馮亞強(qiáng)，宋 龍，張公平，2

(1. 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009； 2. 航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河南 洛陽(yáng) 471009)

0 引 言

隨著空中目標(biāo)機(jī)動(dòng)和突防能力的顯著提升，出現(xiàn)了一系列復(fù)雜的機(jī)動(dòng)形式，如蛇形機(jī)動(dòng)、水平轉(zhuǎn)彎等。為實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截，需要得到目標(biāo)的準(zhǔn)確運(yùn)動(dòng)信息，而導(dǎo)引頭上的探測(cè)器往往只能提供有限的測(cè)量信息，且伴隨著大量噪聲，因此，機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的關(guān)鍵在于如何從觀測(cè)信息中有效地估計(jì)出目標(biāo)的狀態(tài)信息。

機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型的建立是機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的基礎(chǔ)，一個(gè)好的模型可以有效提升目標(biāo)跟蹤的精度。目前有許多關(guān)于目標(biāo)模型的研究成果，包括CV模型、CA模型、Singer模型、CS模型、jerk模型等。除了建立與機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)情況盡可能吻合的模型外，選擇與目標(biāo)模型匹配的跟蹤算法也是目標(biāo)跟蹤的關(guān)鍵。然而，目前提出的經(jīng)典模型都是基于線性系統(tǒng)的模型，實(shí)際工程中往往會(huì)遇到一些非線性的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，如果用現(xiàn)有的線性模型和跟蹤算法進(jìn)行估計(jì)，由于模型不匹配會(huì)導(dǎo)致濾波精度很差甚至發(fā)散。因此，針對(duì)目標(biāo)做復(fù)雜機(jī)動(dòng)時(shí)的非線性系統(tǒng)估計(jì)問(wèn)題，建立準(zhǔn)確的模型并選擇與之匹配的濾波算法是機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的關(guān)鍵。

基于此，本文針對(duì)做HGB機(jī)動(dòng)的目標(biāo)提出了一種三維轉(zhuǎn)彎模型，并建立了導(dǎo)彈在攔截過(guò)程中可信的動(dòng)力學(xué)模型。然后，采用PF，EKF，UKF對(duì)基于三維轉(zhuǎn)彎模型的系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)，仿真表明，PF的估計(jì)性能優(yōu)于EKF和UKF，可較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)該模型的匹配。最后，基于所設(shè)計(jì)的仿真場(chǎng)景，采用基于粒子濾波的三維轉(zhuǎn)彎模型對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行了成功的跟蹤與攔截。

1 彈目運(yùn)動(dòng)模型的建立

1.1 目標(biāo)三維轉(zhuǎn)彎模型的建立

文獻(xiàn)[5-7]提出了HGB機(jī)動(dòng)形式，為戰(zhàn)斗機(jī)提供了一種規(guī)避導(dǎo)彈追蹤的合理方法，其機(jī)動(dòng)模型可描述為

(1)

把上述模型寫成狀態(tài)方程的形式:

(2)

對(duì)做HGB機(jī)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，首先要建立適合的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤模型，本文選取彈目相對(duì)距離及其速率和轉(zhuǎn)彎角速率作為狀態(tài)量，根據(jù)彈目之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可得到以下非線性模型：

(3)

式中：,,分別為,,方向上的彈目相對(duì)距離；為轉(zhuǎn)彎速率；,分別為導(dǎo)彈在,方向上的位置；m,m,m分別為導(dǎo)彈在,,方向上的加速度；為系統(tǒng)噪聲。

觀測(cè)方程為

(4)

式中：和為視線傾角和視線偏角；和為觀測(cè)噪聲。

1.2 導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型的建立

式(3)將導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)信息作為確定性變量引入了狀態(tài)方程中，因此，需要對(duì)導(dǎo)彈建立合理的、可信的運(yùn)動(dòng)模型。

導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引法攔截目標(biāo)，分別計(jì)算俯仰和偏航兩個(gè)方向上的過(guò)載指令：

(5)

(6)

設(shè)定導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)在時(shí)刻熄火(取=5 s)，則導(dǎo)彈的推力可表示為

(7)

導(dǎo)彈飛行時(shí)的空氣阻力為

(8)

綜上，可建立發(fā)射后導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

(9)

式中：,,分別為導(dǎo)彈在,,方向上的位移；為導(dǎo)彈的速度；為彈道傾角；為方位角。

2 濾波算法的選擇

2.1 不同非線性濾波方法的原理

對(duì)于式(3)～(4)所示的三維轉(zhuǎn)彎模型所呈現(xiàn)出的強(qiáng)非線性特性，需要選擇與之匹配的非線性濾波算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行有效估計(jì)。對(duì)于非線性濾波問(wèn)題，比較通用的方法是利用線性化技術(shù)將非線性濾波問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似的線性濾波問(wèn)題，再根據(jù)卡爾曼濾波理論求解，得到問(wèn)題的次優(yōu)解。這種利用線性化的思想得到的濾波方法即為擴(kuò)展卡爾曼濾波。

無(wú)跡卡爾曼濾波同樣采用了卡爾曼濾波框架，對(duì)于一步預(yù)測(cè)方程，使用UT變換來(lái)處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問(wèn)題。UKF是用一系列確定樣本來(lái)逼近狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)，不需要求解雅克比矩陣，對(duì)于非線性分布的統(tǒng)計(jì)量有較高的計(jì)算精度。

(10)

(11)

2.2 不同濾波方法的仿真對(duì)比分析

為了對(duì)比各濾波算法的跟蹤性能，分別采用PF, EKF, UKF對(duì)三維轉(zhuǎn)彎模型的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。考慮到式(3)所示的模型狀態(tài)量較多，因此在濾波算法仿真對(duì)比時(shí)將模型進(jìn)行如下簡(jiǎn)化：

(12)

式中：為目標(biāo)的位置；為轉(zhuǎn)彎角速率(設(shè)定其真值為=8330+02)；為系統(tǒng)噪聲。

仿真中，三種濾波算法采用同樣的初值、系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲。為比較其估計(jì)性能，文中采用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的均方根誤差來(lái)衡量濾波偏差，其中，位置估計(jì)均方根誤差和轉(zhuǎn)彎角速率估計(jì)均方根誤差分別為

(13)

(14)

(15)

(16)

三種濾波算法對(duì)目標(biāo)位置及轉(zhuǎn)彎角速率估計(jì)的均方根誤差和CRLB下界的對(duì)比圖，如圖1～2所示。

圖1 位置估計(jì)的均方根誤差Fig.1 Root mean square error of position estimation

圖2 角速率估計(jì)的均方根誤差Fig.2 Root mean square error of angular velocity estimation

從圖中可以看出，PF對(duì)目標(biāo)位置和角速率估計(jì)的均方根誤差明顯低于EKF和UKF估計(jì)的均方根誤差，并且PF的均方根誤差更接近于各狀態(tài)的CRLB下界，因此，PF對(duì)非線性模型的各狀態(tài)量有更好的估計(jì)效果。

為了較全面地比較三種濾波算法的性能特點(diǎn)，利用各濾波算法連續(xù)仿真100次，各濾波算法的單次程序運(yùn)行時(shí)間對(duì)比，如圖3所示。從圖中可以看出，PF的計(jì)算量最大，UKF次之，EKF的計(jì)算量最小。

圖3 各濾波算法計(jì)算量對(duì)比Fig.3 Comparison of calculation amount of each filtering algorithm

相較于EKF和UKF，雖然PF有較大的計(jì)算量，但PF對(duì)非線性模型的各狀態(tài)量有更高的估計(jì)精度，因此，為了對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確、可靠的跟蹤，本文選擇用PF作為三維轉(zhuǎn)彎模型的匹配濾波算法。

3 仿真驗(yàn)證與分析

3.1 三維轉(zhuǎn)彎模型的仿真對(duì)比分析

為了驗(yàn)證三維轉(zhuǎn)彎模型的跟蹤性能，分別采用CA模型、三維轉(zhuǎn)彎模型對(duì)做HGB機(jī)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。仿真中，目標(biāo)做轉(zhuǎn)彎角速率固定的HGB機(jī)動(dòng)，并采用同樣的初值和噪聲。文中采用均方根誤差來(lái)衡量跟蹤誤差，兩種目標(biāo)模型對(duì)目標(biāo)速度估計(jì)的均方根誤差對(duì)比圖，如 圖4所示。

圖4 不同模型的速度估計(jì)誤差對(duì)比Fig.4 Comparison of velocity estimation error of each model

從圖中可以看出，在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤的過(guò)程中，三維轉(zhuǎn)彎模型的跟蹤誤差低于CA模型的跟蹤誤差，因此，三維轉(zhuǎn)彎模型有更高的跟蹤精度，可以對(duì)HGB機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行更有效的跟蹤。

3.2 三維轉(zhuǎn)彎目標(biāo)跟蹤仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于粒子濾波的三維轉(zhuǎn)彎模型對(duì)做HGB機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的有效性，設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈攔截HGB機(jī)動(dòng)目標(biāo)的具體仿真場(chǎng)景，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

仿真中采用易于實(shí)現(xiàn)的先驗(yàn)分布作為粒子濾波的重要性分布函數(shù)：

(17)

此時(shí)，各粒子對(duì)應(yīng)的重要性權(quán)重可簡(jiǎn)化為

(18)

此外，除了選擇合理的重要性分布函數(shù)，文中還采用了重采樣技術(shù)，這在一定程度上避免了粒子濾波中的粒子退化問(wèn)題，保持了粒子的多樣性，從而使粒子濾波對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)能夠進(jìn)行有效估計(jì)。

采用式(5)～(6)所示的比例導(dǎo)引律進(jìn)行仿真，可得，導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)的仿真時(shí)間為16.3 s，脫靶量為2.36 m，具有較高的攔截精度。仿真結(jié)果驗(yàn)證了基于粒子濾波的三維轉(zhuǎn)彎模型對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的有效性。

HGB機(jī)動(dòng)的各狀態(tài)量估計(jì)，如圖5所示。從圖5中

圖5 HGB機(jī)動(dòng)的各狀態(tài)量估計(jì)Fig.5 HGB maneuver state estimation

可以看出，粒子濾波能對(duì)各個(gè)狀態(tài)量進(jìn)行較為理想的估計(jì)。在制導(dǎo)末端，有些狀態(tài)量估計(jì)精度變差，這是因?yàn)橛杀壤龑?dǎo)引法得到的過(guò)載指令在彈道末端會(huì)有明顯的抖動(dòng)，而系統(tǒng)狀態(tài)方程是以導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)信息作為確定性變量，因此對(duì)估計(jì)精度具有一定的影響。

當(dāng)目標(biāo)在空間中以復(fù)雜的形式進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)彈依然能成功攔截目標(biāo)，攔截過(guò)程中導(dǎo)彈和目標(biāo)各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的對(duì)比圖，如圖6～7所示。在制導(dǎo)末端，指令過(guò)載會(huì)急劇增大，很容易會(huì)超過(guò)導(dǎo)彈的過(guò)載限幅，這反映了末制導(dǎo)階段的特點(diǎn)，對(duì)制導(dǎo)算法的優(yōu)化具有一定的參考意義。

圖6 彈目三維交戰(zhàn)軌跡Fig.6 Missile-target 3D engagement trajectory

圖7 彈目各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)比Fig.7 Comparison of missile-target motion states

4 結(jié) 論

針對(duì)目標(biāo)發(fā)生轉(zhuǎn)彎的運(yùn)動(dòng)模式，提出了三維轉(zhuǎn)彎模型，然后對(duì)三維轉(zhuǎn)彎模型的跟蹤性能進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，并基于此模型對(duì)不同濾波算法的性能進(jìn)行了仿真對(duì)比，最后選擇用粒子濾波對(duì)基于三維轉(zhuǎn)彎模型的機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。從仿真結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

(1) 本文提出了三維轉(zhuǎn)彎模型，仿真結(jié)果表明，對(duì)于一些機(jī)動(dòng)形式復(fù)雜的目標(biāo)，相較于CA模型，三維轉(zhuǎn)彎模型有更高的跟蹤精度。

(2) 文中設(shè)計(jì)了一種基于粒子濾波的三維轉(zhuǎn)彎模型，仿真結(jié)果表明，粒子濾波對(duì)三維轉(zhuǎn)彎模型的各狀態(tài)量具有更高的估計(jì)精度，這種機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法對(duì)做HGB機(jī)動(dòng)的目標(biāo)具有良好的跟蹤效果。

(3) 建立了導(dǎo)彈在攔截過(guò)程中較為合理、可信的動(dòng)力學(xué)模型，得到了相對(duì)真實(shí)的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程。