孟旭東

(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院，江西 共青城 332020)

集值優(yōu)化問(wèn)題是標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題和向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的拓展，是現(xiàn)代運(yùn)籌控制優(yōu)化領(lǐng)域研究熱點(diǎn)之一.核心原因主要涉及3 方面：其一，就理論層面而言，集值優(yōu)化問(wèn)題的研究為諸多理論研究發(fā)展提供了統(tǒng)一模型，例如：Ky Fan 不等式、目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題、向量均衡問(wèn)題、向量變分不等式、偏微分方程反問(wèn)題等；其二，從實(shí)際應(yīng)用角度分析，集值優(yōu)化問(wèn)題在圖像處理問(wèn)題、生命生存理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)與微分包含、交通網(wǎng)略等方面均有廣泛應(yīng)用；其三，集值優(yōu)化問(wèn)題的研究與非線(xiàn)性理論、非光滑分析、凸優(yōu)化、變分學(xué)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論緊密相關(guān)，且其自身理論及算法研究也需要新的概念、方法和工具.因此，對(duì)集值優(yōu)化問(wèn)題的研究有著極其重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，近年來(lái)備受廣大研究工作者的青睞，且有了較豐碩的研究成果[1-10].眾所周知，集值優(yōu)化問(wèn)題（近似）解集的穩(wěn)定性分析是集值優(yōu)化理論與算法設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要課題.一般而言，集值優(yōu)化問(wèn)題及相關(guān)問(wèn)題的穩(wěn)定性研究是指分析（近似）解集受到參數(shù)變化時(shí)的擾動(dòng)性質(zhì)，主要包含定性性質(zhì)和定量規(guī)律.定性刻畫(huà)方面主要涉及Berge-半連續(xù)性、Hausdorff-半連續(xù)性、緊閉性、連通性、適定性等，定量性質(zhì)主要包括Aubin 性質(zhì)、平靜性、H?lder 連續(xù)性、Lipschitz 連續(xù)性等.一些作者已經(jīng)研究了（參數(shù)）向量均衡問(wèn)題的映射解的半連續(xù)性，特別是下半連續(xù)性[11-18].但很少有學(xué)者研究參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題（近似）解映射的上半連續(xù)和下半連續(xù).Xu 等[19]得到了具集優(yōu)化準(zhǔn)則的參數(shù)集值向量?jī)?yōu)化問(wèn)題極小解和弱極小解集映射上、下半連續(xù)性和閉性.孟旭東[20]獲得了2 類(lèi)含參廣義集值平衡問(wèn)題近似解映射的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性定理.孟旭東[21]分析了基于改進(jìn)集的參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題解集映射的Berge 連續(xù)性、Hausdorff 連續(xù)性、C-Hausdorff 連續(xù)性和緊閉性定理.利用集值分析與變分分析方法，彭興媛等在文獻(xiàn)[22-26]中分別建立了帶等式與不等式約束的向量平衡問(wèn)題孤立有效解和弱嚴(yán)格有效解的最優(yōu)性條件.本文在賦范線(xiàn)性空間中借助廣義凸性和水平映射的方法，研究了目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)具參數(shù)擾動(dòng)時(shí)參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題2 種（弱）近似解集的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性的最優(yōu)條件.

1 預(yù)備知識(shí)

本文設(shè)X,Y,Z為賦范線(xiàn)性空間，Λ,Ω ?Z為非空子集，K?Y為閉凸點(diǎn)錐且intK≠?，M,N?Y為非空子集，記R+={x∈R|x≥0}.設(shè)點(diǎn)e∈intK，對(duì)任何的ε ∈R+，M與N的 ε-下序關(guān)系與弱 ε-下序關(guān)系分別定義為：

設(shè)F:X×Λ×Ω ?X×Z×Z →2Y{?}，T:Ω ?Z →2X{?}為給定非空集值映射，對(duì)每個(gè)點(diǎn)(λ,μ)∈Λ×Ω，討論如下含參集值優(yōu)化問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)問(wèn)題（PSOP））：

問(wèn)題（PSOP）：minF(x,λ,μ)，使得x∈T(μ).

定義1[26]設(shè)M?Y為非空子集，點(diǎn)ω∈M給定.

（?。┘偃?M-ω)∩(-K)={0}成立，則稱(chēng)點(diǎn) ω為關(guān)于K的最小點(diǎn)，記為ω ∈Min(M).

（ⅱ）假如(M-ω)∩(-intK)=?成立，則稱(chēng)點(diǎn) ω為關(guān)于K的弱最小點(diǎn)，記為ω ∈WMin(M).

（ⅲ）假如(M-ω)∩K={0}成立，則稱(chēng)點(diǎn) ω為關(guān)于K的最大點(diǎn)，記為ω ∈Max(M).

（ⅳ）假如(M-ω)∩intK=?成立，則稱(chēng)點(diǎn) ω為關(guān)于K的弱最大點(diǎn)，記為ω ∈WMax(M).

據(jù)文獻(xiàn)[26]知：

注1（?。┤鬗?Y為非空緊子集，則Min(M)≠?且Max(M)≠?.

（ⅱ）若M?Y為非空緊子集，并注意到Min(M)?WMin(M)及Max(M)?WMax(M)，則WMin(M)≠?且WMax(M)≠?.

定義2設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，設(shè)點(diǎn)e∈intK，對(duì)每個(gè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，以及點(diǎn)x0∈T(μ)：

（?。┘偃鐚?duì)任何的點(diǎn)x∈T(μ)，滿(mǎn)足有

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（PSOP）的l-最小近似解，記問(wèn)題（PSOP）的l-最小近似解集為Sl(ε,λ,μ)，即

（ⅱ）假如對(duì)任何的點(diǎn)x∈T(μ)，滿(mǎn)足有

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（PSOP）的弱l-最小近似解，記問(wèn)題（PSOP）的弱l-最小近似解集為(ε,λ,μ)，即

（ⅲ）假如對(duì)任何的點(diǎn)x∈T(μ)，滿(mǎn)足有

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（PSOP）的u-最小近似解，記問(wèn)題（PSOP）的u-最小近似解集為Su(ε,λ,μ)，即

（ⅳ）假如對(duì)任何的點(diǎn)x∈T(μ)，滿(mǎn)足有

則稱(chēng)點(diǎn)x0為問(wèn)題（PSOP）的弱u-最小近似解，記問(wèn)題（PSOP）的弱u-最小近似解集為(ε,λ,μ)，即

注2據(jù)定義2 易得：

（?。?假如點(diǎn)x0∈Sl(ε,λ,μ)，y0∈T(μ)，且則必有點(diǎn)

（ⅱ） 假如點(diǎn)x0∈Su(ε,λ,μ)，y0∈T(μ)，且則必有點(diǎn)

注3設(shè)點(diǎn)e∈intK給定，對(duì)每個(gè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，則：

（?。㏒l(ε,λ,μ)?(ε,λ,μ)；

（ⅱ）Su(ε,λ,μ)?(ε,λ,μ).

證明（?。┦聦?shí)上，設(shè)點(diǎn)x0∈Sl(ε,λ,μ)，假如存在點(diǎn)y∈T(μ)，滿(mǎn)足則有

定義3設(shè)點(diǎn)e∈intK給定，ε ∈R+，D?X為非空凸子集，G:X→2Y{?}為給定非空集值映射：

（?。┓Q(chēng)G在D上為嚴(yán)格近似下K-凸的，假如對(duì)任何的點(diǎn)x1,x2∈D，滿(mǎn)足x1≠x2，及任何的t∈(0,1)，有

（ⅱ）稱(chēng)G在D上為嚴(yán)格近似上K-凸的，假如對(duì)任何的點(diǎn)x1,x2∈D，滿(mǎn)足x1≠x2，及任何的t∈(0,1)，有

定義4[24-25]設(shè)T0,T1為拓?fù)渚€(xiàn)性空間，H:T0→2T1{?}為給定非空集值映射，點(diǎn)v0∈T0給定：

（ⅰ） 稱(chēng)H在點(diǎn)v0處為上半連續(xù)的，假如對(duì)H(v0)的任何鄰域V1?T1，存在點(diǎn)v0的鄰域V0?T0，對(duì)任何的點(diǎn)v∈V0，有H(v)?V1.

（ⅱ） 稱(chēng)H在點(diǎn)v0處為下半連續(xù)的，假如對(duì)任何的點(diǎn)u∈H(v0)，及點(diǎn)u的任何鄰域V1?T1，存在點(diǎn)v0的鄰域V0?T0，對(duì)任何的點(diǎn)v∈V0，有H(v)∩V1≠?.

（ⅲ） 稱(chēng)H在T0上為上（下）半連續(xù)的，假如對(duì)任何的點(diǎn)v∈T0，H在點(diǎn)v處為上（下）半連續(xù)的.

（ⅳ） 稱(chēng)H在T0上為連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)H在T0上既上半連續(xù)又下半連續(xù).

引理1[24]設(shè)T0,T1為賦范線(xiàn)性空間，H:T0→2T1{?}為給定非空集值映射，點(diǎn)v0∈V0給定，則H在點(diǎn)v0處下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何的序列{vn}?T0，vn→v0，以及對(duì)任何的點(diǎn)u0∈H(v0)，存在點(diǎn)un∈H(vn)，有un→u0.

引理2[25]設(shè)T0,T1為賦范線(xiàn)性空間，H:T0→2T1{?}為給定非空集值映射，點(diǎn)v0∈V0給定，且H(v0)?T1為緊子集，則H在點(diǎn)v0處上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何的序列{vn}?T0，vn→v0，以及對(duì)任何的點(diǎn)un∈H(vn)，存在點(diǎn)u0∈H(v0)，以及{unk}?{un}，有unk→u0.

引理3設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?},T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，并設(shè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，x0∈T(μ),e∈intK給定：

（ⅰ）假如WMin(F(x0,λ,μ))≠?，則點(diǎn)x0為問(wèn)題（PSOP）的弱l-最小近似解當(dāng)且僅當(dāng)不存在點(diǎn)x∈T(μ)，使得

（ⅱ）假如WMax(F(x0,λ,μ))≠?，則點(diǎn)x0為問(wèn)題（PSOP）的弱u-最小近似解當(dāng)且僅當(dāng)不存在點(diǎn)x∈T(μ)，使得

證明（ⅰ） 假如存在點(diǎn)x1∈T(μ)，使得則

這與（4）式矛盾，故結(jié)論得證.

（ⅱ） 類(lèi)似于(ⅰ)的論證過(guò)程知結(jié)論(ⅱ)成立.證畢.

引理4設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?},T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，并設(shè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定：

（?。┘偃鏔在X×Λ×Ω上為具非空緊值的嚴(yán)格近似下K-凸集值映射，T在 Ω上為非空凸集值映射，則

（ⅱ）假如F在X×Λ×Ω上為具非空緊凸值的嚴(yán)格近似上K-凸集值映射，T在 Ω上為非空凸集值映射，則

證明（?。?第1 步：據(jù)注3 的(ⅰ)知，Sl(ε,λ,μ)?(ε,λ,μ).

引理5設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?},T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，并設(shè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定：

（?。┘偃鏔在X×Λ×Ω上為具非空緊值的上半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為非空閉集值映射，則為閉集.

（ⅱ）假如F在X×Λ×Ω上為是非空緊值的下半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為非空閉集值映射，則為閉集.

證明（?。┰O(shè)則必有點(diǎn)事實(shí)上易知點(diǎn)x0∈T(μ)，假如點(diǎn)據(jù)引理3 的(i)知，存在點(diǎn)y0∈T(μ)，使得則

再由引理2 知，存在點(diǎn)u0∈F(x0,λ,μ)，及{unk}?{un}，使得unk→u0，不失一般性，不妨假如un→u0.又據(jù)（9）式知，存在點(diǎn)v0∈F(y0,λ,μ)，使得

由（12）式得，當(dāng)n充分大時(shí)，有un-v0∈intK+εe，這（11）式矛盾，故（10）式成立，因此，F(xiàn)(xn,λ,μ)，而這與xn∈(ε,λ,μ)矛盾，故點(diǎn)x0∈(ε,λ,μ).所以(ε,λ,μ)為閉集.

（ⅱ）類(lèi)似于(i)的論證過(guò)程可知(ε,λ,μ)為閉集.證畢.

由文獻(xiàn)[1]中的命題29 與命題30，易知：

引理6設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，并設(shè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，又假如F在X×Λ×Ω上為具非空緊值上半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為具非空緊值的集值映射，則Sl(ε,λ,μ)≠?.

據(jù)文獻(xiàn)[1]中的推論24，易得：

引理7設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，并設(shè)點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，又假如F在X×Λ×Ω上為非空緊值下半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為具非空緊值的集值映射，則Su(ε,λ,μ)≠?.

2 問(wèn)題（PSOP）近似解集與弱近似解集的上半連續(xù)性

本節(jié)討論問(wèn)題（PSOP）近似解集與弱近似解集的上半連續(xù).

定理1設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊子集成立，則：

（ⅱ）(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.

證明（?。┘偃?·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處不是上半連續(xù)的，則存在(ε0,λ0,μ0)的鄰域V0，使得對(duì)點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)的任何鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0?R+×Λ×Ω，存在點(diǎn)(ε0，λ0,μ0)∈Vε0×Vλ0×Vμ0，使得(ε0,λ0,μ0)?V0.因此，存在序列{(εn,λn,μn)}?Vε0×Vλ0×Vμ0，滿(mǎn)足(εn,λn,μn)→(ε0,λ0,μ0)，使得對(duì)任何的n∈N，有(εn,λn,μn)?V0，則存在點(diǎn)

由T(·)在點(diǎn) μ0處的上半連續(xù)性及xn∈T(μn)，并結(jié)合引理2 知，存在點(diǎn)x0∈T(μ0)，及子列{xnk}?{xn}，使得xnk→x0.不失一般性，不妨設(shè)xn→x0，則必有點(diǎn)事實(shí)上，假如點(diǎn)據(jù)引理3 的(i)及注1 的(ii)知，存在點(diǎn)x0∈T(μ0)，使得則

事實(shí)上，假如（16）式不成立，則存在子列{xnk}?{xn},{ynk}?{yn}，子列{(εnk,λnk,μnk)}?{(εn,λn,μn)}，使得F(xnk,λnk,μnk)?F(ynk,λnk,μnk)+intK+εnke，不失一般性，不妨假如成立F(xn,λn,μn)?F(yn,λn,μn)+intK+εne，于是存在點(diǎn)vn∈F(xn,λn,μn)，使得

據(jù)引理2 知，存在點(diǎn)v0∈F(x0,λ0,μ0)，及子列{vnk}?{vn}，有vnk→v0，不失一般性，設(shè)vn→v0.由（15）式知，存在點(diǎn)u0∈F(y0,λ0,μ0)，使得

再據(jù)引理1 得，存在點(diǎn)un∈F(yn,λn,μn)，使得un→u0.結(jié)合（18）式知，當(dāng)n充分大時(shí)，有vn-un∈intK+εne，這與（17）式矛盾.

（ⅱ）類(lèi)似可證：(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.證畢.

定理2設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似下K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊凸子集

成立，則Sl(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.

證明據(jù)引理4 的（?。┲?，對(duì)Sl(ε0,λ0,μ0)的任何鄰域V0，則V0為的鄰域，據(jù)定理1 知，(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處為上半連續(xù)的，則存在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)的鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0?R+×Λ×Ω，使得

因此，Sl(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.證畢.

據(jù)引理4 的（ⅱ），并結(jié)合注3 的（ⅱ），類(lèi)似定理2 的論證過(guò)程可知：

定理3設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（ⅰ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊凸值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似上K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊凸子集；

成立，則Su(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.

3 問(wèn)題(PSOP)近似解集與弱近似解集的下半連續(xù)性

本節(jié)研究問(wèn)題(PSOP)近似解集與弱近似解集的下半連續(xù).

定義5設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，對(duì)任意的點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω.

（?。┒x集值映射Ql:R+×Λ×Ω×X→2X{?}為

稱(chēng)Ql在R+×Λ×Ω×X上為下水平集值映射.

（ⅱ）定義集值映射Qu:R+×Λ×Ω×X→2X{?}為

稱(chēng)Qu在R+×Λ×Ω×X上為上水平集值映射.

注4據(jù)定義2 與定義5 易見(jiàn)，對(duì)任何的點(diǎn)(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，及x∈T(μ)，有：

（?。㏒l(ε,λ,μ,Ql(ε,λ,μ,x))?Sl(ε,λ,μ,T(μ))；

（ⅱ）Su(ε,λ,μ,Qu(ε,λ,μ,x))?Su(ε,λ,μ,T(μ)).

引理8設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，F(xiàn)(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似下K-凸的且具非空緊值，設(shè)點(diǎn)x0∈Sl(ε0,λ0,μ0)，則Ql(ε0,λ0,μ0,x0)={x0}.

證明易知點(diǎn)x0∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0).

另一方面，假如存在點(diǎn)x1∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0)，滿(mǎn)足x1≠x0，據(jù)集值映射F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似下K-凸的，則對(duì)任何的t∈(0,1)，有

類(lèi)似引理8 的論證過(guò)程，并結(jié)合注1 的(i)，易知：

引理9設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，F(xiàn)(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似上K-凸的且具非空緊凸值，設(shè)點(diǎn)x0∈Su(ε0,λ0,μ0)，則Qu(ε0,λ0,μ0,x0)={x0}.

引理10設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊子集

成立，則：

（?。㏎l(·,·,·,·)在{ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的；

（ⅱ）Qu(·,·,·,·)在{ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的.

證明（ⅰ）假如存在點(diǎn)x0∈T(μ0)，使得Ql(·,·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0,x0)處不是上半連續(xù)的，則存在Ql(ε0,λ0,μ0,x0)的鄰域V0，使得對(duì)點(diǎn)(ε0,λ0,μ0,x0)的任何鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0×Vx0?R+×Λ×Ω×X，存在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0,x0)∈Vε0×Vλ0×Vμ0×Vx0，使得

據(jù)T(·)在μ0處的上半連續(xù)性，及點(diǎn)ωn∈T(μn)，并結(jié)合引理2 知，存在點(diǎn)ω0∈T(μ0)，及{ωnk}?{ωn}，使得ωnk→ω0，不失一般性，不妨設(shè)ωn→ω0，則必有ω0∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0).

事實(shí)上，對(duì)任何的點(diǎn)z∈F(x0,λ0,μ0)，據(jù)引理1 知，存在點(diǎn)zn∈F(xn,λn,μn)，使得zn→z，據(jù)（26）式知，

據(jù)F(·,·,·)在點(diǎn)(ω0,λ0,μ0)處的上半連續(xù)性及點(diǎn)yn∈F(ωn,λn,μn)，并結(jié)合引理2 知，存在點(diǎn)y0∈F(ω0,λ0,μ0)，及{ynk}?{yn}，滿(mǎn)足ynk→y0，不失一般性，設(shè)yn→y0.據(jù)（28）式，當(dāng)n→∞時(shí)，有

這表明點(diǎn)ω0∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0)，則ωn→ω0∈V0，這與（27）式矛盾，因此，Ql(·,·,·,·)在 {ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的.

（ⅱ）類(lèi)似于對(duì)(i)的論證過(guò)程，易知Qu(·,·,·,·)在{ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的.證畢.

定理4設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似下K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集成立，則：

（ⅰ）Sl(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的；

證明（ⅰ）假若Sl(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的，則存在點(diǎn)x0∈Sl(ε0,λ0，μ0)，以及X中的零點(diǎn)的鄰域V0，使得對(duì)點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)的任何鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0?R+×Λ×Ω，存在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈Vε0×Vλ0×Vμ0，使得

故存在序列{(εn,λn,μn)}?Vε0×Vλ0×Vμ0，滿(mǎn)足(εn,λn,μn)→(ε0,λ0,μ0)，使得

據(jù)引理1 及點(diǎn)x0∈T(μ0)知，存在點(diǎn)xn∈T(μn)，使得xn→x0.結(jié)合引理10 知，Ql(·,·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0,x0)處是上半連續(xù)的，對(duì)Ql(ε0,λ0,μ0,x0)的鄰域Ql(ε0,λ0，μ0,x0)+V0，存在n0∈N，當(dāng)n＞n0時(shí)，有

又由引理8 知，Ql(ε0,λ0,μ0,x0)={x0}，并注意到（30）式，得

故點(diǎn)xn∈Ql(εn,λn,μn,xn)，則Ql(εn,λn,μn,xn)≠?.

可斷言Ql(εn,λn,μn,xn)為閉的.事實(shí)上，設(shè){ωn}?Ql(εn,λn,μn,xn),ωn→ω0，則點(diǎn)ωn∈T(μn)，且

據(jù)T(μn)為閉集知，點(diǎn)ω0∈T(μn)，對(duì)任何的點(diǎn)y∈F(xn,λn,μn)，由（32）式得，存在點(diǎn)yn∈F(ωn,λn,μn)，使得y-yn∈K+εne.再由F(·,·,·)在點(diǎn)(ω0,λ0,μ0)處的上半連續(xù)性及引理2 得，存在點(diǎn)y0∈F(ω0,λ0,μ0)，及{ynk}?{yn}，ynk→y0，不失一般性，不妨設(shè)yn→y0，結(jié)合K的閉性知，

故F(xn,λn,μn)?F(ω0,λ0,μ0)+K+ε0e，這表明點(diǎn)ω0∈Ql(εn,λn,μn,xn)，從而知Ql(εn,λn,μn,xn)為閉集.

注意到T(μn)為閉集及Ql(εn,λn,μn,xn)?T(μn)，知Ql(εn,λn,μn,xn)為緊集，再結(jié)合引理6 知，Sl(εn,λn,μn,Ql(εn,λn,μn,xn))≠?.設(shè)點(diǎn)yn∈Sl(εn,λn,μn,Ql(εn,λn，μn,xn))，由（31）式及注4 的(i)知，

這與（29）式矛盾，故Sl(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的.

由引理4 的(ⅱ)，引理7，引理9，引理10，結(jié)合注3 的(ii)和注4 的(ii)，類(lèi)似定理4 的論證過(guò)程可知：

定理5設(shè)F:X×Λ×Ω→2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊凸值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似上K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集

成立，則：

（?。㏒u(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的；

（ⅱ）(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的.

據(jù)定理1 的(i)，定理2 及定理4 知：

定理6設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似下K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集

成立，則：

（ⅰ）Sl(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是連續(xù)的；

由定理1 的(ii)，定理3 及定理5 知：

定理7設(shè)F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊凸值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴(yán)格近似上K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點(diǎn) μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集成立，則：

（?。㏒u(·,·,·)在點(diǎn)(ε0,λ0,μ0)處是連續(xù)的；

4 結(jié)語(yǔ)

在賦范線(xiàn)性空間中研究了含參集值優(yōu)化問(wèn)題近似解集和弱近似解集的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性.

（?。┮牒瑓⒓祪?yōu)化問(wèn)題近似解與弱近似解的概念，給出近似解與弱近似解的基本性質(zhì)關(guān)系.

（ⅱ）在目標(biāo)函數(shù)映射具有廣義錐凸性，借助水平映射技巧，建立了含參集值優(yōu)化問(wèn)題近似解集與弱近似解集的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性的充分性定理.

（ⅲ）沿用本文研究含參集值優(yōu)化問(wèn)題近似解集與弱近似解集半連續(xù)的基本思想，結(jié)合改進(jìn)集的概念及性質(zhì)，可進(jìn)一步討論基于改進(jìn)集的參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題近似解集與弱近似解集映射的Berge 連續(xù)性、Hausdorff 連續(xù)性等，且研究成果可為探索參數(shù)集值優(yōu)化問(wèn)題各類(lèi)解的H?lder 連續(xù)性、Lipschitz 連續(xù)性、緊閉性、連通性、適定性及算法設(shè)計(jì)等提供理論借鑒.