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        對兩道圓錐曲線問題的探究

        2022-08-01 10:38:12高繼浩
        數理化解題研究 2022年19期
        關鍵詞:拋物線探究

        高繼浩

        (四川省名山中學 625100)

        1 問題呈現

        (1)求橢圓C的方程;

        題2F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點F且斜率為k的直線l與拋物線交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線交x軸于點M,且|PQ|=6,則|MF|=____.

        題1是北京市昌平區(qū)于2021年1月進行的高三期末質量抽測第20題,題2是山東省德州市于2021年1月進行的高三期末統(tǒng)一測試第16題,兩題高度相似,它們有沒有相同的本質?

        2 問題解答

        題1(2)解析設A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程y=k(x-1)與橢圓方程聯(lián)立,消去y,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

        則Δ=144(1+k2)>0,且

        (1)若k=0,則|AB|=4,|DF|=1.

        (2)若k≠0,則線段AB的垂直平分線方程為

        題2解析設P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線l的方程y=k(x-1)與拋物線方程聯(lián)立,消去y,得

        k2x2-(4+2k2)x+k2=0.

        即k2=2.

        故線段PQ的垂直平分線方程為

        3 問題推廣

        下證命題2,命題1和命題3同理可證,略.

        證明設A(x1,y1),B(x2,y2),雙曲線的半焦距為c,直線AB的方程為y=k(x-c),聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程,消去y得

        (b2-a2k2)x2+2a2ck2x-a2(b2+c2k2)=0.

        (1)若k=0,則|AB|=2a,|EF|=c.

        由以上命題及圓錐曲線的對稱性,我們可得如下統(tǒng)一結論.

        4 變式探究

        在上述結果中,隨著直線傾斜角的變化,線段EF的長度在發(fā)生變化,它們之間存在怎樣的關系?

        只證命題5,命題4和命題6同理可證.

        證明設A(x1,y1),B(x2,y2),雙曲線的半焦距為c,直線AB的方程為y=k(x-c).

        (1)若k=0,則|EF|=c.

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