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        高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

        2022-08-01 10:38:38權(quán)正清
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:定值矩形橢圓

        權(quán)正清

        (貴州省桐梓縣蟠龍高級(jí)中學(xué) 563200)

        圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),相關(guān)習(xí)題解題的靈活性較大.教學(xué)中為幫助學(xué)生樹立解題自信,使其認(rèn)識(shí)到運(yùn)用參數(shù)方程解題的便利,應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題的篩選與講解,為學(xué)生展示圓錐曲線參數(shù)方程在不同問題中的應(yīng)用,促進(jìn)學(xué)生解題能力的進(jìn)一步提升.

        1 用于解答極限問題

        習(xí)題以橢圓、極限為背景出題,情境較為新穎.解題時(shí)如采用常規(guī)做法難以求解出x,y的值,而運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),問題就迎刃而解.解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用橢圓參數(shù)方程正確表示出“x+y”的最大值.

        所以其參數(shù)方程為

        2 用于求解取值范圍

        例2從一塊短軸長(zhǎng)為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形,其面積的取值范圍為[3b2,4b2],則這一橢圓離心率e的取值范圍為( ).

        該題目給出的已知條件較少,具有一定的技巧.使用常規(guī)做法難以有效破題.考慮到題干中矩形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上,結(jié)合橢圓的參數(shù)方程,運(yùn)用其中一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示出矩形的面積,結(jié)合已知條件以及橢圓的定義,運(yùn)用不等式知識(shí)不難推理出正確結(jié)果.

        易得橢圓內(nèi)接矩形的長(zhǎng)、寬分別為2acosθ,2bsinθ,則其面積S=4abcosθsinθ=2absin2θ≤2ab.

        又因?yàn)?b2≤2ab≤4b2,所以3b≤2a≤4b.

        平方得到9b2≤4a2≤16b2.

        在橢圓中b2=a2-c2,所以

        9(a2-c2)≤4a2≤16(a2-c2).

        所以5a2≤9c2且12a2≥16c2.

        3 用于求解最值問題

        A.7 B.8 C.9 D.10

        習(xí)題融合圓、橢圓、向量、最值等知識(shí),較為綜合.使用常規(guī)思路得出正確結(jié)果的難度較大.要求解的問題涉及到向量,因此,可運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程,表示出向量的坐標(biāo),運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加以突破.

        由圓M,N的參數(shù)方程以及題意可知,A(1+cosα,sinα),B(1-cosα,-sinα),C(-1+cosβ,sinβ),D(-1-cosβ,-sinβ).

        4 用于探究定值問題

        該習(xí)題是橢圓、圓、直線的綜合類題目,采用常規(guī)做法雖然能夠求解出最終的定值,但計(jì)算較為繁瑣,并不可取.運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程,表示出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合已知條件,便可很快求出S△MON的定值.

        所以cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2=0.

        所以cos(θ1-θ2)=0.

        |sin(θ1-θ2)|=1.

        5 用于求解參數(shù)的值

        該題考查的知識(shí)點(diǎn)較多,既有參數(shù)方程又有極坐標(biāo)方程.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)遇到與曲線最大或最小距離問題時(shí)運(yùn)用圓錐曲線參數(shù)方程,可獲得意想不到的解題效果,因此,該題可使用圓錐曲線參數(shù)方程進(jìn)行解答.

        若m-2>0,則m-2=4,即m=6;

        教學(xué)中應(yīng)注重圓錐曲線參數(shù)方程知識(shí)講解,要求學(xué)生采用對(duì)比記憶法牢記不同圓錐曲線的參數(shù)方程,明確曲線方程中相關(guān)參數(shù)表示的含義.同時(shí),優(yōu)選精講典型例題,使學(xué)生掌握運(yùn)用圓錐曲線參數(shù)方程解題的思路,尤其要求學(xué)生做好聽課的總結(jié)以及學(xué)習(xí)心得的分享,更好地把握相關(guān)應(yīng)用細(xì)節(jié),不斷提高解題水平.

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