郝小健 凌 浩 張康群

南京工程學院數(shù)理學院 江蘇南京 211167

組合數(shù)學又稱離散數(shù)學，是研究離散結(jié)構的存在、計數(shù)、分析和優(yōu)化等問題的一門學科，其在群論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計學、粒子物理學及計算機相關領域均有著重要的應用。特別是近些年來，隨著人工智能的迅猛發(fā)展，組合數(shù)學已成為一個非?；钴S的數(shù)學分支[1]。高等院校對于組合數(shù)學的教學工作日益重視，許多高校都將組合數(shù)學作為面向數(shù)學及計算機專業(yè)開設的重要選修課程。

不得不提的是，由于組合數(shù)學主要考察離散結(jié)構，強調(diào)構造性證明，涉及的組合物體性質(zhì)繁多且聯(lián)系緊密，研究問題的技巧更是千變?nèi)f化，是一門非常具有挑戰(zhàn)性的科目[2]。正因為如此，許多同學在選課時往往將其作為第二甚至第三選擇，在同等學分的前提下盡量避開這門科目，選擇一些相對簡單，容易通過的科目。

眾所周知，興趣是學習最好的老師。孔子有言：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！笔聦嵣?，無論是以赫爾巴特為代表的“傳統(tǒng)教育”學說，還是以杜威為代表的“現(xiàn)代教育”學說，都將興趣置于十分關鍵的地位[3]。由此，筆者希望通過本文使同學們認識組合數(shù)學，感受組合證明的魅力，培養(yǎng)同學們對于組合數(shù)學的興趣。

一、組合數(shù)學的引入

筆者認為組合數(shù)學的課程引入環(huán)節(jié)非常重要，它會影響同學們對于課程的判斷，進而左右其選課意愿。因此，筆者希望借助部分中小學知識作為鋪墊，由熟悉至陌生，由簡單到復雜，讓同學們意識到組合證明并沒有想象中的百轉(zhuǎn)千回、變幻莫測。同學們只是習慣了連續(xù)性思維，對于離散性思維感到陌生和本能的抗拒，而這些都是不難克服的。

其實許多同學平時接觸的問題都可以通過組合方法給出簡潔優(yōu)美的證明。例如，自小學階段就爛熟于心的求和公式：

當初筆者的老師是借助首尾相加的方式來推導這個公式的，而本文則希望給出一個組合證明，從全新的角度解讀上述公式，也讓同學們意識到構造性證明遠非想象中那么困難。

組合證明的前提是對等式兩端進行組合解釋，即選擇恰當?shù)慕M合物體被等式兩端的數(shù)字所計數(shù)，這也是組合證明的準備環(huán)節(jié)。為了讓同學們更好地了解構造性證明，本文選取日常工作生活中所熟悉的表格作為證明工具，讓同學們切身感受到，離散性思維訓練至巔峰，則“飛花摘葉皆可傷人，草木竹石亦為鋒刃”。

紅色 藍色

不失一般性，我們?nèi)=7，并對等式左端進行組合解釋：自上而下，自左至右依次染紅第一行的第一個格子，第二行的前兩個格子，直至第七行前七個格子。顯然所有的紅格數(shù)目為:

1+2+3+4+5+6+7.

紅色 藍色

任取一個紅格，例如第四行第二個(這里我們以淺紅色標示)，作過其中心及底邊中點的直線和過其中心及右下角頂點的兩條直線，這兩條直線分別穿過第八行兩個不同藍格的中心，取出這兩個藍格(以第四行第二個紅格為例，即須取出第二及第六個藍格)。至此，筆者建立了一個簡潔的映射。注意到對于任意兩個藍格，同學們反向操作也可以唯一確定一個紅格，從而該映射是一個一一映射，筆者也給出了上述求和公式的組合證明。

通過該題，筆者希望同學們認識到組合證明雖然注重構造，技巧性很高，但是并不是每一個都那么復雜，熟練地掌握組合解釋，組合證明可以簡潔而有趣。并且本部分證明用到的工具是大家日常生活經(jīng)常接觸的表格，很容易被理解。這樣的教學方式從全新的角度給出了理解問題的方法，對于公式的記憶和應用都是大有幫助的。

二、組合數(shù)學的展開

在引入組合數(shù)學以后，筆者希望從現(xiàn)在大學生的日常生活出發(fā)，拉近同學們與組合數(shù)學之間的距離。比如，同學們所熟知的三國時期著名的軍事家諸葛亮，在一部手游當中就有一款精致的專屬皮膚叫作“黃金分割率”，而與其相匹配的臺詞更是飄逸與雄渾并立:“完美的幾何學者，以斐波那契數(shù)列分割戰(zhàn)場”。顯而易見，即便沒有經(jīng)過高等數(shù)學訓練的人也一定聽說過黃金分割率，隱約知曉這個數(shù)字是0.618。事實上，黃金分割率有著廣泛的應用，尤其是在工藝學、建筑學以及美學等方面，而這一比例和一個著名的組合序列——斐波那契數(shù)列緊密相關。

斐波那契數(shù)列是由十一世紀意大利數(shù)學家斐波那契通過理想狀態(tài)下兔子的繁殖情況引入的。其在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構以及化學等領域都有著直接的應用。為此，美國數(shù)學會從1963年起出版了以《斐波納契數(shù)列季刊》為名的數(shù)學雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。組合數(shù)學中斐波那契數(shù)列一般通過如下遞推公式來定義：

f1=1，f2=2，fn=fn-1+fn-2(n>2).

斐波那契數(shù)列有許多廣受關注的有趣性質(zhì)。例如：

相信同學們初看這個性質(zhì)會有一些摸不到頭腦，大都希望借助遞推公式進行推導，這樣難免過程煩瑣。筆者希望本文的組合證明能帶給同學們耳目一新的感覺，讓同學們進一步領略組合數(shù)學的魅力。通過前述等差數(shù)列求和公式的組合證明，筆者認為同學們不難發(fā)現(xiàn)組合證明的前提是建立恰當?shù)慕M合解釋。而斐波那契數(shù)列極高的關注度，使其擁有很多組合解釋，結(jié)合本文的主題，筆者選取其中與表格覆蓋相關的一個。

首先我們生成一個1行n列的表格。繼而我們用1×1的藍格及1×2的紅格來對上述表格進行覆蓋，則覆蓋該表格的方法數(shù)即為fn。這個結(jié)論的證明非常直接，同學們只需考慮覆蓋時放的第一塊是紅格還是藍格即可。

紅色 藍色

通過上述觀察可知，造成左右兩側(cè)覆蓋方式差值的原因恰恰在于極右切割線存在與否，如果存在就可以依極右切割線進行前述切割換表的操作。講解到這里，筆者希望引導同學們做出另外一個重要的觀察：如果位于上側(cè)的表格包含藍格，則該藍格左右兩側(cè)縫隙所對應的兩條垂線中至少有一條不切割下側(cè)的表格，從而極右切割線必然存在。因此,上方表格是否一定存在藍格就是影響等號右側(cè)-1冪次的關鍵。容易看出,當n為偶數(shù)時n+1為奇數(shù)，從而左側(cè)兩個表格按照上圖方式進行堆疊時，極右切割線必然存在，繼而左側(cè)覆蓋方式小于等于右側(cè)覆蓋方式。根據(jù)藍格不出現(xiàn)準則不難發(fā)現(xiàn)，當n為偶數(shù)時，除了右側(cè)上下方均為紅格的覆蓋方式以外，我們都可以找到一個左側(cè)的覆蓋與之相對應，從而右側(cè)的覆蓋方式僅僅比左側(cè)多1，反之亦然。下圖分別給出了兩側(cè)堆疊表格無法通過切割換表所映射掉的特殊覆蓋。

紅色

至此,筆者完成了對上述性質(zhì)的組合證明。這個證明避免了煩瑣的計算，映射簡潔優(yōu)美，能夠極大激發(fā)同學們的學習興趣，喚起其對組合數(shù)學的熱愛。而且證明的方式非常類似同學們小時候玩的積木堆疊，所用的工具唯一張紙而已，俯拾即是，同學們甚至可以動手去裁剪，去實驗這個漂亮的映射。更進一步地，筆者還可以做如下延伸，讓同學們思考如何利用表格組合證明下述公式：

當然講解本部分知識時，筆者將聯(lián)系黃金分割的概念、斐波那契數(shù)列與黃金分割之間的關系、黃金分割在美學中的應用等，讓同學們進一步認識到組合數(shù)學在生活中的巨大作用，增加同學們選課的積極性。

結(jié)語

筆者認為通過上述教學設計可以由淺入深，由生活及課堂，借助日常工作生活中常見的表格循序漸進地引入組合數(shù)學，讓同學們領略組合證明的魅力。綜上，組合數(shù)學這門課程是非常有趣的，只要選擇合適的教學內(nèi)容、恰當?shù)恼归_方式，輔以合理的教學設計，利用與組合數(shù)學相關知識的趣味性及應用性，一定能達到極佳的教學效果。