江蘇 呂朝陽

(作者單位：江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)國際分校)

在電磁感應(yīng)中經(jīng)常會(huì)遇到單根或兩根導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上做切割磁感線運(yùn)動(dòng)的問題，這類問題的實(shí)質(zhì)是其他形式的能量與電能之間相互轉(zhuǎn)化；解決此類問題的思路和策略是從等效電路、力與運(yùn)動(dòng)、功能關(guān)系及動(dòng)量沖量出發(fā)，在分析、推理和綜合的基礎(chǔ)上列出相應(yīng)方程進(jìn)行求解。筆者現(xiàn)對(duì)此類問題進(jìn)行分類探析。

一、電磁感應(yīng)中的單棒模型

1.模型解讀

電磁感應(yīng)中的單導(dǎo)體棒模型是單根導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，然后導(dǎo)體棒在安培力等合力的作用下運(yùn)動(dòng)的典型模型。這類模型涉及電磁學(xué)、力學(xué)等相關(guān)知識(shí)和圖像規(guī)律，主要考查學(xué)生對(duì)法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和功能關(guān)系等物理規(guī)律的理解、掌握與應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生在真實(shí)情境下解決問題的能力。

2.解題思路

在處理此類模型時(shí)，要關(guān)注三條主線：等效電路、力與運(yùn)動(dòng)和功能轉(zhuǎn)化，如圖1所示。

3.單棒模型歸類

(1)單棒與電阻的組合

平行導(dǎo)軌表面光滑、電阻不計(jì)、間距為L，一端連接電阻R。單棒質(zhì)量為m，電阻為r，棒與導(dǎo)軌接觸良好。

表1

【例1】如圖2所示，兩根足夠長的光滑平行直導(dǎo)軌與水平面成θ=37°放置，兩導(dǎo)軌間距L=0.5 m，在導(dǎo)軌間接有阻值為R=0.3 Ω的電阻。一根質(zhì)量m=0.5 kg的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直，金屬桿電阻r=0.2 Ω，整套裝置處于勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向上?，F(xiàn)讓ab棒由靜止釋放，則運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度vm=6 m/s。導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，其他電阻均不計(jì)。(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2)

圖2

(1)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；

(2)當(dāng)ab棒勻速時(shí)，ab棒兩端的電壓Uab；

(3)若ab棒從釋放到速度達(dá)到最大速度vm的過程中，沿導(dǎo)軌下滑的距離x=4 m，求電阻R上產(chǎn)生的熱量Q，通過電阻R的電荷量q；

(4)若ab棒從靜止開始向下做加速度a=1 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)t=6 s時(shí)，作用在金屬棒上沿斜面方向的外力F的大小，外力的瞬時(shí)功率P；

(5)若導(dǎo)軌粗糙，ab棒能在導(dǎo)軌上離最高處豎直距離h=3 m位置靜止，且磁場按B=1+0.5t(T)的規(guī)律變化，求當(dāng)t=2 s時(shí)，ab棒所受的摩擦力大小和方向。

聯(lián)立得B=1 T

(2)當(dāng)ab棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，E=BLv=3 V

(3)若ab棒從靜止釋放到速度達(dá)到最大速度vm的過程中，沿導(dǎo)軌下滑的距離x=4 m，根據(jù)動(dòng)能定理得

則Q=W克安=3 J

(4)若ab棒從靜止開始向下做加速度為a=1 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則

當(dāng)t=6 s時(shí)，v=at=6 m/s2

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv=3 V

根據(jù)牛頓第二定律得F+mgsinθ-F安=ma，則F=0.5 N，方向沿斜面向下

外力的瞬時(shí)功率P=F·v=3 W

以棒為研究對(duì)象，設(shè)摩擦力方向沿導(dǎo)軌向下，根據(jù)平衡條件得f+mgsinθ=F安，則f=-0.5 N，方向沿導(dǎo)軌向上。

【點(diǎn)評(píng)】解題的過程中要緊緊抓住三個(gè)方向，一是通過受力情況及力的變化情況，分析出物體的運(yùn)動(dòng)特征；二是要準(zhǔn)確區(qū)分電源和外電路，并畫出等效電路圖；三是通過做功分析，判斷能量的變化情況，并列出動(dòng)能定理或能量守恒定律的公式進(jìn)行求解。

(2)單棒與電容的組合

平行導(dǎo)軌表面光滑，電阻不計(jì)，間距為L。單棒質(zhì)量為m，電阻不計(jì)。棒與導(dǎo)軌接觸良好。

表2

續(xù)表

【例2】如圖3所示，空間存在方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，有兩條間距為d的足夠長平行直導(dǎo)軌MN、PQ處于同一水平面內(nèi)，左端連接一電容為C的電容器，右端連接阻值為R的電阻。質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌間的摩擦不計(jì)。開關(guān)k1閉合，k2斷開，從t=0時(shí)刻開始，對(duì)導(dǎo)體棒施加一個(gè)大小為F、水平向右的恒力，使導(dǎo)體棒從靜止開始沿導(dǎo)軌方向做加速運(yùn)動(dòng)，此過程中導(dǎo)體棒始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好。除電阻R以外其余部分的電阻均不計(jì)，重力加速度為g。

圖3

(1)求導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)L1時(shí)的速度大?。?/p>

(2)導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)L1時(shí)，斷開k1，閉合k2，若導(dǎo)體棒再向右運(yùn)動(dòng)L2時(shí)，導(dǎo)體棒已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，求勻速運(yùn)動(dòng)的速度和這一過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱。

【解析】(1)設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒速度變化為Δv，則導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變化ΔE=BdΔv

對(duì)導(dǎo)體棒，由牛頓第二定律有F-BId=ma

可以看出，加速度與時(shí)間無關(guān)，說明導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

(2)斷開k1，閉合k2，若F大于安培力，則導(dǎo)體棒先做加速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng)；若F等于安培力，則導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)；若F小于安培力，則導(dǎo)體棒先做減速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)闊o論哪種情況，導(dǎo)體棒最后勻速運(yùn)動(dòng)，所以由平衡條件可得

對(duì)導(dǎo)體棒在該過程中使用動(dòng)能定理，設(shè)克服安培力做功為W，可得

故此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為

【點(diǎn)評(píng)】解決單導(dǎo)體棒與電容器組成的電路問題的思路是，導(dǎo)體棒在外力作用下開始加速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)使電容器充電，從而在回路中產(chǎn)生充電電流，導(dǎo)體棒受到安培力的作用，列出牛頓第二定律和充電電流的表達(dá)式，就可以判斷出導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

二、電磁感應(yīng)中的雙棒模型

1.模型解讀

電磁感應(yīng)中的雙棒模型是兩根導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上切割磁感線，產(chǎn)生了同向或反向的兩個(gè)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，在這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)的共同影響下形成感應(yīng)電流，然后兩根導(dǎo)體棒在外力的作用下運(yùn)動(dòng)的典型模型。這類模型主要考查學(xué)生對(duì)法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系等物理規(guī)律的理解、掌握與應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

2.解題思路

在處理此類模型時(shí)，要關(guān)注四條主線：等效電路、力與運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量沖量和功能關(guān)系線，如圖4所示。

圖4

3.雙棒模型歸類

(1)合外力為零的雙棒系統(tǒng)

平行導(dǎo)軌水平放置，表面光滑，電阻不計(jì)，間距為L；雙棒質(zhì)量均為m，電阻均為r；棒與導(dǎo)軌垂直并接觸良好；勻強(qiáng)磁場B與導(dǎo)軌垂直。

表3

【例3】(多選)如圖5所示，P、Q是兩根固定在水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，間距為L，導(dǎo)軌足夠長且電阻可忽略不計(jì)。圖中EFGH矩形區(qū)域內(nèi)有一方向垂直導(dǎo)軌平面向上、感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。在t=t1時(shí)刻，兩均勻金屬棒a、b分別從磁場邊界EF、GH進(jìn)入磁場，速度大小均為v0；一段時(shí)間后，流經(jīng)a棒的電流為0，此時(shí)t=t2，b棒仍位于磁場區(qū)域內(nèi)。已知金屬棒a、b由相同材料制成，長度均為L，電阻分別為R和2R，a棒的質(zhì)量為m。在運(yùn)動(dòng)過程中兩金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，a、b棒沒有相碰，則

( )

圖5

C.t1～t2時(shí)間內(nèi)，通過a棒橫截面的電荷量是b棒的2倍

【答案】BD

【點(diǎn)評(píng)】針對(duì)電磁感應(yīng)中雙導(dǎo)體棒在水平導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)問題，可根據(jù)兩棒的長度或速度的大小關(guān)系，判斷兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小關(guān)系，再根據(jù)雙棒運(yùn)動(dòng)的速度方向，判斷出這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)的方向關(guān)系，進(jìn)而分析總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，且感應(yīng)電流的方向總是與總電動(dòng)勢(shì)的方向相同；然后根據(jù)雙棒所受安培力大小與方向的變化情況，依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律或動(dòng)量守恒定律分析出雙棒最終的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；在不考慮摩擦和空氣阻力的情況下，根據(jù)能量守恒定律，閉合電路中產(chǎn)生的焦耳熱應(yīng)等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少。

(2)合外力不為零的雙棒系統(tǒng)

足夠長的平行導(dǎo)軌，表面光滑，電阻不計(jì)。棒與導(dǎo)軌垂直且接觸良好。勻強(qiáng)磁場B垂直導(dǎo)軌。

表4

續(xù)表

【例4】如圖6所示，光滑導(dǎo)軌EF、GH等高平行放置，EG間寬度為FH間寬度的3倍，導(dǎo)軌右側(cè)水平且處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，左側(cè)呈弧形升高。ab、cd是質(zhì)量均為m、電阻均為R的金屬棒，現(xiàn)讓ab棒從離水平軌道h高處由靜止下滑，設(shè)導(dǎo)軌足夠長，重力加速度為g。試求：

圖6

(1)ab、cd棒的最終速度；

(2)全過程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱。

【解析】ab棒下滑進(jìn)入磁場后切割磁感線，在abcd電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，ab、cd棒各受不同的安培力作用而分別作變減速、變加速運(yùn)動(dòng)，電路中感應(yīng)電流逐漸減小，當(dāng)感應(yīng)電流為零時(shí)，ab、cd棒不再受安培力作用，各自以不同的速度勻速運(yùn)動(dòng)。

由于ab、cd棒串聯(lián)在同一電路中，任何時(shí)刻流過二者的電流總相等，金屬棒有效長度Lab=3Lcd，故它們所受的安培力大小關(guān)系為Fab=3Fcd②

在安培力作用下，ab、cd棒各自做變速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反，當(dāng)Eab=Ecd時(shí)，電路中感應(yīng)電流I為零，安培力為零，ab、cd棒運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定，此時(shí)有

ab、cd棒受安培力作用，動(dòng)量均發(fā)生變化，由動(dòng)量定理得

FabΔT=m(v-vab) ④

FcdΔT=mvcd⑤

(2)根據(jù)系統(tǒng)的總能量守恒可得

【點(diǎn)評(píng)】雙棒系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)的過程中所受合外力不為零時(shí)，內(nèi)部通過的電流相同，由此可以找到它們所受安培力的大小關(guān)系；再根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程中雙棒切割磁感線所產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的大小及方向關(guān)系，分析出電路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的變化情況，接著推理出感應(yīng)電流和安培力大小的變化情況，最后分析最終的穩(wěn)定狀態(tài)。由于系統(tǒng)所受的合外力不為零，分別列出動(dòng)量定理的方程，即可求解。

三、總結(jié)

本文所歸類總結(jié)的單棒和雙棒模型是比較常見的模型，并沒有也不可能窮其變式，但不管是經(jīng)典題型還是新穎的變式，解決單棒和雙棒模型的基本思路是相同的，即基于能量轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)，從等效電路、力和運(yùn)動(dòng)、功能關(guān)系以及動(dòng)量沖量這四個(gè)方面入手，通過分析、判斷、推理和綜合來解決實(shí)際問題。由于此類題型的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力和素養(yǎng)水平具有良好的考查和評(píng)價(jià)作用。