李 燁 張 琳 薛晨琛 楊立杰 李迎博

1.中國運載火箭技術研究院，北京 100076

2.首都航天機械有限公司,北京 100076

0 引言

固體運載器發(fā)動機推力終止的通常方案是在發(fā)動機的頂部安裝幾個反向噴管，接到關機指令后，反向噴管產生向后的推力平衡向前推力，實現總推力為0。而固體運載器總是希望能夠取消其推力終止系統(tǒng)，以增加其結構強度和裝藥量。因為安裝推力終止系統(tǒng)需要在發(fā)動機殼體上開幾個大孔，影響殼體強度的同時也增添了加工的困難。取消推力終止系統(tǒng)后，要研究的問題變?yōu)樵诎l(fā)動機總能量固定的條件下，如何能在推力燃料耗盡時正好達到需求的能量狀態(tài)。

近些年關于運載器能量管理問題研究逐步成為熱點[1-4]，該問題的主要解決方案是通過控制姿態(tài)角與待增速度之間的角度關系來耗散多余能量，傳統(tǒng)方式是六段式姿態(tài)角調整方法，根據飛行任務的能量要求，在制導前確定出所需要調整的最大姿態(tài)角增量，飛行時直接跟蹤設定好的姿態(tài)角梯形曲線。但這種方法屬于開環(huán)方式，所以抗干擾性差，精度較低，且當需要耗散的能量過多時，姿態(tài)角調整過于劇烈。目前閉環(huán)能量管理方式是主要的研究方向，其中最常用的是通用能量管理(GEM)，它簡單、精確、抗干擾性強，但會導致起止點攻角較大[5]。針對該問題，徐衡等針對大氣層外飛行器，提出樣條式能量管理[6](SEM)，得到滿足關機點的速度大小和方向，但該方法使助推末段姿態(tài)角快速變化，且不具備高度約束。張志健等利用開普勒軌道和能量守恒方法提出了滿足高度、傾角約束的耗盡關機閉路制導方法[7]。

上述方法都具備很高的能量管理規(guī)劃精度，但由于計算量較大，都需要提前規(guī)劃好需要的耗散曲線，裝訂到運載器，飛行時再進行跟蹤控制，不具備在線重新規(guī)劃的條件，抗風險能力不足。本文提出一種基于模型預測靜態(tài)規(guī)劃(Model Predictive Static Programming，MPSP)的能量管理規(guī)劃算法，具有較高的計算效率，具備在線應用的潛力。

1 問題描述

本文問題面向多級固體運載器的上面級，該飛行階段已處于大氣層外或大氣密度很小，忽略空氣阻力，可用式(1)進行描述。

(1)

式中v0為初始速度矢量，vf為期望的終端速度矢量，Tf為關機時間，P為發(fā)動機推力矢量，m為運載器質量，g為重力加速度矢量。上式可以理解為通過設計推力矢量函數P(t)，實現式(1)的兩端相等，在空間中描述示意如圖1所示。

圖1 運動模型示意圖

將式(1)轉換為動力學微分方程模型式(2)

(2)

式中，α表示攻角，θ表示彈道傾角。這里將三維空間能量管理約束到了俯仰平面上，選取控制量為攻角α，為保證運載器與載荷的分離安全，要求攻角在關機時處于0°。最終要求的終點約束條件為Yf=[vfθf]T,αf=0。

2 基于MPSP的能量耗散方法

2.1 MPSP基礎算法

模型預測靜態(tài)規(guī)劃的方法是Padhi將模型預測控制(Model Predictive Control，MPC)與近似動態(tài)規(guī)劃(Approximate Dynamic Programming，ADP)結合形成的，近些年在控制領域被廣泛研究[8-12]。MPSP算法最顯著的特點是通過引入一個靜態(tài)拉格朗日算子，將帶有終端約束的最優(yōu)控制問題轉換為一個靜態(tài)優(yōu)化問題，快速得出解析的關于終端誤差的控制量修正量。

這里考慮一般的非線性系統(tǒng)，其表達式可寫為

(3)

其中X∈Rn，U∈Rm，Y∈Rp。其離散化形式可以寫為：

(4)

其中k=1,2,…,N-1表示離散時間步數，N為結束時間的步數。MPSP方法的目標是求解一組控制序列Uk，使最終的輸出YN達到期望值YNd；并通過設定相應指標，使得到的輸出序列滿足控制能量最小的要求。將YN在YNd處展開：

(5)

同時，對式(4)對進行泰勒級數展開并忽略高階項，可得誤差傳播方程為：

(6)

(7)

然后將dXk迭代展開直到k=1得：

dYN=AdX1+B1dU1+B2dU2+…+BN-1dUN-1

(8)

式中系數為

(9)

(10)

狀態(tài)初始誤差dX1=0，則式(8)簡化為

(11)

式(11)中控制敏感矩陣Bk可以通過下面反向遞歸求解的方法計算，即在給定一組Uk后的一次預測過程結束后，由終點狀態(tài)量回溯計算前面的每個離散步驟下的Bk。

(12)

(13)

(14)

對于式(11)中，通常未知變量個數(N-1)遠大于等式方程的個數p，所以解并不唯一，這里需要引入其它約束來構建一個完整的最優(yōu)控制問題，選取如下目標函數：

(15)

(16)

式中λ為拉格朗日乘子，將式(16)代入(11)后，得：

-Aλλ+bλ=dYN

(17)

其中

(18)

假設Aλ非奇異，通過式(17)可以求得λ的表達式為：

(19)

將式(19)代入式(16)得到控制序列修正量關于終端誤差的表達式：

(20)

得到控制序列在時刻k=1,2,…,(N-1)的修正后數值：

(21)

這里要說明的是，上述控制序列更新過程中運用了小誤差量近似的方法，因此這個修正過程需要迭代進行數次后才可求得使YN達到YNd的解。

可以看出，MPSP方法是一種非常有效率的算法，主要表現為：

1)與經典的最優(yōu)控制理論不同，在整個控制量求解過程中只需要提供相應的共態(tài)變量即可；

2)共態(tài)變量的計算只是象征性的，在最終的表達式中已由其他變量代為表示；

3)控制敏感系數陣Bk可以遞歸求解；

4)迭代次數與初值選取關系較大，但當初值選取誤差較小時，可以很快計算出結果，這項特點可以有效應用在在線修正計算上。

2.2 能量管理控制曲線快速計算方法

為實現控制序列的快速計算，將攻角控制量αc設為如下多項式形式：

αc=aMt3+bMt2+cMt+dM

(22)

式中aM,bM,cM和dM為待定參數，根據第2節(jié)的分析，這里代入能量管理起始點和終止點的控制約束條件αc0=αct0,αcf=0，表征控制序列在開始時平滑不發(fā)生階躍，在關機時回到0°；將上述兩個終端條件代入式(22)中，可以求得cM,dM與aM,bM的關系方程：

(23)

dM=αct0

(24)

將(23)、(24)代入(22)，整理得

αc=aMta+bMtb+t*

(25)

其中

(26)

進一步可得到控制量修正表達式：

(27)

其中上標0的變量表示上一輪迭代計算出的控制序列值，將式(27)代入(11)中，整理得到終端狀態(tài)誤差和控制量誤差的關系表達式：

dYN=Oλ-Aλ·aM-Bλ·bM-Cλ

(28)

式中，

(29)

Bk即MPSP基礎算法中的修正量系數，可由式(12)～(14)反向遞歸計算求得；這里建立的系統(tǒng)方程中Y為二維向量，控制量U為一維，所以上式中Oλ，Aλ，Bλ和Cλ均為二維列向量，可以看出式(28)構成的方程與待定參數數量相等，不用再設計最優(yōu)指標匹配未知數的維數，這里直接推導得到控制量的解析表達式為：

(30)

得到參數aM,bM,cM和dM后即完成了一輪計算，實現了由dYN反饋修正攻角指令曲線的目的。將該攻角指令重新代入系統(tǒng)微分方程進行積分計算，判斷dYN是否滿足精度需求，如不滿足則重復上述流程，繼續(xù)修正攻角曲線參數。一次控制曲線的完整計算流程如圖2所示。

圖2 能量管理參數計算流程

使用該方法在線計算時，可以通過當前運動狀態(tài)作為積分求解的初值，并以實際攻角作為控制量αc的初值αc0對αc(t)進行實時求解。耗散曲線參數aM,bM,cM和dM初值可以采用上輪計算的成果，這樣可以極大減少該輪迭代計算的次數。這里給出的耗時曲線在線計算方案如下：

1)發(fā)射前首次計算耗散曲線，并將曲線參數保存并裝訂至飛控程序內；

2)當飛行至能量耗散階段時，利用裝訂的曲線參數作為迭代求解初值，采集實時運動狀態(tài)作為積分初值求解耗散曲線；

3)用在線求解的耗散曲線參數代替裝訂值，用于下一輪的參數修正。

3 仿真分析

設定仿真初始速度為5000m/s，初始攻角αc0為-20°，初始質量為3430kg，燃料秒耗量18.7 kg/s發(fā)動機推力49500N，工作時間100s。發(fā)動機關機時需求速度為7000m/s，彈道傾角為0°。

下面的仿真結果為在線解算的第一次攻角指令計算過程，aM,bM,cM和dM的初值選取為一條連接αc0和0°的直線。第一輪只用了7次迭代計算就完成了αc參數的確定，如表1和圖3所示。圖3中用長虛線表示的直線為初值曲線，紅色實線為最終收斂后的攻角曲線。

圖3 攻角曲線解算過程

表1 迭代過程變化

在仿真過程中， 每10s進行一次在線攻角曲線重解算，以修正建模過程中未考慮的誤差帶來的預測偏差。仿真結果表明，利用上輪修正的曲線參數作為MPSP計算過程的初始化值，可以有效使迭代次數降為1～2次。

本文進一步分析了本方法與其他能量管理方式的異同，與最常用的GEM、SEM進行了對比分析，針對相同的仿真條件，在仿真開始進行的攻角指令解算曲線對比如圖4所示。

圖4 不同方法的攻角曲線

通過對比發(fā)現，這3種方式都具有很高的速度控制精度，可以滿足能量管理的要求。但是GEM采用圓弧軌跡擬合耗散曲線，其不具備末端控制量的約束能力，由圖4可以看出末端攻角高達63°。SEM采用高階曲線擬合耗散曲線，其終端可滿足控制量的約束條件，但每次解算需要求解含有積分表達式的多元方程組，花費計算時間較長。

表2統(tǒng)計了3種方法的首次計算時間和飛行中在線計算的平均耗時。由結果可以看出MPSP方法在未給定初值情況下計算效率與GEM、SEM相差不多，但是在線采用基于較高精度初值的MPSP計算方法大幅度提升了計算效率，使計算周期下降到0.1s量級，具備了在線應用的能力。

表2 解算時間統(tǒng)計

4 結論

針對固體運載器耗盡關機能量管理問題，本文在MPSP框架下建立了一種高效的能量耗散曲線快速確定方法，可有效準確估計攻角控制指令的參數。算法利用了MPSP算法初值誤差小時可迅速收斂的特性，形成了射前離線計算標稱初值，在線依據實時狀態(tài)敏捷修正的在線能量耗盡管理方法。仿真結果表明，本文提出的能量管理方法不僅具備較高的精度，而且計算效率較高，可實現在線能量管理。