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        巧建坐標(biāo)系探討高考數(shù)學(xué)題中空間角的求解技巧

        2022-08-01 08:46:10陳國(guó)華
        數(shù)理化解題研究 2022年19期

        石 巧 陳國(guó)華

        (湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 417000)

        1 求異面直線所形成的角

        在求異面直線所成角θ時(shí)(θ∈(0°,90°]),首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出兩直線的方向向量,最后代入公式求出余弦值,因?yàn)棣葹殇J角,所以選正值即可.

        例1(2015年全國(guó)Ⅰ卷理科第18題)如圖1,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

        圖1 圖2

        解析由∠ABC=120°,四邊形ABCD為菱形,

        所以AC⊥BD.

        如圖2,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BG,CG為x軸,y軸.設(shè)|BG|=1,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.

        小結(jié)向量法是純代數(shù)運(yùn)算,避免了繁瑣的推理論證,已成為求解立體幾何問題的主要方法.但是特別要注意的是直線與直線所成角為銳角,所以最后結(jié)果要取正值.

        2 求直線與平面所成的角

        求直線與平面所成角θ(θ∈[0°,90°])與求直線與直線所成角大抵相同,在建立空間直角坐標(biāo)系后,求出直線的方向向量與平面的法向量,再代入公式求出題目中的相關(guān)問題.

        例2(2020年全國(guó)Ⅱ卷理科第20題)如圖3,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上的一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

        圖3 圖4

        連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形.

        3 求平面與平面所成角即二面角

        求二面角時(shí)先建立空間直角坐標(biāo)系,再求出題目里需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得兩個(gè)所求平面的法向量,最后利用公式求出二面角的余弦值.

        例3(2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第18題)如圖5,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

        圖5 圖6

        分析首先找到垂直于底面的一條線作為z軸,我們可以找到等腰△PAD,所以可以以三角形的高作為z軸,從而建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出平面與平面的法向量,將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為向量的夾角,向量法求二面角的大小,是當(dāng)前解這類題型的主要方法.

        解析在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.

        由題知,AB⊥平面PAD.故AB⊥PF.

        可得PF⊥平面ABCD.

        設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,

        設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,

        可取m=(1,0,1),則

        小結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角時(shí)要將二面角的大小轉(zhuǎn)化成兩個(gè)半平面的法向量的夾角.如果兩個(gè)半平面的法向量所指的方向當(dāng)中,一個(gè)指向了二面角的外部,另一個(gè)指向二面角的內(nèi)部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角.如果兩個(gè)半平面的法向量所指的方向均指向二面角的內(nèi)部或者外部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角,最重要的是,用平面的法向量求解二面角的大小時(shí)要先確定兩個(gè)半平面的法向量,然后再根據(jù)法向量的方向確定二面角的大小.

        本文通過對(duì)空間角??嫉娜齻€(gè)方面進(jìn)行了分析,主要介紹了如何建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)求解這些問題,以及求解這類問題時(shí)的一般步驟和求解技巧.探討了高考題中這類問題應(yīng)該如何思考,在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)三維坐標(biāo)應(yīng)該如何選取才能使計(jì)算得到最簡(jiǎn)單化,計(jì)算出來(lái)的結(jié)果應(yīng)該注意哪些方面尤其是二面角,要注意觀察.

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