王 琳，張慶杰，陳宏偉

(空軍航空大學(xué)， 吉林 長春 130022)

群系統(tǒng)編隊控制問題[1-2]越來越受到學(xué)者的關(guān)注。傳統(tǒng)的編隊控制方法存在通信代價大，以及易單點失效導(dǎo)致整體癱瘓的缺點。伴隨一致性理論的出現(xiàn)，為編隊控制問題提供了新的解決思路。文獻[3]證明了一致性編隊控制方法可以解決編隊控制問題，且優(yōu)于傳統(tǒng)編隊控制方法。

文獻[4]解決了一階積分特性的群系統(tǒng)模型下的編隊跟蹤問題。文獻[5]解決了二階積分特性模型下的編隊跟蹤問題。文獻[6]在假設(shè)含有有向生成樹，且領(lǐng)導(dǎo)者須作為根節(jié)點的條件下，解決了二階積分特性模型下的編隊跟蹤問題。文獻[7]在通信拓撲圖為無向圖時，解決了編隊控制問題。文獻[8]在通信拓撲圖為有向圖時，解決了時變編隊問題。文獻[9]在通信拓撲圖為有向圖時，利用一致性方法，解決了無人機編隊問題。文獻[10]解決了高階積分特性的群系統(tǒng)模型下的編隊跟蹤問題。文獻[11]解決了最小化線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)性能指標的一階積分特性模型下的編隊問題。文獻[12]研究了系統(tǒng)矩陣正定時領(lǐng)導(dǎo)者跟隨者系統(tǒng)跟蹤最優(yōu)控制。文獻[13]利用逆優(yōu)化方法設(shè)計時變編隊跟蹤協(xié)議，給出群系統(tǒng)實現(xiàn)時變編隊跟蹤的可行性條件的證明，并保證所提出的控制策略滿足LQR性能指標。

文獻[4-6]的控制方法只適用于低階積分特性模型，模型條件過于苛刻。文獻[6]的控制方法針對的是領(lǐng)導(dǎo)者跟隨者系統(tǒng)，其拓撲條件要求含有有向生成樹且領(lǐng)導(dǎo)者須作為根節(jié)點，適用范圍較窄。文獻[7]要求通信拓撲圖切換時均為無向圖，針對有向拓撲條件，文獻[7]的結(jié)論并不適用。文獻[8-9]的通信拓撲圖雖為有向圖，但是解決的是編隊形成問題，其結(jié)論不適用于編隊跟蹤問題。文獻[10]考慮了高階積分特性的編隊跟蹤問題，但是沒有涉及編隊跟蹤性能方面。文獻[11]考慮了最小化LQR性能指標的編隊控制問題，針對的是低階模型，且沒有涉及跟蹤軌跡方面。文獻[12]對領(lǐng)導(dǎo)者跟隨者系統(tǒng)達到跟蹤最優(yōu)控制的條件較為苛刻，要求系統(tǒng)矩陣正定，且不考慮時變編隊和軌跡跟蹤，應(yīng)用范圍較窄。文獻[13]雖然在通信拓撲圖為有向圖時解決了編隊跟蹤問題，但跟蹤軌跡的約束性強，其動態(tài)特性表達式要滿足特定條件，不具有普遍性。在通信拓撲圖為一般有向圖且滿足LQR性能指標的條件下，保證群系統(tǒng)編隊跟蹤的控制協(xié)議設(shè)計方法還比較少。

本文主要研究了一種針對群系統(tǒng)滿足LQR指標的編隊跟蹤優(yōu)化方法。

符號RN×N表示N×N維矩陣。IN是N×N維單位矩陣。A>B意味著A-B是正定的，A≥B意味著A-B是半正定的。A?B表示矩陣A和矩陣B的克羅內(nèi)克積。

1 圖論知識和相關(guān)引理

1.1 圖論知識

圖G=(V,ε,W)中V是節(jié)點集合，ε是邊集合，W是鄰接矩陣。其中，V={ξ1,ξ2,…,ξN}，ε={(ξi,ξj) ∶ξi,ξj∈V}，W=[wij]∈RN×N。用eij=(ξi,ξj)表示節(jié)點ξi延伸到節(jié)點ξj的邊。如果對任意的eij都存在eji∈ε，則圖G是無向圖。其他情況下，稱圖G是有向圖。用wij表示邊eji的連接權(quán)重。當wij>0，節(jié)點ξi可以接收來自節(jié)點ξj的信息，而對i={1,2,…,N}，有wij=0。如果存在一個節(jié)點ξi，可以傳遞信息到其他任意節(jié)點，則稱圖G含有一個有向生成樹。定義節(jié)點ξi的鄰居節(jié)點集合為Ni={ξj∈V∶(ξj,ξi)∈ε}。定義節(jié)點ξi的入度為degin(ξi)，則圖的入度矩陣為D=diag{degin(ξ1),degin(ξ2),…,degin(ξN)}。通常用L=D-W表示圖G的拉普拉斯矩陣。

1.2 相關(guān)引理

引理1[14]有向圖含有向生成樹，則0是拉普拉斯矩陣L的單個特征值且L1=0，其他非零特征值均具有正實部。如果無向圖含有向生成樹，其他非零特征值均為正數(shù)。

引理2[15]如果矩陣W∈RN×N每一特征根均有正的實部，存在正定矩陣Q>0使得WTQ+QW>0。

引理3[16]對于矩陣IN+L，L是圖G的拉普拉斯矩陣，存在正定矩陣Q，使得

(IN+L)TQ+Q(IN+L)>2αQ

其中，0<α<1。

引理4[17]對于系統(tǒng)

如果：

1)存在正定函數(shù)V(x,t)；

則平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。

引理5[18]考慮連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)

選取二次型性能指標函數(shù)

其中，A和B為輸入矩陣，(A,B)可控且B是列滿秩矩陣。x∈Rn是第i個主體的狀態(tài)，u∈Rm是控制輸入。

選取加權(quán)陣Q>0和R>0，控制變量u=Kx，其中，K=-R-1BTP且P>0滿足里卡蒂方程ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0。則反饋增益矩陣K使二次型性能指標函數(shù)J最小化且矩陣-KB是可對角化且正定的。

引理6[19]對于逆最優(yōu)問題，反饋增益矩陣K=-R-1BTP對于二次型性能指標函數(shù)J是最優(yōu)的且P>0滿足里卡蒂方程

ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0

(Q>0和R>0)的條件是：

1)-KB是可對角化且正定的，而且滿足rank(KB)=rank(K)。即存在對稱矩陣P>0和R>0使得K=-R-1BTP。

2)K穩(wěn)定到矩陣P的核空間。

2 問題描述

2.1 編隊跟蹤問題

考慮群系統(tǒng)滿足如式(1)所示動態(tài)特性。

(1)

式中，ξi(t)∈Rl是第i個主體的狀態(tài)，ui(t)∈Rm是第i個主體的控制輸入。

假設(shè)1B是列滿秩矩陣，通信拓撲圖G包含有向生成樹。

定義1在控制輸入ui(t)下，群系統(tǒng)式(1)的主體狀態(tài)能夠滿足

(2)

式中，r(t)∈Rl為給定的軌跡，則稱群系統(tǒng)式(1)能夠形成時變編隊h(t)，同時可以跟蹤軌跡r(t)。

2.2 控制協(xié)議框架

基于一致性理論，考慮如下編隊控制協(xié)議：

ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t),i=1,2,…N

(3)

式中，ui1(t)為自身反饋控制輸入，ui2(t)為輔助函數(shù)輸入，ui3(t)為鄰居反饋控制輸入，其具體表達式為

(4)

其中，Ni表示拓撲圖G第i個節(jié)點的鄰居集合，K1和K2是待設(shè)計的增益矩陣，vi(t)∈Rm是輔助函數(shù)。

3 問題分析和協(xié)議設(shè)計

3.1 充分必要條件

由定義1可知，群系統(tǒng)式(1)的主體狀態(tài)與相應(yīng)的時變編隊和軌跡的差值需要收斂到零，才能實現(xiàn)編隊跟蹤，這樣對編隊跟蹤控制協(xié)議的設(shè)計會有一定的限制條件，定理1給出了控制協(xié)議框架下群系統(tǒng)實現(xiàn)編隊跟蹤的充要條件。

定理1有界初始條件下，群系統(tǒng)式(1)通過ui(t)的控制可以形成時變編隊h(t)并跟蹤軌跡r(t)的充分必要條件是：

1)對于控制函數(shù)vi(t)∈Rm有

(5)

2)如下系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的

(6)

證明：將式(3)代入式(1)，并令

得到群系統(tǒng)的閉環(huán)方程為

(IN?BK1)h(t)+(L?BK2)h(t)

(7)

式中，L為通信拓撲圖G的拉普拉斯矩陣。令

ζi(t)=ξi(t)-hi(t)-r(t)，i=1,2,…,N

則群系統(tǒng)式(7)可以轉(zhuǎn)換為

(8)

(9)

且式(10)所示閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則群系統(tǒng)式(1)能夠形成時變編隊h(t)，同時可以跟蹤軌跡r(t)。由式(9)可得到定理1的條件1，由式(10)可得到定理1的條件2。根據(jù)上述線性變換的證明過程，條件1和條件2是充分必要條件。

(10)

□

注1：定理1的適用范圍較廣，不同于文獻[20]，除了考慮群系統(tǒng)實現(xiàn)時變編隊，還加以考慮跟蹤軌跡。其控制函數(shù)v(t)的引入是為了補償時變編隊h(t)和軌跡r(t)帶來的多余項，將群系統(tǒng)式(1)轉(zhuǎn)化為閉環(huán)自治系統(tǒng)，便于討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其控制函數(shù)v(t)可以通過式(5)求解得到，條件1較易滿足。而條件2可通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論予以證明，在理論證明中，難點在于閉環(huán)系統(tǒng)式(6)中增益矩陣K1和K2的設(shè)計方法，下面定理2給出了增益矩陣的設(shè)計方法。

3.2 穩(wěn)定性分析

定理2有界初始條件下，如果K=-R-1BTP，若K1=cK，K2=-cK，c是增益常數(shù)，群系統(tǒng)式(1)在編隊跟蹤控制協(xié)議式(4)下能夠?qū)崿F(xiàn)時變編隊并跟蹤軌跡。

證明：考慮分段連續(xù)的李雅普諾夫函數(shù)

V=ζT(t)(Qσ?P)ζ(t)

(11)

P是里卡蒂方程ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0的正定解。V是連續(xù)的，對其求導(dǎo)并將式(6)、K1=cK、K2=-cK、K=-R-1BTP代入式(11)可得

cζT(t){[(IN+L)TQσ]?PBR-1BTP}ζ(t)-

cζT(t){[Qσ(IN+L)]?PBR-1BTP}ζ(t)

(12)

由引理3得

(IN+L)TQσ+Qσ(IN+Lσ(t))>2αQσ

(13)

則式(12)轉(zhuǎn)換為

(14)

由里卡蒂方程可得

ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0

(15)

則式(14)轉(zhuǎn)換為

(16)

(17)

□

注2：由于跟蹤控制協(xié)議式(4)包含了自身反饋控制輸入，從式(12)～(16)判斷，假設(shè)1并不是群系統(tǒng)實現(xiàn)時變編隊和跟蹤軌跡的必要條件，即使各主體之間不連通，時變編隊和軌跡跟蹤仍然可以實現(xiàn)。根據(jù)文獻[16]可知，通信拓撲圖中含有有向生成樹，能夠增強群系統(tǒng)的魯棒性。

在實際應(yīng)用中，往往還需要考慮系統(tǒng)能否滿足某種性能指標，下面定理3給出了編隊跟蹤控制協(xié)議式(4)可以最小化LQR性能指標的充分條件。

3.3 最優(yōu)性分析

考慮如下LQR性能指標：

(18)

定理3有界初始條件下，選取編隊跟蹤控制協(xié)議式(4)可以最小化LQR性能指標的充分條件是：矩陣IN+L是可對角化且正定的。

證明：令K1=cK，K2=-cK，K=-R-1BTP，代入式(10)，得到全局誤差動態(tài)特性

=IN?Aζ(t)+c(IN+L)?BKζ(t)

=IN?Aζ(t)+(IN?B)c(IN+L)?Kζ(t)

=IN?Aζ(t)+(IN?B)v

(19)

由引理5可知，矩陣-KB是可對角化且正定的，而且滿足rank(KB)=rank(K)，則有

rank{[c(IN+L)?K](IN?B)}

=rank[c(IN+L)]rank(KB)

=rank[c(IN+L)]rank(K)

=rank[c(IN+L)?K]

(20)

□

=-(IN?R)-1(IN?B)T(Lσ?P)

(21)

(22)

(23)

注4：在滿足條件式(5)和閉環(huán)系統(tǒng)式(6)漸近穩(wěn)定的情況下，編隊跟蹤控制協(xié)議式(4)可以使群系統(tǒng)形成指定時變編隊并跟蹤軌跡，但不一定可以最小化二次型性能指標，通信拓撲還需滿足特定條件，即IN+L是可對角化且正定的，才可以實現(xiàn)最小化二次型性能指標。根據(jù)引理1，當拓撲圖為無向圖時，矩陣IN+L是實對稱矩陣，必定可以對角化，且特征值都為正的實數(shù)，滿足正定性。

注5：傳統(tǒng)最小化性能指標的方法，是先選定加權(quán)陣，確定性能指標之后，得出控制輸入的最優(yōu)形式，進而決定控制協(xié)議的設(shè)計結(jié)構(gòu)。而傳統(tǒng)方法大都是針對低階積分特性模型，如文獻[11]，或者不考慮時變編隊和跟蹤軌跡，如文獻[12]。對于高階群系統(tǒng)模型，考慮時變編隊和跟蹤軌跡的影響，選定性能指標之后，設(shè)計控制協(xié)議是十分困難的，基于此，本文設(shè)計的控制協(xié)議使得群系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)，通過變量代換，得到性能指標的加權(quán)陣，能夠最小化性能指標。

4 數(shù)值仿真與分析

4.1 數(shù)值仿真條件

圖1給出了各主體之間的拓撲圖。可以看出，圖1中的拓撲圖G包含有向生成樹，G相應(yīng)的拉普拉斯矩陣為

圖1 群系統(tǒng)各主體之間的通信拓撲圖Fig.1 Communication topologies between agents of swarm systems

基于多無人機偵察任務(wù)場景，無人機須從不同角度偵察目標，以及被偵察目標軌跡會發(fā)生變化，定義時變編隊h(t)和軌跡r(t)分別為

其中，ω=0.25 rad/s。由式(5)可以得到控制函數(shù)v(t)。

當0≤t<30時，

當30≤t≤70時，

取α=0.5，得c=1。各主體的初始狀態(tài)分別為：xi1(0)=4(δ-0.5)，xi2(0)=3(δ-0.5)，xi3(0)=2(δ-0.5)(i=1,2,…,8)。其中，δ為(0,1)之間的隨機數(shù)，設(shè)置仿真時間70 s。

4.2 結(jié)果討論與對比分析

4.2.1 結(jié)果討論

圖2給出了8個主體的狀態(tài)在0.5 s、10 s、30 s、45 s、60 s和70 s時的狀態(tài)演化過程和編隊構(gòu)型。在初始階段，8個主體的構(gòu)型為不規(guī)則圖形，隨著時間的推移，群系統(tǒng)的8個主體形成了指定的時變編隊并可以保持穩(wěn)定。

(a) t=0.5 s

(b) t=10 s

(c) t=30 s

(d) t=45 s

(e) t=60 s

(f) t=70 s圖2 不同時刻群系統(tǒng)狀態(tài)演化過程Fig.2 State evolution process of the swarm systems at different times

圖3為20～30 s和50～60 s之間各主體的軌跡圖，其中方框表示主體的起點，五角星表示主體的終點。在20～30 s和50～60 s的時間段里，8個主體已經(jīng)形成了規(guī)則的構(gòu)型，并可以跟蹤預(yù)先設(shè)定的軌跡。當軌跡發(fā)生變化時，群系統(tǒng)可以保持對軌跡的跟蹤且編隊的構(gòu)型并沒有受到影響。

(a) 20～30 s

(b) 50～60 s圖3 不同時間段的軌跡截圖Fig.3 Snapshot of motion trajectories in different time

圖4(a)～(c)分別給出了編隊跟蹤誤差在3個不同方向上的差值曲線。從圖中不難看出，不同方向上編隊跟蹤誤差都可以趨于零。說明各主體的三個狀態(tài)與編隊和軌跡相應(yīng)狀態(tài)的差值趨于零，這也說明群系統(tǒng)形成了指定的時變編隊，并可以保持穩(wěn)定。

(a) ξi1(t)-hi1(t)-r(t)

(b) ξi2(t)-hi2(t)-r(t)

(c) ξi3(t)-hi3(t)-r(t)圖4 3個不同方向上的編隊跟蹤誤差Fig.4 Formation tracking errors in three different directions

從增益常數(shù)c分析，隨著增益常數(shù)c取值的不同，編隊跟蹤誤差趨于零的時間長短不同，即群系統(tǒng)形成時變編隊并跟蹤軌跡的時間長短不同。以x方向為例，圖5(a)～(c)分別給出了增益常數(shù)c在取值為0.6、1和2時的編隊跟蹤誤差曲線。這里認為差值小于10-3時，編隊跟蹤誤差趨于零。圖中豎直虛線表示差值趨于零的時間?？梢钥闯鲭S著增益常數(shù)c的增大，編隊跟蹤誤差趨于零的時間越短。圖6(a)～(b)分別給出了增益常數(shù)c在取值為0.6和2時，8個主體的狀態(tài)在0.5 s時的狀態(tài)截圖，與圖2(a)中c取值為1對比，可以看出隨著增益常數(shù)c的增大，8個主體的狀態(tài)在0.5 s時的編隊構(gòu)型越規(guī)則，也說明8個主體的編隊形成速度越快。

(a) c=0.6

(b) c=1

(c) c=2圖5 ξi1(t)-hi1(t)-r(t)在不同取值c的誤差曲線Fig.5 The error curves of ξi1(t)-hi1(t)-r(t) in different values of c

(a) t=0.5 s，c=0.6

(b) t=0.5 s，c=2圖6 群系統(tǒng)狀態(tài)在c不同取值時的截圖Fig.6 Snapshot of states of the swarm systems in different values of c

注6：基于多無人機偵察任務(wù)場景，可以發(fā)現(xiàn)，當其中一個無人機可以感知到危險源時，需要聯(lián)動整個無人機群系統(tǒng)突然改變方向。很明顯這種情況下的無人機群系統(tǒng)不僅需要位置和速度的誤差收斂于零，還要實現(xiàn)加速度的誤差收斂于零，才可以實現(xiàn)更加精準的飛行。因此，針對高階系統(tǒng)模型，設(shè)此仿真案例，以驗證編隊控制算法。

4.2.2 對比分析

為便于比較和考慮到控制協(xié)議最小化性能指標需要滿足特定的拓撲條件，選取拓撲圖為無向圖，如圖7所示。

圖7 無向圖Fig.7 Undirected graph

其他仿真條件采用本文的仿真條件。

從不同控制方法分析，編隊跟蹤誤差趨于零的時間長短不同。以x方向為例，圖8給出了文獻[16]方法和本文方法下x方向的收斂時間。圖中豎直虛線是增益常數(shù)c選取的邊界，即參數(shù)c的選取要大于0.5。利用文獻[16]方法得到的增益矩陣，使得編隊跟蹤誤差趨于零的時間為6.3 s，而利用本文方法得到的增益矩陣，可以通過調(diào)節(jié)增益常數(shù)c，改變編隊跟蹤誤差趨于零的快慢。當c取0.5時，收斂時間為6.3 s；當c取5時，收斂時間為2.3 s。從圖中可以看出，隨著增益常數(shù)c的增大，收斂時間從6.3 s減小至2.3 s，而相應(yīng)的最小性能指標J*越來越大，在實際應(yīng)用中，可以綜合考慮收斂時間與性能指標對系統(tǒng)的影響，適當選取增益常數(shù)c。在實際應(yīng)用中，基于多無人機偵察任務(wù)場景，當一個無人機收到被偵察目標的軌跡信息，需要無人機群系統(tǒng)迅速做出反應(yīng)，為達到良好的偵察效果，無人機群系統(tǒng)需要迅速形成編隊隊形實施偵察任務(wù)，映射到仿真案例中，調(diào)節(jié)增益常數(shù)c的大小以改變編隊的形成速度，從而適應(yīng)偵察任務(wù)的需要。

圖8 收斂時間和性能指標與參數(shù)c的關(guān)系Fig.8 Relationship between convergence time performance index and the parameter c

5 結(jié)論

本文提出了一種滿足LQR性能指標的群系統(tǒng)編隊跟蹤優(yōu)化方法，結(jié)論為：

1)建立了編隊跟蹤問題數(shù)學(xué)描述，設(shè)計分布式控制協(xié)議框架，給出了編隊跟蹤的充要條件。

2)通過變量代換，將群系統(tǒng)編隊跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并利用李雅普諾夫第二方法，分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3)給出了滿足LQR性能指標下通信拓撲條件。