董 強(qiáng)

(陜西省西安市第八十五中學(xué) 710061)

北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第二章《解三角形》章末復(fù)習(xí)題二B組有一道證明等邊三角形的試題(第65頁(yè)第2題)，題目是在正方形中有一點(diǎn)，使得其到正方形兩頂點(diǎn)連線與正方形一邊均成15°角，來(lái)證明該點(diǎn)與正方形其他兩頂點(diǎn)連線與正方形另一邊形成正三角形.

1 試題呈現(xiàn)

試題如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且∠PBC=∠PCB=15°.

圖1 圖2

求證：△PAD是等邊三角形.

2 證法探究

分析考慮到正方形和正三角形的對(duì)稱性，可以建立平面直角坐標(biāo)系通過(guò)兩點(diǎn)間距離相等證明，或用正余弦定理證明三邊相等，或通過(guò)作輔助線利用三角函數(shù)證明三個(gè)角均為60°，或通過(guò)再構(gòu)造等邊三角形利用平面幾何知識(shí)證明原三角形三內(nèi)角相等，或通過(guò)設(shè)點(diǎn)或構(gòu)造圓找點(diǎn)構(gòu)造等邊三角形，利用同一法證明等.

思路1證明三邊相等.

證法1(建系設(shè)點(diǎn))如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)|AB|=2，則

C(2,0)，A(0,2)，D(2,2).

因?yàn)椤螾BC=∠PCB=15°，

所以△PAD是等邊三角形.

證法2(正余弦定理)設(shè)|AB|=2，|PB|=x，|PA|=y，在△PBC中，由正弦定理，得

在△PAB中，∠PBA=75°，由余弦定理,得

y2=x2+4-4xcos75°

所以|PA|=2.同理|PD|=2.

所以|PA|=|PD|=|AD|=2.

所以△PAD是等邊三角形.

評(píng)析證法1和證法2的思路均為證明三角形的三邊相等，證法1通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將點(diǎn)坐標(biāo)化，則三角形三邊長(zhǎng)度相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離相等問(wèn)題，利用兩點(diǎn)間的距離公式或者向量的模長(zhǎng)即可以求解，證法2將邊長(zhǎng)問(wèn)題利用正余弦定理進(jìn)行解決，從而證得了三角形的三邊相等.這兩種方法是學(xué)生最容易想到也是比較簡(jiǎn)單的證法.

思路2證明三個(gè)角相等均為60°.

證法3 (利用三角函數(shù))如圖3，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)BC=2，過(guò)點(diǎn)P作BC和AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，因?yàn)椤螾BC=∠PCB=15°，所以PB=PC，∠ABP=∠DCP=75°.

圖3

又BA=CD，所以△BPA≌△CPD.

所以PA=PD.

于是點(diǎn)G，H分別是BC，AD的中點(diǎn)，且BG=AH=1.

所以∠PAH=60°.

所以△PAD是等邊三角形.

評(píng)析證法3通過(guò)三角形中的邊角關(guān)系，先證明了兩個(gè)三角形的全等，得到了一組對(duì)應(yīng)邊的相等，即證得了目標(biāo)三角形是等腰三角形，接著通過(guò)正切值證明了三角形的一個(gè)角是60°，從而說(shuō)明待證三角形是有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形——即等邊三角形.

思路3構(gòu)造等邊三角形.

證法4(平面幾何知識(shí))如圖4，在正方形ABCD外取一點(diǎn)F，使得△FBC為等邊三角形，連接PF，因?yàn)椤螾BC=∠PCB=15°，所以BP=CP，∠ABP=75°，∠FBP=15°+60°=75°.

圖4

又BA=BC=BF，BP=BP，

所以△ABP≌△FBP.

所以∠BAP=∠BFP.

又BF=CF，PF為公共邊，

所以△BPF≌△CPF.

所以∠BAP=∠BFP=30°.

所以∠PAD=60°.

同理∠PDA=60°.所以∠APD=60°.

所以△PAD是等邊三角形.

證法5(平面幾何知識(shí))如圖5，以PB為一邊在正方形ABCD內(nèi)作等邊△BPQ，連接QD,QC.

圖5

因?yàn)椤螾BC=∠PCB=15°，

所以∠QBC=60°+15°=75°，∠PBA=75°.

又BA=BC，所以△BPA≌△BQC(SAS).

所以PA=QC.

又∠BPC=150°，∠BPQ=60°，

所以∠QPC=150°.

所以△BPC≌△QPC(SAS).

所以QC=BC.

所以PA=BC=AD.

又△ABP≌△DCP(SAS)，

所以PA=PD.

所以PA=PD=AD.

所以△PAD是等邊三角形.

評(píng)析證法4和證法5都是通過(guò)構(gòu)造等邊三角形，利用相關(guān)條件證明三角形的全等，證法4求得了目標(biāo)三角形內(nèi)角的余角，從而證得了三角形的三個(gè)內(nèi)角都為60°，即說(shuō)明三角形是等邊三角形，證法5利用三角形的全等證得了相應(yīng)邊的相等，利用三角形三邊相等證明了目標(biāo)三角形是等邊三角形.

思路4構(gòu)造圓.

證法6(同一法)如圖6，分別以點(diǎn)A,D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓相交于點(diǎn)R，則△ADR是等邊三角形.

圖6

所以∠RAD=60°，∠RAB=30°.

延長(zhǎng)RA交圓A于點(diǎn)M，連接MB，MD，則由AB=AM，得∠BMA=15°.因?yàn)锽C是圓A的切線，所以∠CBR=∠BMA=15°.

同理可證，∠BCR=15°.

又∠PBC=∠PCB=15°，所以點(diǎn)R與點(diǎn)P重合，故△PAD是等邊三角形.

證法7(同一法)設(shè)P0是正方形ABCD內(nèi)使得△ADP0為等邊三角形的一點(diǎn)，則∠P0AD=∠P0DA=∠AP0D=60°，P0A=P0D=AD=AB=DC.

所以∠BAP0=∠CDP0=30°，∠ABP0=∠AP0B=∠DCP0=∠DP0C=75°.

故∠P0BC=∠P0CB=15°.

而∠PBC=∠PCB=15°，由點(diǎn)P的唯一性可知，點(diǎn)P0與點(diǎn)P是同一個(gè)點(diǎn)，所以△PAD是等邊三角形.

評(píng)析證法6利用圓的性質(zhì)給出了找到正方形內(nèi)使得目標(biāo)三角形為等邊三角形的點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，正方形內(nèi)有這樣的四個(gè)點(diǎn)，其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)與正方形四個(gè)頂點(diǎn)中距這兩點(diǎn)最近的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形是一個(gè)小正方形.證法7對(duì)證法6的過(guò)程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將理論中存在的點(diǎn)設(shè)出來(lái)，利用同一性證明了等邊三角形.