位置生成，進(jìn)而迅速達(dá)到熱平衡，使得燃?xì)鉁囟仍诳臻g分布趨于平均效應(yīng)，因此無法形成壓力波動(dòng)。在表象上熵波表現(xiàn)出了高頻耗散效應(yīng)，即在低頻下，燃燒室的壓力響應(yīng)曲線上會(huì)疊加熵波響應(yīng)，而在高頻下，壓力響應(yīng)曲線不會(huì)疊加熵波響應(yīng)，壓力幅頻響應(yīng)曲線應(yīng)趨于平滑。

與文獻(xiàn)[8]中的燃燒室線性化頻域模型相比較，見圖5和圖6。線性化頻域模型在高頻下仍存在疊加的熵波，在相頻特性曲線上尤為明顯，與上述物理過程不相符合。而本文所建立的時(shí)域非線性分布參數(shù)模型計(jì)算得到的響應(yīng)曲線在低頻處存在熵波疊加，在高頻處趨于平滑，能夠準(zhǔn)確地捕捉到高頻下的熵波耗散現(xiàn)象。原因在于，在時(shí)域的控制方程中，已經(jīng)考慮了速度、壓力和溫度等參數(shù)之間的耦合關(guān)系，其傳播和耗散特性已經(jīng)在方程中得以體現(xiàn)。因此，只要差分方程和微分方程滿足相容性關(guān)系，數(shù)值積分計(jì)算的結(jié)果就能夠反映原有的物理特性。

3 結(jié)論

1)建立了時(shí)域上的非線性分布參數(shù)燃燒組件動(dòng)力學(xué)模型。將空間從零維擴(kuò)充到一維，所研究的頻率范圍從低頻擴(kuò)充到中高頻(涵蓋一階縱向聲學(xué)頻率)。

2)靜態(tài)算例的計(jì)算表明，數(shù)值仿真結(jié)果和精確解能夠較好吻合。驗(yàn)證了模型對(duì)燃燒組件靜態(tài)流場(chǎng)與溫度場(chǎng)求解的準(zhǔn)確性。

3)含熵波和聲波的氣路算例驗(yàn)證結(jié)果表明，模型結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合較好。本文所建立的模型既能準(zhǔn)確捕捉到高頻的聲波特征和低頻的熵波特征，又能準(zhǔn)確反映高頻下的熵波耗散特征。