●高照穎 趙寶江
STEAM 教育理念是集科學、技術(shù)、工程及藝術(shù)的數(shù)學跨學科教育,強調(diào)課程回歸生活以學生為本,應(yīng)用數(shù)學知識解決社會生產(chǎn)問題,推動數(shù)學學科知識與多領(lǐng)域知識的綜合應(yīng)用,在創(chuàng)新驅(qū)動下培養(yǎng)綜合人才,打破傳統(tǒng)教學中單學科教學和課堂教學中教師重理論輕實踐教學的弊端,通過實踐活動運用知識掌握技能提出的一種數(shù)學教學理論。
STEAM 教育理念作為新教育理念,在高中建模教學的研究相對較少,數(shù)學建?;顒訉τ诟咧猩鷣碚f是個比較難駕馭的課題,數(shù)學建?;顒犹岢龅恼n題問題大多來自現(xiàn)實生活,解決建?;顒訂栴}需要綜合物理、化學、生物、經(jīng)濟等領(lǐng)域的知識,因此教師在建?;顒咏虒W中滲透STEAM 教育理念,注重多學科的融合教學,讓學生找到建模問題突破方向,經(jīng)歷完整建?;顒?,明白問題解決的來龍去脈,通過建?;顒影l(fā)揮主人公、決策者、合作伙伴等角色,學生是建模活動的主人公,學生親自實踐動手聯(lián)系實際生活,用數(shù)學眼光觀察世界,運用數(shù)學語言表達世界,讓學生在建模專題實踐活動中綜合發(fā)展學科素養(yǎng)、數(shù)學建模思維,獲得直接經(jīng)驗和實踐能力,從而保證建?;顒拥捻樌_展提出以下教學策略。
STEAM 理念下的教學強調(diào)實踐性,數(shù)學建?;顒泳哂虚_放性,因此教師和學生在共同確定探究的數(shù)學建?;顒诱n題時,應(yīng)精選貼近學生實際生活的活動課題,本著面向全體學生,活動課題的選擇不應(yīng)過于深奧或者理論性過強,不利于學生參與的積極性。選題應(yīng)本著以學生為本,激發(fā)學生的建?;顒訁⑴c的積極性,與學生現(xiàn)階段的建模認知水平相契合,難度適中,學生在主動查閱資料和收集數(shù)據(jù)過程中,積累建模活動經(jīng)驗,真正實現(xiàn)在做中學數(shù)學,從而提升學生的建模思維水平。收集建模課題素材,根據(jù)現(xiàn)行高中數(shù)學不同版本教材整理和改編提出建模教學課題,例如,“對國民收入、消費與投資的關(guān)系的探究”“體重與脈搏探究”“決定蘋果最佳出售時間點”“進貨次數(shù)與總費用關(guān)系的存貯模型探究”等,或者根據(jù)現(xiàn)實生活提出建模問題,例如“用適當?shù)目諝庀短岣吲勘匦堋钡冗M行探究。
數(shù)學建?;顒右詫嶋H問題背景引入,例如,“對霧霾天室內(nèi)PM2.5 濃度變化探究”學生需要綜合多學科查閱相關(guān)資料,對提出的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再用數(shù)學知識求解。因此教師在教學中開展建模數(shù)學化訓練,訓練學生科學閱讀能力,增強學生物理、生物、經(jīng)濟學等方面的生活閱歷,多積累不同知識領(lǐng)域?qū)S行g(shù)語及相關(guān)知識,比如馬爾薩斯增長模型、車流密度、放射性物質(zhì)衰變、交通流量、信道容量、聲音強度、投資回報率、個人所得稅稅率等。通過多領(lǐng)域科學知識的積累,幫助學生在建?;顒又袑嶋H背景的認識理解,順利地從直觀感知到抽象推理,讓學生能夠?qū)嶋H問題抽象為數(shù)學問題并用形式化的數(shù)學語言表達出來的數(shù)學化過程。
STEAM 理念下的教學強調(diào)知識遷移,在開展數(shù)學建?;顒又?,針對提出的課題問題,教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)促使學生發(fā)生知識正遷移的教學氛圍,從數(shù)學模型假設(shè)、模型求解、模型的驗證與反思的過程中,激發(fā)學生原有的認知對建?;顒訂栴}解決的促進作用,達到知識應(yīng)用的融會貫通,真正做到學以致用。如提出建模問題“參加宴會8 人每兩個人之間進行握手,共多少次握手?”教師引導學生應(yīng)用原有知識多角度解決此模型問題,學生順應(yīng)思維可運用小學算法一一羅列加和;運用初中的算法平面幾何求正八邊形邊數(shù)和對角線數(shù);運用高中算法楊輝三角以及數(shù)列通項迭代公式算法求解等多種知識遷移應(yīng)用可得共28 次。針對建模問題,綜合學習過的知識,不拘泥于僅僅解決建模問題,教師應(yīng)鼓勵學生多途徑多維度剖析問題,促使學生發(fā)生知識的正遷移,舉一反三。
建?;顒咏虒W中組織開展建模經(jīng)驗交流,師生共同進行研究成果的展示與交流,建模小組匯報本組的建?;顒友芯砍晒瑓R報內(nèi)容重點覆蓋從收集數(shù)據(jù)到模型求解的整個過程以及出現(xiàn)的難點、解決方案,通過質(zhì)疑、辯論、分析不足、反思,開展自我評價、同學評價與教師總結(jié)評價,總結(jié)成果并分享體會領(lǐng)悟。經(jīng)過相互交流借鑒、取長補短,實踐交流中積累數(shù)學建?;顒咏?jīng)驗,發(fā)揮小組合作能力,進一步激發(fā)學生建?;顒又魅斯瘢瑢W思結(jié)合形成應(yīng)用數(shù)學融合多學科領(lǐng)域解決實際問題的意識,針對不同建模角度切入進行經(jīng)驗交流開拓建模視角,從而提升學生建模創(chuàng)新思維的發(fā)展。
結(jié)合STEAM 教育理念與提出的建?;顒咏虒W策略,選取貼近高中生實際生活和符合認知規(guī)律的建模活動課題“不同包裝規(guī)格商品的成本問題”進行分析。
《不同包裝規(guī)格商品的成本問題》數(shù)學建?;顒咏虒W案例
同學們,去超市購物,我們看到貨物架上琳瑯滿目的商品(如洗衣粉、奶粉、大米、牙膏、沐浴露等)有大包裝和小包裝不同規(guī)格,價格也不同,那么請同學們實際調(diào)研當?shù)乇憷甑纳唐?,探究同一商品單位包裝量價格與包裝規(guī)格大小的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)了什么?針對同一商品不同包裝量與商品成本價格之間的數(shù)學關(guān)系,嘗試建立數(shù)學模型并預測不同包裝規(guī)格的牙膏成本價格。
分別統(tǒng)計奶粉、沐浴露、大米、牙膏不同包裝規(guī)格的售價和計算單位包裝量的價格,通過表格初步判斷之間的邏輯關(guān)系。
表1 不同規(guī)格商品的商品量、價格和單位包裝量價格
通過表格數(shù)據(jù)統(tǒng)計我們可以分析得到同一商品單位包裝量價格與商品包裝規(guī)格的關(guān)系,即:同一商品大容量包裝比小容量包裝的單位包裝量價格普遍少,這是由于大容量包裝節(jié)省包裝成本,那么我們可以進一步預測同一商品包裝量(即商品量)增大時生產(chǎn)產(chǎn)品的單位成本降低,通過建立相應(yīng)數(shù)學模型描述并驗證我們的猜想。
由于商品生產(chǎn)過程復雜,因此要探究商品的成本價格與商品不同規(guī)格包裝量的關(guān)系,將做如下前提假設(shè):
1.商品的成本價格由生產(chǎn)商品的原料及加工成本和商品的包裝材料及加工成本兩部分組成,商品在其他生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的成本忽略不計;
2.同一商品包裝的材料是相似的,不同規(guī)格大小的商品包裝外觀是相似的;
3.商品包裝是密合的沒有空隙[1]。
根據(jù)上述生產(chǎn)過程的前提假設(shè),設(shè)商品的成本價格為y元,商品的規(guī)格包裝量為x(g),商品的原料及加工成本為M1(元),商品的包裝材料及加工成本為M2(元)。商品的原料及加工成本為M1(元)與商品的規(guī)格包裝量成正比,包裝材料及加工成本M2正比于商品的表面積S, 而包裝表面積S 正比于商品體積,商品體積V 正比于商品的規(guī)格量[2]。
根據(jù)上述模型假設(shè),運用形式化的數(shù)學語言表達上述關(guān)系:
商品的生產(chǎn)原料加工成本:M1=kx
商品的成本價格:y=M1+M2
由此我們得到了商品成本價格與商品不同包裝規(guī)格量的數(shù)學模型(2.1)。
通過調(diào)查,現(xiàn)有同款牙膏規(guī)格100g 成本價格為12.8 元,150g 成本價格為16.9 元,將其代入建立的數(shù)學模型(2.1),聯(lián)立方程組求出參數(shù)k 和參數(shù)t,即:
由方程組解得參數(shù)k≈0.021
從而得到該同款牙膏不同包裝規(guī)格的成本價模型:
由此我們得出刻畫該牙膏成本與不同包裝規(guī)格量的數(shù)學模型。
根據(jù)建立的數(shù)學模型,我們預測該同款牙膏200g 的成本價格,將x=200 代入模型,解得y=21.68 元,對比調(diào)查的同款牙膏200g 成本價格21.9 元,誤差值約為1%,因此我們預測的這個模型相對較成功。
開展數(shù)學建模教學活動,進行建模交流活動,深化對實際問題的認識與模型的應(yīng)用,通過探究“不同包裝規(guī)格商品的成本問題”建立商品成本價格與商品不同包裝規(guī)格量的數(shù)學模型,根據(jù)建立的模型,我們可以進一步綜合分析得到:
由此可得單位商品包裝量的成本(2.3)是包裝規(guī)格量X的減函數(shù),因此印證了包裝規(guī)格量增加時,商品的單位包裝量的成本下降。
同時,我們再進一步進行知識遷移從定性角度分析做深入研究,同一商品包裝規(guī)格量增加時,商品的單位包裝量的成本下降速率:
由此可得商品的單位包裝量的成本下降速率(2.4)是包裝規(guī)格量的減函數(shù),因此隨著商品包裝規(guī)格量的增加其單位包裝量的成本降低率的變化將越來越小[1]。
教師補充總結(jié)通過探究“不同包裝規(guī)格商品的成本問題”建立的數(shù)學模型屬于量的比例模型即輪廓模型,由兩個物理量的乘冪之間的比例關(guān)系的形式表示出來,例如本探究中的包裝表面積s 正比于包裝體積。輪廓模型是數(shù)學建模中常用的一種模型,面對復雜的實際問題,通過簡單的方式描述有關(guān)量之間的大致關(guān)系,利用量的比例關(guān)系所組建的模型就是輪廓模型[1],是一個很實用的簡化假設(shè)模型,例如“探究動物體重與心率模型”“二十一屆高中應(yīng)用競賽初賽根據(jù)數(shù)據(jù)計算水庫的水面面積”等實際問題對輪廓模型的廣泛應(yīng)用,拓寬學生的建模知識面,深化量的比例模型在不同實際問題情境中的應(yīng)用。
筆者將STEAM 教育理念與高中數(shù)學建?;顒咏虒W的有機結(jié)合,嘗試探索高中數(shù)學建?;顒咏虒W新模式,選取輪廓模型進行高中建模活動案例分析,在STEAM 教育理念下應(yīng)用提出的建模教學策略,使得學生在建?;顒又姓莆諔?yīng)用數(shù)學的基本技能體會數(shù)學與多學科的融合,學生在“自主”或者“合作”的建模活動方式下,提升學生數(shù)學建模抽象、歸納、演繹、類比、模擬等邏輯思維能力以及想象、直覺、頓悟靈感等非邏輯思維方法能力,培養(yǎng)創(chuàng)新驅(qū)動下綜合素質(zhì)人才奠定基礎(chǔ),通過數(shù)學建模活動綜合多領(lǐng)域?qū)W科知識的應(yīng)用,解決實際問題的創(chuàng)新型教學理念下的數(shù)學建?;顒?。