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        一道解析幾何定點(diǎn)問題的多解與簡(jiǎn)單推廣

        2022-08-01 10:39:16
        數(shù)理化解題研究 2022年19期

        唐 洵

        (福建省福清第三中學(xué) 350000)

        1 題目呈現(xiàn)

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)若直線AD與直線BP交于點(diǎn)M,直線DP與x軸交于點(diǎn)N,求證:直線MN恒過某定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

        2 解法探究

        2.1 第(1)問解析

        2.2 第(2)問解析

        求解第(2)問之前先作出輔助圖形如圖1,然后可以使用線參法、點(diǎn)參法、參數(shù)方程法、二次曲線系、仿射變換、極點(diǎn)極線的結(jié)論來(lái)求解該定點(diǎn)坐標(biāo).

        圖1

        解法1(線參法)設(shè)直線BP的方程為

        直線DP的方程為

        所以直線BP與直線AD的交點(diǎn)為

        將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線BP的方程

        y=k1(x-2),

        整理,得

        (1+2k2)(1-2k2)=-2k1(1+2k2)2.

        即(1+2k2)(1-2k2+2k1+4k1k2)=0.

        因?yàn)?+2k2≠0,

        故1-2k2+2k1+4k1k2=0.

        由點(diǎn)M,N坐標(biāo)可得直線MN的方程為

        所以直線MN過定點(diǎn)(2,1).

        解法2 (點(diǎn)參法)易知直線AD的方程為

        設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0≠0),直線BP的方程為

        直線MN的斜率

        代入上式可得:

        故直線MN的方程為

        所以直線MN過定點(diǎn)(2,1).

        故直線BP的方程為

        聯(lián)立①②,解得

        則直線MN的方程為

        化簡(jiǎn),得2y-x+sinθ(x-2y)+2cosθ(1-y)=0.

        所以直線MN過定點(diǎn)(2,1).

        解法4(二次曲線系)易知直線AD的方程為x-2y+2=0,直線ND的方程為kx-y+1=0,直線BM的方程為x-my-2=0,直線AB的方程為y=0.

        比較xy,y的系數(shù)可得

        m+2+λk=0,4-2m-λ=0.

        即m(x-4y+2)+2(x-2)=0.

        所以直線MN過定點(diǎn)(2,1).

        則橢圓C變?yōu)閱挝粓AO:x2+y2=1.

        記O,A,B,D,P,M經(jīng)過變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為O′,A′,B′,D′,P′,M′,如圖2所示,過點(diǎn)D′作平行于x軸的直線D′E′交直線M′N′于點(diǎn)E′.

        圖2

        又∠D′N′B′+∠B′D′N′=∠D′N′B′+∠B′A′P′

        =∠D′A′P′+∠B′A′P′,

        于是∠D′N′B′=∠D′B′P′.

        則△B′D′M′∽∠N′O′D′.

        故D′E′=O′D′=1.

        即直線M′N′過定點(diǎn)E′(1,1).

        故直線MN過定點(diǎn)(2,1).

        解法6(極點(diǎn)極線結(jié)論)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0≠0),記直線AP,BD的交點(diǎn)為E.

        由于直線MN為極點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的極線,

        故直線MN的方程為

        解得x=2,y=1.

        故直線MN過定點(diǎn)(2,1).

        3 結(jié)論推廣

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