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        2020年全國高考Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題的解法與變式拓展

        2022-08-01 10:37:56李文東
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:韋達(dá)定點(diǎn)橢圓

        李文東

        (廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

        2020年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題以直線和橢圓為背景,考查圓錐曲線的基本知識(shí)和直線過定點(diǎn)問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)推理等核心素養(yǎng),是一道難得的好題,值得我們細(xì)細(xì)研究,下面我們給出本題的幾種典型的解法,并從不同角度給出了一些拓展.

        1 題目呈現(xiàn)

        圖1

        (1)求E的方程;

        (2)證明:直線CD過定點(diǎn).

        2 題目解析

        2.1 第(1)問解析

        所以a2=9.

        2.2 第(2)問解析

        證法1 設(shè)P(6,y0),則直線AP的方程為

        聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程得

        所以直線CD的方程為

        評(píng)注用點(diǎn)P(6,y0)的坐標(biāo)表示C,D的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線CD的方程,此解法的優(yōu)點(diǎn)是思路自然,但缺點(diǎn)也很明顯,就是運(yùn)算量較大.

        (m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

        策略1合理運(yùn)用韋達(dá)定理.

        策略2恰當(dāng)消元,減少變量個(gè)數(shù).

        策略3合理利用曲線方程簡化運(yùn)算.

        代入,得

        在此變換下直線x=6變?yōu)閤′=2,點(diǎn)A,B變?yōu)锳′(-1,0),B′(1,0).

        圖2

        則tan∠P′B′x=tan∠A′B′D′=tan∠A′C′D′=3tan∠C′A′B′.

        評(píng)注通過仿射變換化橢圓為圓來處理,然后利用圓的幾何性質(zhì)順利解決問題,想法很巧妙,計(jì)算量很小,值得我們學(xué)習(xí).除了以上幾種解法外,本題還可以利用曲線系的方法求解,限于中學(xué)教學(xué)實(shí)際,這里我們就不細(xì)說.

        3 問題拓展

        從橢圓和直線的角度來看,本題可以拓展如下:

        (a2+m2b2)y2+2mnb2y+(n2-a2)b2=0.

        于是n=t,直線CD過定點(diǎn)(t,0).

        如圖3,用幾何畫板演示其結(jié)果是正確的,其本質(zhì)是圓錐曲線中的極點(diǎn)和極線問題,但是用初等數(shù)學(xué)證明很困難.在雙曲線和拋物線中也有類似的結(jié)論,這里不再贅述.

        圖3

        從斜率的角度考慮,本題也可以拓展如下:

        (36k2+4)x2-108k2x+81k2-36=0.

        =3.

        從逆命題的角度,我們可以得到如下問題:

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)過點(diǎn)M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P,Q(異于頂點(diǎn)),記橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1,A2,若直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S,證明:點(diǎn)S恒在直線y=4上.

        (2)由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,P(x1,y1),Q(x2,y2).

        結(jié)合目標(biāo),消去x,得

        (y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2).

        將韋達(dá)定理代入,得

        從而y=4,即點(diǎn)S恒在直線y=4上.

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