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        利用導(dǎo)數(shù)多視角研究一道壓軸題

        2022-08-01 10:37:42李昌成
        數(shù)理化解題研究 2022年19期

        李昌成

        (新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

        1 試題呈現(xiàn)

        題目已知曲線f(x)=lnx+2x與曲線g(x)=a(x2+x)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

        A.(-∞,0) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(0,1)

        2總體分析

        此題是2022年一輪復(fù)習(xí)測試卷中的選擇題的壓軸題,通過仔細(xì)分析,筆者發(fā)現(xiàn)有幾種不同的方法來解決此題:可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題來解決;可以聯(lián)立方程組,轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,再運(yùn)用合適的方法化歸與轉(zhuǎn)化來解決;基于兩個(gè)函數(shù)有公共點(diǎn),利用隔離直線,借助于凸凹翻轉(zhuǎn)和數(shù)形結(jié)合來解決;也可以聯(lián)立后,部分變形,化曲為直,借助臨界的切線作為工具來解決.以下具體來探討和展示求解過程,并進(jìn)行類題的歸納和整合.

        3 試題解答

        視角1 利用函數(shù)零點(diǎn)求解.

        解法1記h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x),則問題轉(zhuǎn)化為h(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn).

        求導(dǎo),得

        因?yàn)閤>0,當(dāng)a≤0時(shí),h′(x)<0.

        所以函數(shù)h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)單調(diào)遞減,至多只有一個(gè)零點(diǎn),不滿足題意.

        評注此處直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題求解,此時(shí)需要對字母參數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出原函數(shù)的增減,求出相應(yīng)的最值,最后得出不等式求出結(jié)果,基本上就是一道解答題的運(yùn)算量,作為選擇題,有些得不償失.

        視角2 分離變量作答.

        解法2 根據(jù)題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),兩曲線y=f(x)與y=g(x)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn),則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

        由x>0可知x2+x>0.

        問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

        由h′(x)>0,得0

        由h′(x)<0,得x>1.

        所以y=h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

        所以h(x)≤h(1)=1.

        又x→0+時(shí),h(x)→-∞;

        x→+∞時(shí),h(x)→0且h(x)>0.

        若使直線y=a與y=h(x)有兩個(gè)交點(diǎn),則需要0

        評注此解法利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程根的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,建立等式關(guān)系,接著進(jìn)行變量分離,轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),通過對y=h(x)求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性,作出函數(shù)的準(zhǔn)確圖象,然后上下移動參數(shù)的值,看直線與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

        視角3 利用兩曲線相切的臨界值求解.

        解法3 由已知條件易知f(x)=lnx+2x為上凸函數(shù),欲使曲線f(x)與g(x)有兩個(gè)公共點(diǎn),則必有a>0.

        所以g(x)=a(x2+x)為開口向上的二次函數(shù),且為下凸函數(shù).

        不妨設(shè)兩函數(shù)切于點(diǎn)P(x0,y0),分別求導(dǎo),得

        代入①整理,得

        所以lnx0+x0=1.解得x0=1.所以a=1.

        所以0

        評注解決兩曲線的交點(diǎn)問題,可以采用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)函數(shù)的圖象或者趨勢圖象,找出符合題意的條件即可.因此,用導(dǎo)數(shù)的幾何意義找出臨界的公切線,同時(shí)確定a的臨界值,再結(jié)合圖象得出參數(shù)的取值范圍,這種方法用來解決導(dǎo)數(shù)壓軸小題還是行之有效的.

        視角4 利用化曲為直思想求解.

        解法4由解法2,兩曲線f(x)與g(x)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn),則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,且x>0.

        所以lnx+2x=ax(x+1).

        所以切線方程為

        而直線y=a(x+1)-2恒過點(diǎn)(-1,-2),

        化簡,整理得

        -(2x0+1)(x0-1)=(2x0+1)lnx0.

        又x0>0,所以lnx0=-x0+1.

        所以0

        視角5去偽存真排除干擾.

        解法5 令h(x)=lnx+2x-a(x2+x),則h(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

        當(dāng)a=1時(shí),h(x)=lnx+x-x2,

        令h′(x)>0,得0

        令h′(x)<0,得x>1.

        則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

        所以h(x)max=h(1)=0,只有一個(gè)零點(diǎn),與已知矛盾,故a≠1,排除B,D.

        當(dāng)a=-1時(shí),h(x)=lnx+3x+x2,

        所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而h(x)>h(0)=0,無零點(diǎn),與已知條件矛盾,故a≠-1,排除C,故選A.

        4 解后反思

        近幾年,兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題、函數(shù)的零點(diǎn)問題在選擇題、填空題以及解答題中都出現(xiàn)過,該問題主要考查函數(shù)與方程的關(guān)系,要求學(xué)生能夠用分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想來解決問題.對于復(fù)雜的非初等函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性等來處理,問題就不難解決了.因此,學(xué)好導(dǎo)數(shù)對我們更好地理解函數(shù)有積極作用.

        當(dāng)然,解題中的不同思想和策略需要學(xué)生逐漸領(lǐng)悟,高考復(fù)習(xí)的終極目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會獨(dú)立解題.因此,對于經(jīng)典試題,教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考,尋求多種解法.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),發(fā)展創(chuàng)造性思維.

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