孫利民，狄方殿，陳 林，鄒易清

(1. 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 橋梁工程系，上海 200092；2. 同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；3. 上海期智研究院，上海 200092；4. 柳州歐維姆機(jī)械股份有限公司，廣西，柳州 545006)

自20 世紀(jì)80 年代以來(lái)，斜拉橋的跨徑不斷刷新記錄，斜拉索的長(zhǎng)度也隨之增加。斜拉索的振動(dòng)是此類橋極為棘手的問(wèn)題，隨著拉索長(zhǎng)度的增加，該問(wèn)題在設(shè)計(jì)和運(yùn)營(yíng)中變的更為突出。對(duì)于拉索不同類型的振動(dòng)，目前工程中采用了多種控制措施，包括空氣動(dòng)力措施、阻尼器及輔助索等方法[1-5]。相比于其他措施，拉索上安裝阻尼器仍然是目前最常用的方法。

對(duì)于拉索阻尼器減振系統(tǒng)的研究，最早可以追溯至Carne[6]和Kovacs[7]，他們的研究都是基于張緊弦理論，關(guān)注拉索在近錨端安裝阻尼器時(shí)系統(tǒng)的一階模態(tài)阻尼比。Carne 發(fā)展了一種近似的分析方法，并得到了與阻尼器阻尼系數(shù)和安裝位置相關(guān)的拉索一階模態(tài)阻尼比計(jì)算公式；Kovacs 則根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)首次提出粘滯阻尼器阻尼系數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，給出了一階最優(yōu)阻尼系數(shù)。Yoneda 和Maeda[8]結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)，近似得到了阻尼器安裝在近錨點(diǎn)時(shí)的拉索一階模態(tài)阻尼比。Uno 等[9]引入無(wú)量綱化分析方法，方便了阻尼器的設(shè)計(jì)計(jì)算。Pacheco 等[10]采用Galerkin 方法計(jì)算得到了線性粘滯阻尼器的設(shè)計(jì)通用曲線，并簡(jiǎn)單分析了垂度的影響。Mehrabi 和Tabatabai[11-12]提出有限差分法，推導(dǎo)出了考慮拉索垂度和抗彎剛度后拉索振動(dòng)的無(wú)量綱微分方程，研究結(jié)果表明拉索的垂度主要對(duì)拉索一階模態(tài)阻尼比有明顯影響，抗彎剛度對(duì)索獲得的模態(tài)阻尼比有較大影響。Xu 等[13-16]提出一種混合方法，考慮拉索的平面內(nèi)、外振動(dòng)，研究了拉索的垂度、傾角、阻尼器剛度和安裝位置對(duì)各階模態(tài)阻尼比的影響。Krenk[17-18]給出拉索粘滯阻尼器的完整復(fù)模態(tài)分析方法。推導(dǎo)出阻尼器近錨固端安裝條件下模態(tài)阻尼比的近似解析表達(dá)式。同時(shí)，Krenk 和Nielsen[19]也推導(dǎo)出有垂度拉索近端安裝阻尼器阻尼比的近似解析表達(dá)式。Main 和Jones[20-22]重點(diǎn)針對(duì)拉索安裝阻尼器后頻率的變化進(jìn)行了分析。在阻尼器安裝在靠近拉索錨固點(diǎn)時(shí)，得到了與Krenk 一樣的模態(tài)阻尼比近似解析式，并討論了當(dāng)阻尼器安裝在拉索任一位置時(shí)超越方程的復(fù)特征值解的特點(diǎn)。

經(jīng)過(guò)30 多年的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于拉索-阻尼器系統(tǒng)的研究不斷深入，在分析模型的精細(xì)化[23]和系統(tǒng)頻率、阻尼及響應(yīng)計(jì)算方法方面均有重要改進(jìn)。然而拉索阻尼器減振依然面臨兩個(gè)問(wèn)題：① 位置限制，即阻尼器只能安裝在拉索錨固端附近，而實(shí)際拉索所獲得的最大阻尼比與安裝距離成正比，因此，對(duì)于超長(zhǎng)拉索來(lái)說(shuō)，阻尼器安裝位置的限制也勢(shì)必造成拉索獲得的阻尼不足；② 頻率敏感性，雖然說(shuō)阻尼器是一種廣譜性的減振裝置，但是使拉索某一階振動(dòng)獲得最優(yōu)模態(tài)阻尼的阻尼器阻尼系數(shù)，對(duì)于其他模態(tài)卻不能達(dá)到最優(yōu)。實(shí)際工程中通常是針對(duì)拉索的前幾階振動(dòng)設(shè)計(jì)阻尼器參數(shù)，因此，對(duì)于拉索的高階振動(dòng)難以控制。隨著拉索的增長(zhǎng)，上述問(wèn)題更為突出。因此，近年來(lái)學(xué)者更加關(guān)注負(fù)剛度阻尼器、拉索附加轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼器、拉索安裝雙阻尼器等，以求提高阻尼器的減振效果。Krenk 和Hogsberg 等[17]發(fā)現(xiàn)當(dāng)相應(yīng)的阻尼器參數(shù)使其產(chǎn)生相位超前的控制力時(shí)，也即在阻尼器位置引入了負(fù)剛度，阻尼器的效果顯著增大；此外，考慮阻尼器位置的附加質(zhì)量時(shí)，阻尼器的效果同樣增大，類似的是因?yàn)楦郊拥募匈|(zhì)量相當(dāng)于減小了拉索在此位置的剛度。傳統(tǒng)振動(dòng)控制中，負(fù)剛度效果需要通過(guò)主動(dòng)或者半主動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)。近年來(lái)，一些被動(dòng)負(fù)剛度、慣質(zhì)裝置陸續(xù)出現(xiàn)，在土木工程領(lǐng)域首先應(yīng)用于建筑物的減隔震中[24]。Chen 等[25]以及Zhou等[26]建立了拉索附加負(fù)剛度阻尼器模型，并進(jìn)行了理論分析。Chen 等[27]考慮拉索抗彎剛度研究了在索上單點(diǎn)同時(shí)安裝橫向和抗轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼器以提升阻尼效果。

阻尼器由于安裝高度的限制，隨著拉索長(zhǎng)度的增加，單點(diǎn)安裝阻尼器抑制拉索振動(dòng)越來(lái)越顯不足。拉索上兩處安裝阻尼器(拉索-雙阻尼器系統(tǒng))有望彌補(bǔ)上述不足，且拉索同時(shí)安裝外置阻尼器和內(nèi)置阻尼器在工程中已有應(yīng)用。Caracoglia 等[28]及Hoang 等[29]對(duì)拉索安裝雙阻尼器系統(tǒng)進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明拉索安裝雙阻尼器后模態(tài)阻尼比是單阻尼器的兩倍。國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者也對(duì)拉索安裝不同類型的雙阻尼器系統(tǒng)進(jìn)行了研究[30]。上述研究的拉索模型均是基于張緊弦理論，對(duì)于超長(zhǎng)拉索垂度影響是不容忽略的，為此，本文建立了有垂度拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)模型，并推導(dǎo)出端部安裝雙阻尼器的拉索模態(tài)阻尼比近似解析式(雙阻尼器安裝在拉索兩端、雙阻尼器安裝在拉索同一端)。分別分析了兩端安裝和一端安裝雙阻尼器后拉索的振動(dòng)特性，研究雙阻尼器參數(shù)關(guān)系對(duì)拉索模態(tài)阻尼的影響，對(duì)阻尼器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究成果可以為超長(zhǎng)拉索雙阻尼器設(shè)計(jì)提供計(jì)算方法及阻尼器參數(shù)設(shè)置依據(jù)。

1 拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)的復(fù)特征頻率方程

有垂度拉索-雙阻尼器系統(tǒng)如圖1 所示?？紤]一水平放置的拉索，其弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，水平張力為H，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，軸向剛度為EA。拉索的抗彎剛度忽略不計(jì)。為了方便描述拉索的靜位移和動(dòng)位移，建立了如圖1 所示的坐標(biāo)系。拉索兩錨固點(diǎn)連接方向假設(shè)為x軸 ，y(x)和v(x,t)分別表示拉索的靜位移和相對(duì)靜位移的動(dòng)位移。

圖1 有垂度拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)Fig. 1 A shallow cable with two viscous dampers

對(duì)于土木工程領(lǐng)域常用的中小垂度拉索，其靜止?fàn)顟B(tài)形狀可以假定為拋物線函數(shù)[32]：

式中：f為拉索跨中垂度； g為重力加速度。

拉索被阻尼器分為3 個(gè)索段單元。為表示的方便，連接點(diǎn)用Pp編號(hào)，P0和P3分別表示拉索的左、右錨固點(diǎn)，兩個(gè)粘滯阻尼器分別安裝在P1和P2兩點(diǎn)。lp為第p個(gè)拉索單元的長(zhǎng)度(Pp-1和Pp點(diǎn)間距離)。定義各單元的局部坐標(biāo)系，vp(xp,t)為第p個(gè)拉索單元在t時(shí)刻的豎向動(dòng)位移，水平xp軸由Pp-1沿著索弦線指向Pp點(diǎn)。拉索振動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)隨時(shí)間變化的附加水平張力h(t)，忽略拉索自身阻尼。各拉索單元的振動(dòng)方程可以寫成如下的形式：

拉索振動(dòng)中其在附加水平張力h作用下發(fā)生彈性變形。假定索伸長(zhǎng)后，拉索微元由初始長(zhǎng)度ds變 為 ds′，沿索弦線的張力增量為h(ds/dx)。根據(jù)索的彈性關(guān)系可以得到下式：

其中，最后一項(xiàng)表示拉索上某點(diǎn)從初始位置(x,y) 變化為 (x+u,y+v)。

考慮拉索在錨固點(diǎn)的邊界條件，式(3)乘(ds/dx)2并在索跨長(zhǎng)內(nèi)積分可以得到：

僅考慮索平面內(nèi)的自由振動(dòng)時(shí)，式(2)的解通常具有以下形式：

式中：ω為復(fù)頻率；；為振型函數(shù)；為拉索附加水平張力幅值。將式(5)代入式(2)，可以得到：

化簡(jiǎn)式(4)得到：

各拉索單元左、右端的豎向振動(dòng)分別用νp-1(t)和νp(t) 表 示，對(duì)于自由振動(dòng)有νp-1(t)=exp(iωt)和νp(t)=exp(iωt) 。因此，可以由下式得出：

注意到：

其中 θ為拉索傾斜角度。

式(10)乘以 ( βL)3可以得到：

根據(jù)拉索附加阻尼器位置內(nèi)力平衡條件，進(jìn)一步可得：

式中，cp為第p個(gè)阻尼器的阻尼系數(shù)。

最后，由式(11)和式(13)可得如下3 個(gè)方程：

將式(14)寫成矩陣的形式，得到：

式中：

拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)的復(fù)頻率特征方程由式(15)系數(shù)矩陣的行列式等于0，得到：

式中：

2 拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)方程求解

考慮阻尼器安裝于索近錨固端，可以求解索附加模態(tài)阻尼比的近似解析解。本節(jié)考慮雙阻尼器分別安裝在拉索的兩端和安裝在同一端兩種情況。

2.1 近似對(duì)稱振型

2.1.1 阻尼器兩端布置

式(16)可以寫成如下的形式[32-33]：

利用三角函數(shù)變化，并考慮l1和l3遠(yuǎn)小于L，式(17)可以簡(jiǎn)化為：

式(18)等號(hào)左邊可寫成如下形式：

將式(19)代入式(18)，并對(duì)式(18)中三角函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)取一階小量，式(18)可以寫成如下形式：

式(22)為近似對(duì)稱振型下拉索在兩端安裝粘滯阻尼器時(shí)系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式。該公式 包 含κ、ρ、ε 及 垂 度 相 關(guān) 參 數(shù)λ2。當(dāng) ε=0 時(shí)，式(22)變?yōu)橛写苟壤靼惭b單個(gè)阻尼器時(shí)的模態(tài)阻尼比計(jì)算公式[19]。

2.1.2 阻尼器同端布置

兩個(gè)阻尼器相鄰安裝，即l1和l2遠(yuǎn)小于L。以阻尼器1 為參照，令 ρ=l2/l1。可以得到：

式(24)為近似對(duì)稱振型下拉索在一端安裝粘滯阻尼器時(shí)，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式。該公 式 包 含κ、ρ、ε及λ2。當(dāng) ε=0 時(shí)，式(24)變 為有垂度拉索安裝單個(gè)阻尼器時(shí)的模態(tài)阻尼比計(jì)算公式。

2.1.3 最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比

1)兩端安裝阻尼器

式(22)對(duì)κ求導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0，可得到最優(yōu)值。

① 當(dāng) ε=0時(shí)，表示拉索安裝單個(gè)阻尼器。此時(shí)最優(yōu)阻尼器參數(shù)κopt=1，對(duì)應(yīng)最優(yōu)阻尼為：

2)同端安裝阻尼器

式(24)對(duì)κ求導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0。

2.2 近似反對(duì)稱振型

2.2.1 阻尼器兩端布置

為了便于推導(dǎo)，將式(16)寫成如下的形式：

式(26)等號(hào)左邊可以近似為 ΔβnL/2?？紤]到l1和l3遠(yuǎn)小于L，對(duì)三角函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)并取一階小量，式(26)可以寫成如下形式：

為了分析方便，以阻尼器1(l1≠0、ξ1≠0)為參照，令 ρ=l3/l1。則式(27)可以寫成如下形式：

對(duì)應(yīng)拉索模態(tài)阻尼比為：

式(29)為近似反對(duì)稱振型下拉索在兩端布置粘滯阻尼器時(shí)系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式，該公 式 僅 包 含3 個(gè) 參 數(shù)，即κ、ρ、ε 。 當(dāng) ε=0 時(shí)，式(29)即為拉索安裝單個(gè)粘滯阻尼器時(shí)的模態(tài)阻尼比計(jì)算公式[10]；對(duì)于無(wú)垂度拉索，式(29)則為任意振型下拉索安裝雙阻尼器后模態(tài)阻尼比的計(jì)算公式[28-29]。

2.2.2 阻尼器同端布置

兩個(gè)阻尼器相鄰安裝，即l1和l2遠(yuǎn)小于L。阻尼器1 為參照，令 ρ =l2/l1。可以得到：

式(30)為近似反對(duì)稱振型下拉索在一端安裝雙粘滯阻尼器時(shí)，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式，該公式也只包含κ、ρ、ε 三 個(gè)參數(shù)。當(dāng) ε=0時(shí)，式(30)退變?yōu)槔靼惭b單個(gè)粘滯阻尼器時(shí)的模態(tài)阻尼比計(jì)算公式；對(duì)于無(wú)垂度拉索，式(30)則為任意振型下拉索一端安裝雙阻尼器時(shí)模態(tài)阻尼比的解析表達(dá)式[29]。

2.2.3 最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比

1) 兩端安裝阻尼器

式(29)對(duì)κ求導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0，則可得到最優(yōu)阻尼器參數(shù)及對(duì)應(yīng)的附加阻尼比。

① 當(dāng) ε=0時(shí)，表示拉索安裝單個(gè)阻尼器。此時(shí)κopt=1 ， ζn,opt(l1/L)-1=0.5，與文獻(xiàn)[5]結(jié)果相吻合。

② 當(dāng) ρ=1、ε=1時(shí)，表示2 個(gè)參數(shù)相同的阻尼器在拉索兩端對(duì)稱安裝。此時(shí)，κopt=1，ζn,opt(l1/L)-1=1。這種情況下，拉索所獲得的最大模態(tài)阻尼比是對(duì)應(yīng)安裝單個(gè)阻尼器的2 倍。

③ 當(dāng) ρε=1,κopt=1 ， ζn,opt(l1/L)-1=(1+ρ)/2。由于 0≤ρ≤1 ，所以該情況下 ζn,opt(l1/L)-1最大值為1，即為②中所述的情況。當(dāng) ρ不斷減小時(shí)，即阻尼器2 的安裝距離不斷減小， ζn,opt(l1/L)-1值也不斷減小，當(dāng) ρ減小到0 時(shí)，即為①中所述情況。

2) 同端安裝阻尼器

式(30)對(duì)κ求 導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0。

① 當(dāng) ε=0時(shí)，表示拉索安裝單個(gè)阻尼器。此時(shí)κopt=1 ， ζn,opt(l1/L)-1=0.5。

② 當(dāng) ρ=0、ε=1時(shí)，表示2 個(gè)相同參數(shù)的阻尼器安裝在近索端同一位置，此時(shí)κopt=0.5，ζn,opt(l1/L)-1=0.5。這時(shí)拉索所獲得的最大模態(tài)阻尼比與同位置處安裝一個(gè)對(duì)應(yīng)參數(shù)的阻尼器相同。可見(jiàn)，在拉索端部同一位置安裝雙阻尼器并不能提高拉索的模態(tài)阻尼比，只是減少了阻尼器的尺寸。

3 拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)參數(shù)分析

3.1 近似反對(duì)稱振型

為了驗(yàn)證近似解的正確性，選取典型工況與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，數(shù)值解采用幅角原理(APM)方法[27]求得。后續(xù)近似解也進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，不再特別說(shuō)明。

由式(22)可知，對(duì)于拉索近似對(duì)稱振型的振動(dòng)，垂度為一個(gè)影響因素。分析垂度的影響，計(jì)算得到圖2。

圖2 不同 λ2 時(shí)系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線( l 1/L=0.02)Fig. 2 Damping curves for l 1/L=0.02 and varied values ofλ2

圖2 給出不同的λ2下拉索一階、三階近似對(duì)稱振型振動(dòng)模態(tài)阻尼比曲線。由圖2 可知，垂度對(duì)于模態(tài)阻尼比有較大的影響。當(dāng)λ2=(n+1)2π2時(shí)出現(xiàn)“頻率交叉”，此時(shí)阻尼器失效，文獻(xiàn)[19]對(duì)這種現(xiàn)象做了詳細(xì)的解釋。拉索安裝雙阻尼器與安裝單阻尼器規(guī)律是一致的，對(duì)于一階、三階近似對(duì)稱振動(dòng)模態(tài)，λ2分別為40、160 時(shí)系統(tǒng)模態(tài)阻尼比幾乎為0，當(dāng)λ2偏離這個(gè)值時(shí)，阻尼器效果將會(huì)提高。

分析λ2對(duì)拉索模態(tài)阻尼比的影響，圖3 給出了拉索前5 階模態(tài)下λ2與最大模態(tài)阻尼比的關(guān)系曲線。由圖3 可知，垂度僅對(duì)拉索近似對(duì)稱振型的最優(yōu)模態(tài)阻尼比有影響。對(duì)于一階、三階、五階模態(tài)，當(dāng)垂度參數(shù)λ2=(n+1)2π2時(shí)，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比降低到0，偏離這個(gè)值后，λ2增大或減小都會(huì)使模態(tài)阻尼比增大，這與圖2 所得結(jié)論相一致。由圖3 可知垂度僅對(duì)一階振動(dòng)模態(tài)阻尼比影響較大，對(duì)于三階、五階的影響較小。實(shí)際斜拉橋中拉索λ2一般不大于3，迪拜在建云溪塔的最長(zhǎng)拉索，其垂度參數(shù)λ2達(dá)到10 以上[32]。當(dāng)λ2=3時(shí)，垂度造成拉索的一階模態(tài)阻尼比降低至不考慮垂度時(shí)的70%左右，當(dāng)λ2=10時(shí)，降低至35%附近?？梢?jiàn)垂度對(duì)于一階模態(tài)阻尼影響非常顯著。

圖3 前五階模態(tài) λ2與最大模態(tài)阻尼的關(guān)系曲線Fig. 3 Dependence of maximum modal damping on the cable sag

為了研究拉索-雙阻尼器系統(tǒng)近似對(duì)稱振型振動(dòng)下的動(dòng)力特性，對(duì)式(22)進(jìn)行分析。拉索兩端安裝阻尼器時(shí)系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線如圖4 所示。λ2=3時(shí)，圖4(a)給出同參數(shù)雙阻尼器在不同相對(duì)安裝位置時(shí)系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼比變化情況，雙阻尼器安裝位置參數(shù) ρ的取值范圍[0, 1]。圖4(b)給出 ρ=3/4時(shí)兩個(gè)阻尼器阻尼參數(shù)比對(duì)拉索模態(tài)阻尼比的影響情況。

圖4 兩端安裝阻尼器系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼曲線Fig. 4 First modal damping curves of cable equipped with two dampers at the opposite cable ends

由圖4(a)可知，拉索的模態(tài)阻尼比隨著 ρ值的增大而增大。當(dāng) ρ=1 時(shí) ，阻尼比 ζ(l1/L)-1約為ρ=0 時(shí) 的2 倍，即垂度λ2=3時(shí)安裝雙阻尼器較安裝單阻尼器拉索的最大模態(tài)阻尼比提高了1 倍，對(duì)應(yīng)2.1.3 節(jié)，可見(jiàn)安裝雙阻尼器對(duì)拉索減振效果的提高是十分顯著的。圖4(b)給出了 ρ=3/4時(shí)典型工況的系統(tǒng)阻尼曲線，并給出了更多工況下系統(tǒng)阻尼比的最優(yōu)值點(diǎn)(圓點(diǎn)表示)。由分析結(jié)果可知，雙阻尼器阻尼參數(shù)比的變化對(duì)拉索的減振有較大的影響。 ε=0表示拉索安裝單個(gè)阻尼器，ε ＞0 后表示第二個(gè)阻尼器參與減振。隨著 ε值的增大系統(tǒng)所獲得的最大阻尼比先增大后減小，最大模態(tài)阻尼比點(diǎn)逆時(shí)針形成一個(gè)近似閉合的環(huán)。最大阻尼比存在最優(yōu)值，即當(dāng) ε=1/ρ時(shí)，相關(guān)證明已在2.1.3 節(jié)中提及。當(dāng) ε變的無(wú)窮大時(shí)，意味著第二個(gè)阻尼器的阻尼系數(shù)無(wú)窮大，拉索在該位置處“鎖定”，拉索僅是自由長(zhǎng)度的減小，此時(shí)雙阻尼器的減振效果近似于單個(gè)阻尼器。

3.2 近似對(duì)稱振型同端布置

式(24)給出了拉索一端安裝雙阻尼器時(shí)系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼比計(jì)算公式，如圖5 所示。

由圖5(a)可見(jiàn)，拉索在同一位置安裝2 個(gè)同參數(shù)的阻尼器( ρ=0、ε=1)與在該位置安裝一個(gè)對(duì)應(yīng)參數(shù)的阻尼器拉索所能獲得的模態(tài)阻尼比是相同的，κ值約從1 將為0.5。所以，在拉索端部同位置安裝雙阻尼器并不能提高拉索的模態(tài)阻尼比，但可以減小每個(gè)阻尼器的尺寸。該結(jié)論與2.1.3 節(jié)對(duì)應(yīng)一致。

從圖5(a)的分析可知，拉索同一端安裝雙阻尼器對(duì)于共同抑制拉索的某一階振動(dòng)沒(méi)有太大意義。而考慮單個(gè)阻尼器對(duì)拉索高階振動(dòng)控制的不足，討論針對(duì)拉索高階振動(dòng)安裝第二個(gè)阻尼器是有意義的。圖5 進(jìn)一步分析了固定阻尼器2，ρ=1(即l1=l2)，即在阻尼器2 與拉索近端錨固點(diǎn)中間的位置安裝阻尼器1 時(shí)的系統(tǒng)阻尼變化情況。由圖5(b)可知，當(dāng) ε趨于∞時(shí)，意味著阻尼器1 阻尼系數(shù)趨于0，相當(dāng)于在拉索距錨固端l1+l2處安裝單個(gè)阻尼器，此時(shí) ζ(l1/L)-1最大。隨著 ε的減小，即阻尼器1 的阻尼系數(shù)逐漸增大，當(dāng)ε=0時(shí)，阻尼器1 阻尼系數(shù)趨于∞，拉索在阻尼器1 位置處“鎖定”， ζ(l1/L)-1約降低到最大值的1/2。在 ε由大變小的過(guò)程中，最大模態(tài)阻尼(圓點(diǎn)表示)逐漸減小。由此可見(jiàn)，阻尼器1 的安裝對(duì)于阻尼器2 的減振起到了負(fù)作用，并且阻尼器1 的阻尼系數(shù)越大負(fù)作用越明顯，特別是當(dāng)ε ＜1 時(shí) 。當(dāng) ε ＞1時(shí)，即阻尼器1 阻尼系數(shù)小于阻尼器2 的阻尼系數(shù)時(shí)，負(fù)作用較小。

圖5 同一端安裝雙阻尼器系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼曲線Fig. 5 First modal damping curves of cable equipped with two dampers at the same cable end

工程中對(duì)于拉索阻尼器的設(shè)計(jì)，通常是針對(duì)拉索的前幾階振動(dòng)模態(tài)確定阻尼器參數(shù)[33]，無(wú)量綱參數(shù)，則阻尼曲線形式上不再重合在一起。針對(duì)前j階模態(tài)進(jìn)行粘滯阻尼器設(shè)計(jì)，第1 階模態(tài)阻尼曲線與第j階阻尼曲線的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為粘滯阻尼器優(yōu)化阻尼參數(shù)值，如圖6 所示。

圖6 給出了拉索垂度參數(shù)λ2=3，單個(gè)阻尼器安裝在 (l1+l2)/L=0.02時(shí)，針對(duì)拉索前5 階振動(dòng)阻尼器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，此時(shí)阻尼器最優(yōu)阻尼參數(shù)=0.61。為了研究雙阻尼器在考慮多階優(yōu)化時(shí)對(duì)拉索多階減振的效果，在l1/L=0.01的位置處增加一個(gè)同阻尼參數(shù)的粘滯阻尼器，參考圖5(b)分析結(jié)果取=0.2379，分析前10 階拉索模態(tài)阻尼的變化情況，如圖7 所示。

圖6 粘滯阻尼器多模態(tài)設(shè)計(jì)阻尼曲線Fig. 6 Damping ratio curves for design of viscous damper

圖7 安裝單、雙阻尼器減振效果對(duì)比Fig. 7 Comparison of two vibration control strategies

由圖7 可知，粘滯阻尼器設(shè)計(jì)中考慮對(duì)拉索多階控制的優(yōu)化，安裝雙粘滯阻尼器對(duì)于控制較低階振動(dòng)是不利的，與前述分析一致，但是對(duì)高階振動(dòng)的控制卻是有利的。

3.3 近似反對(duì)稱振型兩端布置

圖8 給出了第二階和第四階模態(tài)拉索兩端安裝粘滯阻尼器的阻尼曲線，進(jìn)一步驗(yàn)證了近似解的準(zhǔn)確性。

圖8 系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線Fig. 8 Asymptotic curves

為了研究拉索-雙阻尼器系統(tǒng)近似反對(duì)稱振型振動(dòng)下的動(dòng)力特性，對(duì)式(29)進(jìn)行分析。與圖4相類似，得到了如圖9 所示的阻尼曲線。對(duì)于近似反對(duì)稱振型，由于垂度對(duì)系統(tǒng)阻尼計(jì)算結(jié)果沒(méi)有影響，后續(xù)阻尼曲線適用于任意階近似反對(duì)稱振型。

圖9 基本規(guī)律與圖4 相一致。對(duì)于近似反對(duì)稱振型垂度沒(méi)有影響，最優(yōu)值大小可以由2.2.3 小節(jié)確定。

圖9 兩端安裝阻尼器系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線Fig. 9 Modal damping curves of cable equipped with two dampers at the opposite cable ends

3.4 近似反對(duì)稱振型同端布置

式(30)給出了拉索一端安裝雙阻尼器時(shí)系統(tǒng)模態(tài)阻尼比計(jì)算公式，分析如圖10 所示。圖10所得的結(jié)論與圖5 相一致。

圖10 同一端安裝雙阻尼器模態(tài)阻尼曲線Fig. 10 Modal damping curves of cable equipped with two dampers at the same cable end

4 結(jié)論

本文建立了有垂度拉索-雙阻尼器系統(tǒng)模型，并推導(dǎo)出了在拉索近錨固端兩個(gè)不同位置安裝粘滯阻尼器時(shí)拉索模態(tài)阻尼比的近似解析式，近似公式可以為工程中超長(zhǎng)拉索精確設(shè)計(jì)雙阻尼器提供參考；在此基礎(chǔ)上對(duì)雙阻尼器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，同時(shí)分別研究了拉索兩端安裝和一端安裝雙阻尼器后拉索的振動(dòng)特性，分析阻尼器參數(shù)關(guān)系對(duì)拉索模態(tài)阻尼的影響。研究結(jié)果表明：

(1)垂度僅對(duì)拉索對(duì)稱振型有影響，對(duì)于反對(duì)稱振型沒(méi)有作用，且實(shí)際拉索垂度僅會(huì)對(duì)其一階振動(dòng)有較大影響。

(2)考慮拉索垂度的影響，兩端對(duì)稱安裝阻尼器的阻尼效果約為單側(cè)安裝阻尼器時(shí)的兩倍。

(3)同一端兩處安裝阻尼器不能提高拉索某一階模態(tài)的最大阻尼比，但是對(duì)于同時(shí)抑制拉索高、低階振動(dòng)具有實(shí)際工程意義。