周 圍，楊秋艷

(重慶郵電大學(xué) a.通信與信息工程學(xué)院; b. 移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

0 引 言

在毫米波大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)系統(tǒng)中，數(shù)字和模擬相結(jié)合的混合預(yù)編碼技術(shù)是消除數(shù)據(jù)流間干擾并提升系統(tǒng)性能的重要技術(shù)之一[1-4]。混合預(yù)編碼的結(jié)構(gòu)主要分為部分連接結(jié)構(gòu)和全連接結(jié)構(gòu)[5]，前者硬件成本較低但頻譜效率也遠(yuǎn)低于基帶數(shù)字預(yù)編碼器[6-7]；后者可以獲得全部的天線陣列增益，因此具有較好的頻譜效率。文獻(xiàn)[8]利用正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法獲得混合預(yù)編碼矩陣，但由于模擬預(yù)編碼矩陣的取值受陣列響應(yīng)矩陣的限制，該算法的頻譜效率較低，特別是數(shù)據(jù)流數(shù)較大時(shí)；文獻(xiàn)[9]利用赫爾德不等式提出了基于相位提取的交替最小化 (Alternate Minimization using Phase Extraction，PE-AltMin)算法，該算法在頻譜效率上優(yōu)于OMP算法，但射頻鏈數(shù)增加對(duì)算法頻譜效率的提升相對(duì)緩慢；文獻(xiàn)[10]在PE-AltMin算法的基礎(chǔ)上引入正交約束來(lái)初始化模擬預(yù)編碼矩陣，略微提高了系統(tǒng)的頻譜效率；文獻(xiàn)[11]中基于信道奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的算法雖然復(fù)雜度低，但頻譜效率還有待提升；此外，文獻(xiàn)[12-13] 還提出了收發(fā)聯(lián)合的混合預(yù)編碼算法。

在上述文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了一種基于梯度下降法的交替最小化(Alternate Minimization based on Gradient Descent (GD-AltMin)混合預(yù)編碼算法。與文獻(xiàn)[8-11]相比，本文所提算法的頻譜效率更接近最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法的頻譜效率，特別是射頻鏈數(shù)大于數(shù)據(jù)流數(shù)時(shí)，其頻譜效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法。

1 系統(tǒng)模型與問(wèn)題構(gòu)想

1.1 系統(tǒng)模型

式中：x=[x1,x2,…,xNt]T∈Nt×1；s=[s1,s2,…,sNs]T∈Ns×1為原始信號(hào)，且滿足為期望，INs為Ns×Ns維的單位矩陣；FBB∈NRF×Ns為低維數(shù)字預(yù)編碼矩陣；FRF∈Nt×NRF為高維模擬預(yù)編碼矩陣。由于模擬預(yù)編碼部分由移相器構(gòu)成，只能提供相位調(diào)整，因此模擬預(yù)編碼矩陣中的每個(gè)元素有相同的振幅，即式中，m和k為矩陣的第m行第k列元素。此外，發(fā)射端滿足總功率約束條件經(jīng)毫米波信道傳輸后,接收端經(jīng)過(guò)處理后的接收信號(hào)y為

式中：y=[y1,y2,…,yNs]T∈Ns×1為接收矢量；ρ為平均接收功率；n為加性高斯白噪聲矢量，服從CN(0,σ2I)，σ2為加性高斯白噪聲的功率，I為單位矩陣；H∈Nr×Nt為信道矩陣；WRF∈Nr×NRF和WBB∈NRF×Ns分別為接收端的模擬和數(shù)字組合矩陣，與模擬預(yù)編碼矩陣類似，模擬組合矩陣只提供相位調(diào)整，即滿足因此在該系統(tǒng)模型下，頻譜效率可表示為

圖1 單用戶毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

1.2 信道模型

由于毫米波較高路徑損耗導(dǎo)致的空間稀疏性，以及密集的天線陣列導(dǎo)致毫米波在傳播過(guò)程中存在顯著的天線相關(guān)性，本文采用文獻(xiàn)[8]提出的一種基于擴(kuò)展的S-V(Saleh-Valenzuela)的信道模型來(lái)模擬毫米波的傳播環(huán)境。該信道模型有Ncl個(gè)散射簇，每個(gè)簇包括Nray條傳輸路徑，因此信道矩陣H可表示為

在相同天線元件數(shù)目條件下，均勻平面陣列(Uniform Planar Array, UPA)更易于小型化和封裝，且能產(chǎn)生水平和垂直波束，因此本文假設(shè)收發(fā)兩端都采用UPA。UPA的每一行有N1個(gè)天線元件，每一列有N2個(gè)天線元件，則UPA響應(yīng)矢量aUPA可表示為

式中：N=N1×N2且0≤n1

1.3 問(wèn)題描述

本文的優(yōu)化目標(biāo)是聯(lián)合設(shè)計(jì)(FBB,FRF,WBB,WRF)使式(3)最大化。但FRF和WRF的恒模約束使這4個(gè)矩陣變量的聯(lián)合設(shè)計(jì)問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)。因此混合預(yù)編碼的設(shè)計(jì)問(wèn)題通常解耦為兩個(gè)獨(dú)立的子問(wèn)題，即發(fā)射端的預(yù)編碼設(shè)計(jì)問(wèn)題和接收端的組合器設(shè)計(jì)問(wèn)題。兩者有相似的數(shù)學(xué)公式，只是前者有一個(gè)額外的功率限制。為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，本文重點(diǎn)研究了發(fā)射端混合預(yù)編碼器的設(shè)計(jì)，提出的算法同樣適用于接收端的解碼器。在發(fā)射端，最大化頻譜效率問(wèn)題可近似為最大化互信息量：

最大化式(6)可等效為最小化式(7)[9]：

式中：‖·‖F(xiàn)為矩陣Frobenius范數(shù)；Fopt為最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼矩陣，由H右奇異矩陣的前Ns列矢量構(gòu)成。

2 GD-AltMin算法

由于式(7)本質(zhì)上是一個(gè)涉及兩個(gè)矩陣變量FRF和FBB的矩陣分解問(wèn)題，然而FRF恒模約束的存在使得該優(yōu)化問(wèn)題仍是復(fù)雜的。因此，本文利用文獻(xiàn)[9]中PE-AltMin算法提到的交替最小化理論對(duì)這兩個(gè)矩陣變量進(jìn)行迭代優(yōu)化，交替求解FBB和FRF。

2.1 數(shù)字預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)

先固定模擬預(yù)編碼矩陣FRF來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字預(yù)編碼矩陣FBB。因此，式(7)可重新表述為

暫時(shí)移除功率約束，根據(jù)最小二乘法可解得：

2.2 模擬預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)

在下一步的交替過(guò)程中，將數(shù)字預(yù)編碼矩陣FBB固定，尋找一個(gè)模擬預(yù)編碼矩陣來(lái)優(yōu)化下面的問(wèn)題：

式中：α為步長(zhǎng)；?FRFf(FRF)為目標(biāo)函數(shù)f()對(duì)FRF的梯度，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得：

為使每次迭代目標(biāo)函數(shù)的值能逐漸減少，本文提出一種動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)算式，即步長(zhǎng)α的設(shè)定應(yīng)能夠最小化下式：

式中，Tr()為矩陣的跡。

觀察式(13)可得，α可設(shè)定為

式中，∠(·)為取相位。經(jīng)上述分析即可獲得FRF和FBB，然后不斷交替迭代直到滿足誤差終止條件。

為進(jìn)一步加快算法的收斂速度，提升系統(tǒng)頻譜效率，本文利用信道SVD算法優(yōu)化該算法的初始值，即提取V矩陣前NRF列的相位作為模擬預(yù)編碼矩陣的初始值，V為信道矩陣奇異值分解(H=UΣVH)后的右奇異矩陣(U、Σ分別為信道矩陣奇異值分解后的左奇異和對(duì)角矩陣)。因此，本文所提GD-AltMin混合預(yù)編碼算法的具體步驟如下：

1、輸入H、NRF、Ns和誤差值；

2、對(duì)信道矩陣進(jìn)行SVD：[U，Σ，VH]=svd(H)；

3、最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼矩陣：Fopt=V(1∶Ns)；

4、初始化FRF=∠V(1∶NRF)；

5、重復(fù)步驟6～8，若觸發(fā)終止條件，跳轉(zhuǎn)到步驟9；

10、輸出FRF和FBB。

3 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性和正確性，本小節(jié)給出了不同混合預(yù)編碼算法在相同結(jié)構(gòu)下頻譜效率的對(duì)比。仿真采用S-V信道模型，假設(shè)共有5個(gè)散射簇，單個(gè)簇信道內(nèi)包括10個(gè)單散射體，即Ncl=5,Nray=10，每個(gè)簇信道內(nèi)出發(fā)角和到達(dá)角的方位(仰)角均服從拉普拉斯分布。收發(fā)端采用UPA。所得的結(jié)果均是經(jīng)過(guò)1 000次獨(dú)立信道仿真后的平均值。

圖2 NRF=Ns=4、Nr=36和Nt=144時(shí)，目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)K的變化曲線

圖3所示為在天線數(shù)目Nt=256、Nr=36以及收發(fā)端射頻鏈數(shù)和數(shù)據(jù)流數(shù)相等即NRF=Ns={4,8}情況下，本文所提GD-AltMin算法與OMP[8]、PE-AltMin[9]、信道SVD[11]以及最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法的頻譜效率隨信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)變化的曲線。由圖可知，所有混合預(yù)編碼算法的頻譜效率均隨SNR的增加而穩(wěn)步增加，本文所提算法遠(yuǎn)優(yōu)于經(jīng)典的OMP算法，相比PE-AltMin和信道SVD算法更接近最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法。此外，NRF=Ns=4時(shí)，本文所提算法的頻譜效率只是略優(yōu)于PE-AltMin和信道SVD算法，但隨著數(shù)據(jù)流的增大，如NRF=Ns=8時(shí)，PE-AltMin和信道SVD算法與最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法的差距變大，本文所提算法與最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法之間的差距基本不變，可以看出數(shù)據(jù)流數(shù)的變化對(duì)本文算法的影響不大，相比于其他算法，數(shù)據(jù)流數(shù)較大時(shí)，本文所提算法的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖3 Nt=256、Nr=36和NRF=Ns={4,8}時(shí)，頻譜效率隨SNR的變化曲線

圖4所示為不同混合預(yù)編碼算法的頻譜效率隨射頻鏈數(shù)目變化的情況。由圖可知，在數(shù)據(jù)流數(shù)Ns=4和SNR=0的條件下，射頻鏈數(shù)的增加對(duì)信道SVD和PE-AltMin算法沒(méi)有明顯增益效果，而GD-AltMin和OMP算法隨著射頻鏈數(shù)的增加不斷逼近最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法的頻譜效率，但GD-AltMin算法的頻譜效率一直遠(yuǎn)優(yōu)于OMP算法。此外，當(dāng)NRF≥2Ns時(shí)，本文所提算法的頻譜效率與最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法之間只存在極小的差距。因此，本文所提算法更適合射頻鏈數(shù)大于數(shù)據(jù)流數(shù)的實(shí)際情況。

圖4 Ns=4和SNR=0時(shí)，不同射頻鏈數(shù)的頻譜效率

圖5所示為在NRF=Ns=8的毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，各算法的頻譜效率與發(fā)射端天線數(shù)目之間的關(guān)系。當(dāng)收發(fā)端天線數(shù)分別為Nr=36和Nt={36,64,100,144，196,256}時(shí)，得益于天線陣列增益的增加，所有算法的頻譜效率均隨著發(fā)射端天線數(shù)目的增加而提升，本文算法一直優(yōu)于其他幾種算法，最接近最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼算法。當(dāng)發(fā)射端天線數(shù)目較小時(shí)，幾種算法的頻譜效率相差不大，但隨著天線數(shù)目的增加，本文所提算法與其他幾種算法之間的頻譜效率差距越來(lái)越大，這證實(shí)了本文所提算法的優(yōu)越性。

圖5 NRF=Ns=8和Nr=36時(shí)，發(fā)射端不同天線數(shù)目的頻譜效率

上述仿真結(jié)果均是假設(shè)收發(fā)端已獲得完美信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)，但在實(shí)際場(chǎng)景中往往不能獲得完美的CSI，因此圖6研究了信道估計(jì)誤差對(duì)這幾種混合預(yù)編碼算法的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，非完美CSI下的信道矩陣可表示為

式中：ξ為信道估計(jì)的精準(zhǔn)度，其取值范圍為[0,1]；E為誤差矩陣，其元素服從CN(0,1)。以天線數(shù)Nt×Nr=256×36和NRF=Ns=8的毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)為例，對(duì)比圖3可知，在非完美CSI (ξ=0.8)場(chǎng)景中，各混合預(yù)編碼算法的頻譜效率都有所下降，但本文所提算法依然優(yōu)于PE-AltMin、信道SVD和OMP算法。

圖6 Nt×Nr=256×36和NRF=Ns=8時(shí)，非完美CSI下的頻譜效率

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)全連接結(jié)構(gòu)下的毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，本文在信道SVD算法的基礎(chǔ)上，利用梯度下降法和最小二乘準(zhǔn)則對(duì)模擬和數(shù)字預(yù)編碼進(jìn)行設(shè)計(jì)，并結(jié)合交替最小化原理，使所設(shè)計(jì)的混合預(yù)編碼器不斷接近最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼器。仿真結(jié)果表明，本文所提算法相比于PE-AltMin、信道SVD和OMP算法具有更優(yōu)的頻譜效率，當(dāng)射頻鏈數(shù)大于數(shù)據(jù)流數(shù)或數(shù)據(jù)流數(shù)較大時(shí)，這一優(yōu)勢(shì)比其他算法更明顯。此外，本文所提算法在非完美CSI下也能取得不錯(cuò)的頻譜效率。