涂 泓

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234;上海市星系和宇宙學(xué)半解析研究重點實驗室 上海 200234)

高中物理開始接觸全電路歐姆定律，由此產(chǎn)生了一類常見題目，即求電源輸出功率達(dá)到極大值時，電源內(nèi)阻和外電路電阻之間的關(guān)系[1～3].電源輸出功率極大值問題是高中物理中的重要考點，既能考查學(xué)生對全電路歐姆定律、電功率等知識的理解，又能考查學(xué)生利用求極值等數(shù)學(xué)方法分析解決問題的能力.

然而，在實際的教學(xué)過程中，由于這類題大多比較相似，即使變形后的計算過程和結(jié)論也比較相似，因此，多加練習(xí)的結(jié)果相當(dāng)于對學(xué)生進(jìn)行重復(fù)訓(xùn)練，以至于大多數(shù)學(xué)生并不通過計算，而是直接記住了“當(dāng)內(nèi)阻等于外電路總電阻時電源輸出功率最大”這個結(jié)論，甚至完全忘記了這個結(jié)論是如何得到的.在這種情況下，這類必做題已經(jīng)失去了其理應(yīng)發(fā)揮的作用.

如何才能打破學(xué)生的這一固定思維呢？其關(guān)鍵在于改變這類題目千題一面的狀態(tài)，設(shè)計一些學(xué)生僅靠熟記二級結(jié)論無能為力的題目.第15屆上海市高三物理競賽中的一道題目提供了一個很好的例子，其外電路是由多個相同的燈泡并聯(lián)而成的，改變燈泡的個數(shù)測得相應(yīng)的電源輸出功率.由于外電路的總電阻不是連續(xù)變化的，因此，采用針對外電阻連續(xù)變化的數(shù)學(xué)方法所求得的電源輸出功率極值，事實上不一定能達(dá)到，這樣學(xué)生就必須從分析電路變化入手.下面我們對這道題做具體分析和拓展.

1 原題及解答

【原題】N個電阻均為R的燈泡并聯(lián)后與電動勢為E，內(nèi)阻為r的電源相連.用不同個數(shù)的燈泡實驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N=5時，這些燈泡消耗的總功率P最大，求內(nèi)阻r的取值范圍.

解答:首先寫出N個燈泡并聯(lián)時電源輸出功率P的表達(dá)式.不難算出，此時電路的總電流為

因此，電源輸出功率

(1)

按題意，并聯(lián)5個燈泡時的輸出功率P5既大于并聯(lián)4個燈泡時的輸出功率P4，也大于并聯(lián)6個燈泡時的輸出功率P6.因此，利用式(1)可得到以下兩個不等式,對于

P5>P4

即

解得

對于

P5>P6

即

解得

綜合以上兩式,可知r的取值范圍為

也就是說，只要電源內(nèi)阻r在此范圍內(nèi)時，改變并聯(lián)燈泡的個數(shù)，都會在5個燈泡時測得電源輸出功率最大.

2 對取值范圍的解析

正確答案只給出了電源內(nèi)阻的可能取值范圍，為什么不能求出其確定值呢？我們可將通過數(shù)學(xué)方法求得的極值與這一范圍作比較，由此分析其中的原理.

為了求電源輸出功率的極值，將式(1)寫成以下形式

(2)

圖1 P-N圖

因此，根據(jù)本題所給條件“當(dāng)N=5時，這些燈泡消耗的總功率P最大”，并不能斷定5個燈泡并聯(lián)時的電源輸出功率就是電路中電源輸出的最大功率，能夠確定的只是P5>P4和P5>P6.由這兩個不等式只能得出電源內(nèi)阻的取值范圍，而不能得出內(nèi)阻的確定值.

3 內(nèi)阻必須在此取值范圍內(nèi)的合理性

電源內(nèi)阻是否必須在以上解出的范圍內(nèi)才能滿足題目的要求呢？我們也可以由圖像來分析這一范圍的合理性.

圖2 3種內(nèi)阻對應(yīng)的P-N圖

我們對這3種電路的詳細(xì)分析如下.

對應(yīng)的P-N圖

對應(yīng)的P-N圖圖3 不同r對應(yīng)的P-N圖

由此可見，只有當(dāng)電源內(nèi)阻在題目解答得出的范圍內(nèi)時，題給條件才能得到滿足，而只有在內(nèi)阻r為該范圍內(nèi)的一個特定值時，電源的實際輸出功率才對應(yīng)數(shù)學(xué)上解得的極值.

4 題目改編及拓展

根據(jù)以上分析可以看出，這道競賽題的主要特點在于，改變了此類題目中常見的外電路電阻連續(xù)變化的情況，通過改變燈泡個數(shù)的方式來改變外電路總電阻，從而將電源輸出功率隨外電路電阻的變化變成了離散函數(shù)，導(dǎo)致通過數(shù)學(xué)方式計算所得的理論極值在實際電路中不一定能實現(xiàn).在這種情況下，學(xué)生死記二級結(jié)論就無效了，從而得以考查學(xué)生是否真正理解了題意并作出了合理的分析.

此題作為競賽題，要求學(xué)生求內(nèi)阻范圍，具有一定的思維量，在常規(guī)教學(xué)中，可對此題稍作改編，求出電源內(nèi)阻的確定值，然后進(jìn)一步拓展，搭建階梯，讓學(xué)生逐步深化理解.由第一部分的題目解析可知，由兩個不等式只能得出電源內(nèi)阻的取值范圍，而不能得出內(nèi)阻的確定值.可以想見，只要有這些功率之間的一個等式(而非不等式)，就不難得到電源內(nèi)阻的確定值了.下文的拓展題將給出一個求電源內(nèi)阻確定值的例子.

【改編題】N個電阻均為R的燈泡并聯(lián)后與電動勢為E,內(nèi)阻為r的電源相連.用不同個數(shù)的燈泡實驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N=4和N=6時，電源輸出功率相同，求電源內(nèi)阻r.

此題解答的前半部分與原題相同，因此利用原題所求得的功率表達(dá)式(1)可得

P4=P6

即

解得

這一改編題比原題難度大大降低，學(xué)生經(jīng)思考后較容易得出正確答案，但同樣杜絕了學(xué)生靠死記“當(dāng)內(nèi)阻等于外電路總電阻時電源輸出功率最大”這個二級結(jié)論直接得到答案.

【題目拓展】在學(xué)生得到了正確答案的基礎(chǔ)上，可做以下兩步拓展：

(1)引導(dǎo)學(xué)生思考改變外電路并聯(lián)燈泡的個數(shù)時，電源輸出功率的變化規(guī)律，使學(xué)生對電源輸出功率P隨并聯(lián)燈泡個數(shù)N的變化產(chǎn)生定性的認(rèn)識，知道在并聯(lián)5個燈泡時，電源輸出功率會測得最大值.

圖4 電源輸出功率與燈泡個數(shù)的關(guān)系曲線

物理教學(xué)和學(xué)習(xí)中，有一些重要的知識點被反復(fù)練習(xí)，其初衷是為了學(xué)生更牢固地掌握這些內(nèi)容，但由于習(xí)題相似度較高，導(dǎo)致學(xué)生有意無意地只記住了結(jié)論而不再關(guān)注其中的物理原理.而在大多數(shù)情況下，這種死記結(jié)論的做法不僅有效，甚至能夠極大地提高解題速度，這就使得情況更加惡化，學(xué)生一遇到這類題目就形成了條件反射，直接給出解答，久而久之完全忘記了求解的過程.因此,反復(fù)操練的結(jié)果使學(xué)生的思維固化，不僅沒有起到鞏固知識的作用，甚至還起到了使學(xué)生不思究竟的反作用.

由此可見，形成這一不良局面的原因，與題目類型死板、解答過程固化不無關(guān)系.因此,增加題目的靈活性和多樣性可成為打破這一僵局的一個關(guān)鍵點.電源輸出功率極大值問題歷來是學(xué)生死記二級結(jié)論的一個重災(zāi)區(qū)，本文所呈現(xiàn)的題目及其拓展在這方面給出了一次嘗試，使得靠死記硬背的結(jié)論不再適用，從而回歸到問題的物理本源.