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        例談利用基本函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解題

        2022-08-01 10:37:46巨小鵬
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)思路解題

        巨小鵬

        (陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

        根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì),我們不難得出如下運(yùn)算性質(zhì):

        f(x)=kx:f(x+y)=f(x)+f(y);

        f(x)=sinx和g(x)=cosx:f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y);

        為此,構(gòu)造基本函數(shù)解題,特別是選擇填空題,以節(jié)省時間,快速高效,所以平時理解基本函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)至關(guān)重要,構(gòu)造函數(shù)思想意識也值得重視.

        1 構(gòu)造指數(shù)型函數(shù)

        例1若f(x)滿足對任意的實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)f(b)且f(1)=2,則下列判斷正確的有( ).

        A.f(x)是奇函數(shù)

        B.f(x)在定義域上單調(diào)遞增

        C.當(dāng)x∈(0,+∞)時,函數(shù)f(x)>1

        思路1 令a=0,b=1,則

        f(1)=f(1+0)=f(1)f(0).

        即2=2f(0).

        所以f(0)=1,f(x)不可能是奇函數(shù),A錯;

        對于任意x∈R,f(x)≠0,若存在x0∈R,使得f(x0)=0,則f(0)=f[x0+(-x0)]=f(x0)f(-x0)=0,與f(0)=1矛盾,故對于任意x∈R,f(x)≠0.

        所以對于任意x∈R,

        因?yàn)閒(1)=2>1,所以對任意正整數(shù)n,

        同理f(n)=f(1+1+…+1)=f(1)f(1)…f(1)=2n>1,

        對任意正無理數(shù)q,可看作是某個有理數(shù)列p1,p2,p3,…的極限,而f(pi)>1,i∈N,所以f(q)是f(pi)的極限,所以f(q)>1,綜上對所有正實(shí)數(shù)x,有f(x)>1,C正確.

        設(shè)x10.

        所以f(x2-x1)>1.

        則f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1)>f(x1).

        所以f(x)在定義域上單調(diào)遞增,B正確.

        思路2 滿足條件的函數(shù)有f(x)=2x.則A不對,BC正確.已知f(2n)=f(2n-1+1)=f(2n-1)f(1)=2f(2n-1),

        D正確.

        評注構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型f(x)=2x,將抽象函數(shù)的解析式顯現(xiàn),與函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)系起來,特別是對于客觀題的處理,大大降低了對題判斷的難度.

        例2已知函數(shù)f(x)>0,且對定義域上的任意x,y有f(x+y)=f(x)·f(y),當(dāng)x>0時,f(x)>1,則( ).

        所以x∈R時,f(x)>0.

        任取x1

        因?yàn)閤1

        因?yàn)閤<0時,f(x)<1,

        所以f(x1-x2)-1<0.

        所以f(x1)-f(x2)<0.

        所以f(x1)

        所以f(x)是定義域上的增函數(shù).

        思路2 由題意取函數(shù)f(x)=2x在R上單調(diào)遞增.

        評注利用函數(shù)的單調(diào)性解題,首先需要判斷函數(shù)單調(diào)性,判斷的過程就顯得尤為重要.構(gòu)造滿足題意的函數(shù)f(x)=2x,于是單調(diào)性的問題就迎刃而解.

        2 構(gòu)造對數(shù)型函數(shù)

        思路1 與自然數(shù)n有關(guān)的命題,會想到數(shù)學(xué)歸納法,此法不在此贅述.

        3 構(gòu)造三角函數(shù)

        思路1 令x=y=1,可得2f(1)f(0)=f(1)+f(1)=2f(1).

        所以f(0)=1.

        令x=2,y=0,

        可得2f2(1)=f(2)+f(0).

        令x=3,y=1,

        可得2f(2)f(1)=f(3)+f(1).

        所以f(3)=-1.

        令x=4,y=0,

        可得2f2(2)=f(4)+f(0).

        令x=5,y=1,

        可得2f(3)f(2)=f(5)+f(1).

        令x=6,y=0,

        可得2f2(3)=f(6)+f(0).

        所以f(6)=1.

        故函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù).

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