李昌成
(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)
題目已知曲線f(x)=lnx+2x與曲線g(x)=a(x2+x)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).
A.(-∞,0) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(0,1)
此題是2022年一輪復(fù)習(xí)測試卷中的選擇題的壓軸題,通過仔細(xì)分析,筆者發(fā)現(xiàn)有幾種不同的方法來解決此題:可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題來解決;可以聯(lián)立方程組,轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,再運(yùn)用合適的方法化歸與轉(zhuǎn)化來解決;基于兩個(gè)函數(shù)有公共點(diǎn),利用隔離直線,借助于凸凹翻轉(zhuǎn)和數(shù)形結(jié)合來解決;也可以聯(lián)立后,部分變形,化曲為直,借助臨界的切線作為工具來解決.以下具體來探討和展示求解過程,并進(jìn)行類題的歸納和整合.
視角1 利用函數(shù)零點(diǎn)求解.
解法1記h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x),則問題轉(zhuǎn)化為h(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn).
求導(dǎo),得
因?yàn)閤>0,當(dāng)a≤0時(shí),h′(x)<0.
所以函數(shù)h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)單調(diào)遞減,至多只有一個(gè)零點(diǎn),不滿足題意.
評注此處直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題求解,此時(shí)需要對字母參數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出原函數(shù)的增減,求出相應(yīng)的最值,最后得出不等式求出結(jié)果,基本上就是一道解答題的運(yùn)算量,作為選擇題,有些得不償失.
視角2 分離變量作答.
解法2 根據(jù)題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),兩曲線y=f(x)與y=g(x)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn),則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.
由x>0可知x2+x>0.
問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
由h′(x)>0,得0 由h′(x)<0,得x>1. 所以y=h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減. 所以h(x)≤h(1)=1. 又x→0+時(shí),h(x)→-∞; x→+∞時(shí),h(x)→0且h(x)>0. 若使直線y=a與y=h(x)有兩個(gè)交點(diǎn),則需要0 評注此解法利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程根的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,建立等式關(guān)系,接著進(jìn)行變量分離,轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),通過對y=h(x)求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性,作出函數(shù)的準(zhǔn)確圖象,然后上下移動參數(shù)的值,看直線與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可. 視角3 利用兩曲線相切的臨界值求解. 解法3 由已知條件易知f(x)=lnx+2x為上凸函數(shù),欲使曲線f(x)與g(x)有兩個(gè)公共點(diǎn),則必有a>0. 所以g(x)=a(x2+x)為開口向上的二次函數(shù),且為下凸函數(shù). 不妨設(shè)兩函數(shù)切于點(diǎn)P(x0,y0),分別求導(dǎo),得 ① ② 代入①整理,得 所以lnx0+x0=1.解得x0=1.所以a=1.