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        含參函數(shù)中隱零點(diǎn)問(wèn)題的幾種代換策略

        2022-08-01 10:39:36王利之
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:王利實(shí)數(shù)零點(diǎn)

        王利之

        (江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225000)

        1 問(wèn)題提出

        本文的研究對(duì)象為含參函數(shù),何為含參函數(shù)?含有參數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題是:對(duì)于函數(shù)f(x,a),其中a為參數(shù),導(dǎo)函數(shù)f′(x,a)=0的根存在,卻無(wú)法求出,設(shè)其根為x0,則由f′(x0,a)=0得出x0與a的關(guān)系.下面,我們?cè)囍鴱膸椎李}目中探究不同的代換策略.

        2 探究策略,鏈接高考

        2.1 直接代換

        例1(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷理21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        下面對(duì)a分類(lèi)討論,分為三種情況.

        所以當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),f(x)

        所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        又g′(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,所以函數(shù)g(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=1,即f(x)≥1.

        即f′(x)單調(diào)遞增.

        所以f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna.

        綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).

        2.2 轉(zhuǎn)換主元代換

        例2(2015年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷文科)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

        (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

        2.3 變形代換

        例3已知函數(shù)f(x)=x(ex+1-a).

        (1)若a=2,求f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值;

        (2)若f(x)-lnx≥1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解析(1)a=2時(shí)f(x)最小值為0,證明略;

        2.4 構(gòu)造代換

        例4已知函數(shù)f(x)=xe3x,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,f(x)-lnx≥(a+2)x+1恒成立,求a的取值范圍.

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