孫德華，謝 進，秦承武，楊 磊，劉景陽

(西南交通大學機械工程學院，四川成都 610031)

0 引言

由于傳統(tǒng)的線性壓電俘能器工作帶寬非常窄，只有當外界激振頻率與系統(tǒng)固有頻率相近時才能有較好的俘能特性[1]。近年來，非線性壓電俘能器因其具有更寬的工作帶寬、發(fā)電效率更高而受到了廣泛關注[2-3]。

研究表明：利用變勢能函數(shù)結構能有效提高俘能器的性能。文獻[4-5]提出了一種彈性支撐外部磁鐵的結構，使系統(tǒng)在低幅激勵下也能處于雙穩(wěn)振蕩的狀態(tài)；文獻[6]在傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器懸臂梁表面安裝了帶有彈簧的可移動磁鐵，可移動磁鐵與固定磁鐵之間的磁力變化，則能夠?qū)崿F(xiàn)勢能函數(shù)為可變，從而提高了俘能性能；文獻[7]在傳統(tǒng)懸臂梁俘能器的基礎上，將固定端磁鐵端增加了一個機械結構，以使勢能函數(shù)發(fā)生變化；文獻[8-9]提出了在具有末端磁鐵的水平懸臂梁外垂直放置一個有末端磁鐵的柔性豎直梁，通過柔性梁儲存磁勢能，從而實現(xiàn)變勢能函數(shù)的俘能器結構；文獻[10]在傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器的外置磁鐵上附加了一根彈簧，形成了一種新的變勢能函數(shù)俘能器。

然而，目前大多數(shù)文獻研究的變勢能函數(shù)俘能器都只是雙穩(wěn)態(tài)的勢能函數(shù)。近年來有學者提出的多穩(wěn)態(tài)俘能器相較雙穩(wěn)態(tài)俘能器具有更低的勢壘[11-12 ]。因而，在多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中再引入變勢能函數(shù)的機制，則有望進一步提高俘能器的性能。

本文提出通過增加磁鐵數(shù)量形成多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)的壓電俘能器。研究了將增加磁鐵安置在不同位置時，系統(tǒng)的勢能函數(shù)及俘能器的動力學特性和俘能特性，說明了這種新型俘能器具有更加優(yōu)越的性能。

1 多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的結構及其數(shù)學模型

1.1 多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的結構

圖1 多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的結構示意圖

圖1為多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的結構示意圖。長為LP的壓電片粘附在長為L的懸臂梁表面，稱此梁為壓電梁。壓電梁末端固定一塊質(zhì)量為mA的磁鐵A；當系統(tǒng)靜止時，質(zhì)量為mB的磁鐵B位于過磁鐵A的垂線上，與磁鐵A之間的距離用d0表示，磁鐵B通過剛度為K的彈簧與基座相連。本文在此雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的基礎上，增設了固定磁鐵C和D，與磁鐵B水平距離分別用d1和d2表示，垂直方向的距離用c表示。z(t)為系統(tǒng)受到的外部激勵的方向。

1.2 多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的數(shù)學模型

本文中，用w(x,t)和u(x,t)表示梁在x處水平方向和豎直方向上的位移，s(t)表示磁鐵B相對于基座水平方向上的位移。

采用擴展的哈密頓原理推導出壓電系統(tǒng)的動力學方程。擴展哈密頓原理的計算表達式為

(1)

式中：q為壓電梁的廣義位移；s為磁鐵B相對于基座產(chǎn)生沿x軸的位移；t為運動時間；V為壓電片的電壓；L為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；δW為非保守力所做虛功的變分。

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為

L=T-U

(2)

式中：T為系統(tǒng)的動能；U為系統(tǒng)的勢能。

系統(tǒng)的動能包括壓電梁的動能、磁鐵A的動能和磁鐵B的動能，即

(3)

式中：m為懸臂梁單位長度的等效質(zhì)量；mA和mB分別為磁鐵A和磁鐵B的質(zhì)量。

系統(tǒng)的勢能包括梁的應變勢能、彈簧的彈性勢能、壓電片電勢能和磁鐵間的磁勢能，即

(4)

式中：EI為梁的抗彎剛度；K為彈簧的剛度；θ為機電耦合系數(shù)；CP為等效電容；Um為磁鐵間的磁勢能。

根據(jù)磁偶極子模型，多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)的磁勢能為

Um=UmB+UmC+UmD

(5)

式中：UmB、UmC、UmD分別為磁鐵A和磁鐵B、C、D之間的磁勢能，計算公式分別為：

(6)

(7)

(8)

式中：μ0為真空磁導率；mA、mB、mC、mD分別為磁鐵A、B、C、D的磁偶極矩；rAB、rAC、rAD分別為磁塊A到磁鐵B、C、D的方向矢量。

非保守力所做的虛功δW由機械阻尼和電荷輸出組成，可表示為

(9)

式中：c1和c2分別為梁和彈簧的黏性阻尼；Q為流經(jīng)負載R的總電荷。

為了得到系統(tǒng)的離散模型，本文采用了Galekin法[13]對拉格朗日函數(shù)進行離散。假設梁在運動過程中，梁的一階振型起主導作用，壓電梁的縱向位移w(x,t)可表示為

w(x,t)=φ(x)q(t)

(10)

式中：φ(x)和q(t)分別為壓電梁的一階振型函數(shù)和壓電梁的廣義模態(tài)坐標。

根據(jù)梁的邊界條件，振型函數(shù)可以表示為

φ(x)=1-cos(2πx/l)/2

(11)

將式(2)、式(3)、式(4)、式(9)帶入式(1)中，可得到系統(tǒng)的動力學方程為

(12)

式中：k1為壓電梁的等效質(zhì)量；k2為等效阻尼系數(shù)；k3、k6分別為等效線性剛度和等效非線性剛度；k5為梁的非線性耦合項；k7、k8為梁的等效機電耦合系數(shù)。

本文研究的外激勵為簡諧激勵，激勵的表達式為

(13)式中：A為激勵幅值；ωe為激勵頻率。

(14)

(15)

2 多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的勢能函數(shù)及其變化規(guī)律

由式(5)和式(12)可得本文提出的多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的勢能函數(shù)表達式為

(16)

由式(16)可以看出系統(tǒng)的勢能函數(shù)與初始磁鐵間距d0、磁鐵B的位移s、壓電梁的位移q、磁鐵C和D與磁鐵B水平方向上的距離d1和d2等參數(shù)有關。實際上，俘能器非線性磁力的變化是勢能函數(shù)變化的主要原因。在俘能器工作時，磁鐵B的位移s、梁的位移q隨著系統(tǒng)運動而發(fā)生變化，導致磁力的大小發(fā)生變化，從而會使系統(tǒng)勢能函數(shù)曲線發(fā)生變化；而磁鐵C和磁鐵D的增設，使得系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點的數(shù)目發(fā)生變化，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)數(shù)目發(fā)生變化。

圖2為初始磁鐵間距d0=30 mm，磁鐵C和磁鐵D關于磁鐵B對稱，d1=d2=18 mm，系統(tǒng)的勢能函數(shù)隨磁鐵B的位移s及壓電梁的位移q的變化曲面。

圖2 系統(tǒng)勢能函數(shù)的變化規(guī)律

從圖2可以看出：在磁鐵B的位移s從-10 mm增大到+20 mm的變化過程中，系統(tǒng)的勢能函數(shù)由具有2個勢阱的雙穩(wěn)態(tài)變?yōu)榱司哂?個勢阱的三穩(wěn)態(tài)，再變?yōu)橐粋€勢阱的單穩(wěn)態(tài)；同時，勢壘逐漸降低。

為了更加清楚地展示系統(tǒng)穩(wěn)定點的變化，以磁鐵B的位移s為參數(shù)，作出壓電梁的平衡點q0的分岔圖，如圖3所示。

圖3 壓電梁平衡點關于磁鐵B的位移s的分岔圖

從圖3可以看出：系統(tǒng)在s=13.3 mm處有2個對稱的鞍節(jié)分岔SN，在s=-1.1 mm處有一個叉形分岔PF。由此可知：當-5 mm

如果磁鐵C和磁鐵D關于磁鐵B的位置不對稱，那么，壓電梁末端受到非對稱的磁力，勢能函數(shù)也會呈現(xiàn)出非對稱的狀態(tài)[15-17]。以Δd=d1-d2表示磁鐵C和磁鐵D關于磁鐵B的對稱位置關系。若d1+d2保持不變，則意味著磁鐵C和磁鐵D同步地向左或向右移動。在這一條件下，可稱為磁鐵C和磁鐵D的偏置量。

現(xiàn)以d1+d2=36 mm為例，分析磁鐵B的位移s=0時，磁鐵C和磁鐵D的偏置量Δd對壓電梁平衡點的影響。圖4為壓電梁的平衡點q0關于Δd的分岔圖。圖中Δd>0，表明磁鐵C和磁鐵D同步地向右移動。

圖4 壓電梁平衡點關于的分岔圖(s=0)

由圖4可知：當0 mm<Δd<3.11 mm時，系統(tǒng)有3個穩(wěn)定的平衡點和2個不穩(wěn)定的平衡點，系統(tǒng)仍然是三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，但是，與圖3相比較，2個不穩(wěn)定平衡點和中間穩(wěn)定平衡點位置均發(fā)生了變化，而上下兩側所對應的另外2個穩(wěn)定平衡點的位置基本上未發(fā)生變化；當Δd>3.11 mm時，系統(tǒng)有2個穩(wěn)定的平衡點和1個不穩(wěn)定的平衡點，系統(tǒng)變?yōu)殡p穩(wěn)態(tài)狀態(tài)。

圖5為s=0時，勢能函數(shù)隨磁鐵C和磁鐵D的偏置量Δd的變化規(guī)律。

圖5 Δd取不同值時系統(tǒng)勢能函數(shù)的變化規(guī)律(s=0)

由圖5可以直觀地看出：當Δd=0時，勢能函數(shù)曲線為關于q=0的對稱曲線；當Δd>0時，系統(tǒng)勢能函數(shù)曲線關于q=0不再對稱，隨著Δd的增加，左側勢阱的阱深變小，右側勢阱的阱深變大。當Δd=4 mm時，系統(tǒng)左側的勢阱消失，系統(tǒng)將呈現(xiàn)為不對稱的雙穩(wěn)態(tài)，同時，勢阱與勢壘的位置發(fā)生了明顯的變化。

根據(jù)上述分析，可以將Δd=0的俘能器稱為多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器，Δd≠0的俘能器稱為多穩(wěn)態(tài)非對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器。

3 多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器的動力學特性和俘能特性

本節(jié)重點討論增加磁鐵C和磁鐵D前的雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器以及增加磁鐵C和磁鐵D后的多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的動力學特性和俘能特性。

取d0=30 mm，d1=d2=18 mm，c=2 mm，外激勵幅值A=6 m/s2，無量綱激勵頻率ω分別為0.4、0.7、1.0，始值取為[0，0，0，0，0]。在本文后續(xù)的研究中，若未作特別的說明，則均取與此相同的參數(shù)。

3.1 多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器的動力學特性

圖6分別為多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)俘能器和雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器在不同激勵頻率時的相圖。

(a)多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)

(b)雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)圖6 激勵頻率ω取不同值時的系統(tǒng)相圖

對比圖6(a)和圖6(b)可以看出：在低頻率ω=0.4時，多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器在中間勢阱處做小幅阱內(nèi)運動，而雙穩(wěn)態(tài)俘能器則處于大幅周期運動狀態(tài)；當ω=0.7時，2種俘能器均處于混沌運動狀態(tài)，但多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的振子的振動運動幅度明顯大于雙穩(wěn)態(tài)俘能器；當ω=1，多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器處于混沌運動狀態(tài)，而雙穩(wěn)態(tài)俘能器作阱內(nèi)運動。

圖7為2個系統(tǒng)關于激勵頻率ω的分岔圖。由圖7可知：當ω<0.5時，多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)處于阱內(nèi)小幅運動狀態(tài)，其位移響應小于雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)；當ω增大到0.5附近時，多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)出現(xiàn)了阱間大幅周期運動，其位移響應大于雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)；當ω在區(qū)間[0.65 1.2]范圍內(nèi)時，多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)處于阱間混沌運動狀態(tài)，其位移響應明顯大于雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)；當ω>1.2時，多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)處于阱內(nèi)周期運動狀態(tài)，位移響應減小。

旅游危機事件網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)包含多個要素及相互關系，其中，以輿情主體、輿情客體、輿情本體之間基于傳播媒介而產(chǎn)生的互動關系最為顯著，是推動旅游危機事件網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)運行的基本關系。旅游危機事件網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)的主客關系子系統(tǒng)是其最核心的組成部分。除主客關系之外，旅游危機事件網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)內(nèi)部還包含有外圍的組成部分，以及一些次要的系統(tǒng)關系，如圖2。旅游危機事件網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)的主客系統(tǒng)和外圍互動將其內(nèi)部關系結構劃分為主要關系和次要關系。

(a)多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)

(b)雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)圖7 系統(tǒng)關于激勵頻率的分岔圖

總而言之，磁鐵C和D的增加有助于增強系統(tǒng)位移響應，并且使系統(tǒng)在更寬的激勵頻率范圍實現(xiàn)混沌運動。

3.2 多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器的俘能特性

本文以均方根電壓表示俘能器的俘能性能。雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器和多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的均方根電壓-激勵頻率響應曲線如圖8所示。

圖8 多穩(wěn)態(tài)及雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器的頻率響應曲線

從圖8可知：當ω較低時，雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)有較大的輸出電壓。這是由于此時雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)能夠越過勢壘處于大幅周期運動狀態(tài)，而多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)被困于中間勢阱內(nèi)作阱內(nèi)小幅運動。當ω>0.5時，多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)的輸出電壓大于雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)，并且在ω=0.8附近出現(xiàn)較大峰值。這是由于當ω>0.5之后，多穩(wěn)態(tài)對稱變勢能函數(shù)系統(tǒng)的位移響應明顯高于雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)。

鑒于只有在低頻很小的頻率帶寬內(nèi)雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)的俘能性能略優(yōu)于多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)，而在其他激勵頻率下多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)的俘能性能均優(yōu)于雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)，因而可以說，多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)的俘能性能更高。

4 多穩(wěn)態(tài)非對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器的動力學特性和俘能特性

本節(jié)重點研究磁鐵C和磁鐵D的偏置量Δd對壓電俘能器的動力學特性和俘能特性的影響。將Δd=0、1、2、3 mm所對應的系統(tǒng)分別簡稱為系統(tǒng)1、系統(tǒng)2、系統(tǒng)3和系統(tǒng)4。

4.1 多穩(wěn)態(tài)非對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器的動力學特性

圖9為不同外激勵頻率下，系統(tǒng)1、系統(tǒng)2、系統(tǒng)3和系統(tǒng)4的相圖。由圖9(a)可知，當ω=0.4時，系統(tǒng)1被困于中間勢阱內(nèi)做小幅運動，其他系統(tǒng)均能越過勢壘做大幅阱間運動；由圖9(b)可知：當ω=0.7時，系統(tǒng)1和系統(tǒng)4處于混沌運動狀態(tài)，系統(tǒng)2和系統(tǒng)3處于周期運動狀態(tài)；由圖9(c)可知：當ω=1時，4個系統(tǒng)均能夠越過勢壘作阱間運動，4個系統(tǒng)都處于混沌運動狀態(tài)。

總之，磁鐵C和磁鐵D的偏置有利于壓電梁實現(xiàn)阱間的大幅運動。

4.2 多穩(wěn)態(tài)非對稱變勢能函數(shù)壓電俘能器的俘能特性

從以上分析可知：改變磁鐵C和磁鐵D的位置可以提高多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)在低頻率激勵下的俘能性能。

(a)ω=0.4

(b)ω=0.7

(c)ω=1.0圖9 Δd取不同值時，系統(tǒng)的相圖

圖10 不同的多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應曲線

5 結論

本文提出了多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)壓電俘能器。利用擴展的哈密頓原理推導了系統(tǒng)的動力學方程，分析了系統(tǒng)勢能函數(shù)的變化規(guī)律，研究了簡諧激勵下系統(tǒng)的動力學特征和俘能特性。研究表明：

(1)通過增加磁鐵C和磁鐵D，能使俘能器具有多穩(wěn)態(tài)特性；運動磁鐵B的位置s的變化，又使得勢能函數(shù)曲線發(fā)生變化，從而形成了多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)的動力學系統(tǒng)。

(2)磁鐵C和磁鐵D關于磁鐵B對稱安裝時，系統(tǒng)的勢能函數(shù)曲線是對稱的；磁鐵C和磁鐵D關于磁鐵B不對稱安裝時，系統(tǒng)的勢能函數(shù)曲線是非對稱的。

(3)當外激勵頻率比較高時，對稱的多穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)俘能器能夠產(chǎn)生出較通常的雙穩(wěn)態(tài)變勢能函數(shù)壓電俘能器更大的位移響應和均方根電壓響應。

(4)多穩(wěn)態(tài)非對稱變勢能函數(shù)俘能器在低頻的外激勵下也可實現(xiàn)大幅的阱間運動，輸出較高的均方根電壓。