周一辰，孫佳輝，王書祥，郝雅靜，劉 鋮

（1. 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室（華北電力大學），河北省保定市 071003；2. 現(xiàn)代電力系統(tǒng)仿真控制與綠色電能新技術(shù)教育部重點實驗室（東北電力大學），吉林省吉林市 132012）

0 引言

受風光強不確定性與波動性影響，光伏、風電等新能源并網(wǎng)顯著增加，導致電力系統(tǒng)源側(cè)不確定程度升高。同時，電動汽車、分布式電源等快速增長，也導致負荷不確定性加強。源荷雙側(cè)多樣化不確定因素加劇了系統(tǒng)運行狀態(tài)的復雜多變性［1］。因此，新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估尤為重要。

目前，電力系統(tǒng)不確定分析廣泛采用的概率分析方法主要有模擬法、解析法和近似法［2-4］等。模擬法采用蒙特卡洛法進行模擬［5］，結(jié)果準確、程序簡單，但是需要大量抽樣，計算速度慢，更適用于算法檢驗。解析法如半不變量法［6］、近似法如點估計法［7］等，均要求輸入變量相互獨立，且僅針對正態(tài)分布隨機變量時的誤差較小，當不確定因素服從非正態(tài)分布時，計算精度變差，應用場景受限。近年來，以隨機響應面方法（stochastic response surface method，SRSM）為代表的多項式混沌展開法研究取得快速發(fā)展。該方法利用正交多項式混沌展開之和表示輸入-輸出關(guān)系，適用于復雜非線性系統(tǒng)。文獻［8］提出一種考慮實際不確定變量概率分布多峰特性的分段SRSM，提高了含非正態(tài)耦合隨機變量的小干擾失穩(wěn)風險評估精度，但是當輸入變量個數(shù)較多時，采樣成本過大易造成“維數(shù)災”問題?，F(xiàn)今新能源裝機容量逐年增長，負荷變化特征日益突出，不確定性對電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響不容忽視，如何準確、快速地評估大規(guī)模新能源、負荷接入的電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險，已成為亟須解決的問題。

近年來，高維模型表達（high-dimensional model representation，HDMR）方法在復雜不確定概率分析中的應用逐漸得到關(guān)注，在解決上述電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險問題上具有一定優(yōu)勢。HDMR 方法是一種描述非線性系統(tǒng)輸入輸出之間映射關(guān)系的分層表達方法［9］。根據(jù)稀疏效應原則［10］，通常物理系統(tǒng)中，只有輸入變量的相對低階相關(guān)性才會對輸出產(chǎn)生較大影響。通過適當忽略對輸出影響較小的高階相關(guān)性，保留對輸出影響較大的低階相關(guān)性，HDMR 方法可以得到高維系統(tǒng)的低階高精度表達，實現(xiàn)減少采樣數(shù)量、提高建模效率的效果［11-12］。移動最小二乘（moving least squares，MLS）方法在最小二乘方法的基礎(chǔ)上引入隨變量“移動”而變化的權(quán)重，提高擬合精度，并使用種類豐富的基函數(shù)向量替換固定多項式，更適用于擬合特征多樣化的復雜函數(shù)關(guān)系。

因此，為解決上述評估中的高效性和準確性難題，本文提出基于HDMR 方法的新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估方法。首先，使用核密度估計法構(gòu)建單變量概率分布模型，使用Pair-Copula 函數(shù)模型構(gòu)建高維相關(guān)變量聯(lián)合分布模型，刻畫變量復雜概率特征。然后，提出基于MLS 方法和HDMR 方法（下文簡稱MLS-HDMR 方法）的新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估方法，通過對非線性耦合相關(guān)性變量的稀疏逼近，降低采樣數(shù)量、提高求解效率。并針對風-光-負荷實際概率分布特征，優(yōu)化了采樣方法并提高了評估準確性。最后，以新能源接入的2 區(qū)域4 機系統(tǒng)和新英格蘭-紐約16 機系統(tǒng)為例進行算例分析，驗證了本文所提方法的準確性和高效性。

1 風-光-負荷隨機性建模

新能源電力系統(tǒng)中風電、光伏和負荷分布范圍廣、數(shù)量多、隨機性強且存在多樣化的復雜相關(guān)性，為準確評估新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險，需對變量的隨機性和相關(guān)性進行精準建模。本章首先分析了風-光-負荷隨機分布特征，然后基于R 藤Pair-Copula 函數(shù)模型建立風-光-負荷多變量耦合相關(guān)模型。

1.1 風-光-負荷隨機分布特征分析

1）概率分布特征

傳統(tǒng)研究通常采用β分布、Weibull 分布、正態(tài)分布等概率分布函數(shù)描述風-光-負荷的隨機性［13］，而光照、風速和負荷的實際概率分布函數(shù)各不相同，且解析表達式十分復雜，采用簡單固定的標準分布函數(shù)建模，往往存在較大誤差。以某地區(qū)為例，根據(jù)其光照、風速和負荷的四季某小時采樣數(shù)據(jù)，分別建立實際概率分布模型（采用核密度估計法［14］）和標準分布模型（概率密度函數(shù)公式見附錄A 式（A1）—式（A3）），得到如附錄B 圖B1—圖B3 所示結(jié)果?？梢钥闯鰧嶋H情況下，實際概率分布呈現(xiàn)明顯的多峰特征，而標準分布模型僅能體現(xiàn)單峰，難以準確刻畫光照、風速和負荷的實際分布特征。

為準確刻畫概率密度曲線的多峰分布特性，本文使用高斯核函數(shù)對隨機變量xi（x=(xi)為風-光-負荷隨機變量向量）的概率密度函數(shù)fpi(xi)進行估計:

式 中:N為 歷 史 數(shù) 據(jù) 的 數(shù) 量；H為 窗 寬；xig為xi的 第g個樣本。

2）耦合相關(guān)性

風-光-負荷多變量間存在耦合相關(guān)性，以某地區(qū)兩風電場風速數(shù)據(jù)為例，繪制其散點圖和頻數(shù)分布直方圖，得到如附錄B 圖B4 所示結(jié)果?？梢钥闯觯Ⅻc圖中的點大部分集中在對角線上，這說明兩風電場風速的耦合相關(guān)性極強，頻數(shù)分布直方圖在變量分布的上尾和下尾處取值較大，表明兩風電場風速變量之間存在明顯的尾部相關(guān)特征。采用線性相關(guān)系數(shù)ρp量度兩風電場風速的線性相關(guān)性，Kendall 秩 相 關(guān) 系 數(shù)τ和Spearman 秩 相 關(guān) 系 數(shù)ρs來量度非線性相關(guān)性［15］，利用上尾相關(guān)系數(shù)λU和下尾相關(guān)系數(shù)λL來量度兩風電場風速的尾部相關(guān)性（見附錄C 式（C1）—式（C5）），計算得到如附錄D 表D1所示結(jié)果。由表D1 可知，兩風電場風速之間存在強非線性相關(guān)性，且存在對稱的尾部相關(guān)性，與附錄B圖B4 分析結(jié)論一致。

綜上可知，多變量間的復雜耦合相關(guān)性是隨機建模中不可忽略的關(guān)鍵特征。為捕捉變量之間的這種線性、非線性和尾部相關(guān)關(guān)系，本文采用Pair-Copula 函數(shù)模型建立變量間的耦合相關(guān)性模型。

1.2 基于R 藤Pair-Copula 函數(shù)模型的多變量耦合相關(guān)性建模

式 中:Cxi，vj|v-j(·)表 示 以 條 件 分 布 函 數(shù)F(xi|v-j)和F(vj|v-j)為變量的Copula 分布函數(shù)。

根據(jù)式（3）—式（5），可以將式（2）中的d維聯(lián)合概率密度函數(shù)表示為多個二維Copula 密度函數(shù)及單個變量概率密度函數(shù)的乘積，這個過程稱為Pair-Copula 構(gòu)建（Pair-Copula construction，PPC）［16］。由此可知，建立合適的Copula 函數(shù)模型是準確建立多維變量聯(lián)合概率密度函數(shù)的關(guān)鍵。當d＞2 時，不同變量兩兩組合會產(chǎn)生不同的Copula 函數(shù)模型，影響建立的聯(lián)合概率密度函數(shù)的準確性。R 藤結(jié)構(gòu)根據(jù)變量之間的最強相關(guān)性確定變量組合關(guān)系，具有較強的準確性和靈活性，本文使用R 藤實現(xiàn)上述PPC 過程，一個3 變量R 藤示例見附錄E 式（E1）。

參考上述理論，基于R 藤Pair-Copula 函數(shù)模型的多變量耦合相關(guān)性建模的流程見附錄B 圖B5。首先，判斷n個變量兩兩間相關(guān)性。文中采用附錄C 式（C2）計算n個變量兩兩間的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)τ。考慮負相關(guān)變量間的τ為負數(shù)，取τ的絕對值作判斷變量，當|τ|大于閾值η（η＞0）時，認為變量間存在相關(guān)性。然后，基于得到的相關(guān)變量建立R 藤Pair-Copula 函 數(shù) 模 型。若d≥2，使 用 式（2）—式（6）建立相關(guān)變量的R 藤Pair-Copula 函數(shù)模型，得到聯(lián)合概率密度函數(shù)，其中當d=2 時，Pair-Copula函數(shù)模型變?yōu)閱蝹€二維Copula 函數(shù)模型。

綜上可見，Pair-Copula 函數(shù)模型是多個二維Copula 函數(shù)模型的乘積，因此，Pair-Copula 函數(shù)模型的建模步驟和方法與二維Copula 函數(shù)模型相似，區(qū)別在于構(gòu)建第t(t＞1)層Pair-Copula 函數(shù)模型時，變量變?yōu)槿缡剑?）所示的條件分布。建模時，可使用極大似然估計法確定備選Copula 函數(shù)模型中的未知參數(shù)，其中與經(jīng)驗Copula 函數(shù)模型的歐氏距離最小者為最優(yōu)Copula 函數(shù)模型。極大似然估計、經(jīng)驗Copula 函數(shù)模型和歐氏距離的公式見附錄E式（E2）—式（E5）。

本文考慮6 種備選Copula 函數(shù)模型:正態(tài)-Copula、t-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula、Gumbel-Copula、SJC-Copula，這6 種Copula 函 數(shù) 模型能較全面地涵蓋二維數(shù)據(jù)可能的聯(lián)合概率分布，具體表達式及典型特征見附錄F 表F1。以附錄B圖B4 中兩組風速數(shù)據(jù)為例，建立相關(guān)性模型，并對其進行抽樣［17］，得到如圖B6 所示Copula 密度函數(shù)圖和采樣數(shù)據(jù)散點圖，計算得到相關(guān)系數(shù)的數(shù)值見表F2。對比附錄D 表D1 和附錄F 表F2 可見，采樣數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)接近，說明所建相關(guān)性模型可以較好地反映變量之間的相關(guān)性。

2 基于HDMR 方法的新能源電力系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定風險評估

2.1 新能源電力系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定問題

式中:Δz為系統(tǒng)狀態(tài)變量增量；Aˉ(x)為新能源電力系統(tǒng)在運行點x處的狀態(tài)矩陣。

受風速、輻照度和負荷的隨機性影響，新能源電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定為概率事件。為評估新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險，本文采用關(guān)鍵振蕩模式阻尼比ξ表征新能源電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定狀態(tài)，其與新能源電力系統(tǒng)中隨機變量x的關(guān)系可用函數(shù)fξ表示。

式中:h(ξ)為關(guān)鍵振蕩模式阻尼比的概率密度函數(shù)。

反之，該系統(tǒng)的小干擾失穩(wěn)概率Pus=1-Ps。根據(jù)1.1 節(jié)分析可知，新能源電力系統(tǒng)中隨機變量數(shù)量多且服從具有多峰特征的概率分布，不同隨機變量間還存在復雜相關(guān)性，式（9）和式（10）的阻尼風險評估存在困難。

2.2 基于MLS-HDMR 方法的新能源系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)概率計算

為解決式（10）所示小干擾概率失穩(wěn)風險評估問題，本節(jié)提出基于MLS-HDMR 方法的新能源系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)概率計算方法。假設(shè)式（7）所示的新能源電力系統(tǒng)中，代表隨機性風速、輻照度、負荷的隨機變量x的一個任意排序可以記作x=[x1，x2，…，xn]，那么根據(jù)HDMR 理論［21］，可以建立式（9）中關(guān)鍵振蕩模式阻尼比ξ與輸入隨機變量x之間的HDMR 模型，表達式如下:

HDMR 模型通過不同階數(shù)的分量函數(shù)對不同數(shù)目隨機變量的耦合作用進行建模，具體地，式（11）中，f0為零階分量，表示常數(shù)項；fi1(xi1)為一階分量函數(shù)，表示單一變量xi1對輸出的作用；fi1i2(xi1，xi2)為二階分量函數(shù)，體現(xiàn)變量xi1、xi2相互耦合對輸出的作用；fi1i2…il(xi1，xi2，…，xil)為l階分量函數(shù)，體現(xiàn)l個變 量 相 互 耦 合 對 輸 出 的 作 用；f1，2，…，n(x1，x2，…，xn)為n階分量函數(shù)，體現(xiàn)了所有變量耦合對輸出的作用。

采用式（12）—式（17）能夠計算各階分量的精確值，但該計算過程基于模態(tài)分析逐階分割出各階分量的值，無法直接給出各階分量函數(shù)的具體數(shù)學表示式。因此，本文采用MLS 方法來構(gòu)建式（11）的各階分量函數(shù)表達式，MLS 方法是一種高精度逼近方法［22-23］。

由MLS-HDMR 方法的求解過程可知，HDMR方法通過分層將原系統(tǒng)中變量的耦合關(guān)系分開表示，MLS 方法通過基函數(shù)可以區(qū)分變量的線性和非線性，因此通過判斷系統(tǒng)中各變量是否存在耦合和非線性進行針對性建模，可以捕捉原系統(tǒng)稀疏性，降低采樣數(shù)量，提高建模效率。該方法可直接用于擬合系統(tǒng)的輸入-輸出模型，使用擬合模型替換原系統(tǒng)模型，適用于隨機變量為任意分布時的情況。因此，MLS-HDMR 方法對考慮實際變量分布的高維變量系統(tǒng)具有良好的適用性。

基于式（23）各階分量表達式進行相加即可構(gòu)成式（11），實現(xiàn)阻尼比ξ與隨機變量x之間HDMR模型的構(gòu)建。由于HDMR 模型為簡單代數(shù)模型，將蒙特卡洛法應用于HDMR 模型，僅需微量代數(shù)計算，即可快速求解阻尼比ξ的概率密度函數(shù)h(ξ)。而進一步結(jié)合式（10），即可迅速計算得出新能源電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定和失穩(wěn)的概率值。

3 新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估過程及優(yōu)化采樣方案

根據(jù)第2 章的理論分析，本文所提新能源電力系統(tǒng)進行小干擾失穩(wěn)風險評估的流程如圖1 所示。分為準備階段、模型構(gòu)建、風險評估3 個部分，具體步驟如下:

圖1 小干擾失穩(wěn)風險評估流程圖Fig.1 Flow chart of risk assessment of small-signal instability

步驟1:準備階段。根據(jù)風-光-負荷所構(gòu)成的n個隨機變量在待評估時間段內(nèi)的歷史數(shù)據(jù)，采用1.1節(jié)所述方法建立每個變量的概率密度函數(shù)；對于n個變量間復雜的相關(guān)性，采用1.2 節(jié)方法建立多變量高維聯(lián)合密度函數(shù)。根據(jù)機組組合調(diào)度方案確定發(fā)電機在待評估時間段內(nèi)的出力值，對系統(tǒng)進行小干擾穩(wěn)定分析，選取弱阻尼模式作為關(guān)鍵振蕩模式。

步驟3:風險評估。根據(jù)步驟1 所建立的多變量高維聯(lián)合概率密度函數(shù)進行抽樣，代入HDMR 模型計算阻尼比，采用核密度估計法構(gòu)建阻尼比概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，利用式（10）評估該時段內(nèi)新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險。

分析上述評估過程可以看出，在參考點和采樣點附近，HDMR 模型精度相對較高。但是，由于實際變量存在多峰分布的概率特性，不同的采樣點配置方案對評估精度存在影響，一般而言，選取高概率采樣點集合將得到更準確的評估結(jié)果?；诖?，本文進一步提出一種改進的參考點選取和采樣點配置方法，可以在同樣的采樣成本下，提高HDMR 模型的各階分量函數(shù)在高概率范圍內(nèi)的逼近精度，以提升風險評估精度。所提參考點及采樣點選取方案如下。

在步驟2 中，建立l階分量函數(shù)時，初始采樣點選擇l個變量最大、最小邊界點，盡量使擬合函數(shù)包含邊界信息，避免局部出現(xiàn)較大的擬合誤差。當l階分量函數(shù)精度不夠需繼續(xù)采樣時，新增采樣點取概率密度次高峰值處隨機變量值。僅當峰值點已全部取為采樣點但仍需繼續(xù)采樣時，新增采樣點通過對變量概率密度函數(shù)進行隨機采樣獲得。

4 算例分析

為驗證多隨機變量高維耦合復雜概率分布場景下，本文所提新能源電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估方法的準確性和高效性，本章以含3 個隨機變量的IEEE 新英格蘭2 區(qū)域4 機系統(tǒng)和含12 個隨機變量的IEEE 16 機68 節(jié)點新英格蘭-紐約互聯(lián)系統(tǒng)為例進行驗證分析。

4.1 4 機系統(tǒng)

算例采用如附錄G 圖G1 所示的IEEE 新英格蘭2 區(qū)域4 機改進系統(tǒng)［24］，在母線1 接入光伏電站?？紤]光伏電站的光照（x1）、負荷1（x2）和負荷2（x3）共3 個隨機變量。發(fā)電機出力由機組組合調(diào)度方案確定，基礎(chǔ)值取700 MW。光照數(shù)據(jù)取自NREL 實驗室2011—2013 年連續(xù)3 年每年8 月中午11:00—12:00 的歷史光照數(shù)據(jù)，負荷1 和2 的數(shù)據(jù)取自某兩省同一時段的實際負荷數(shù)據(jù)。

對3 個隨機變量的分布特性和相關(guān)性進行分析。在分布特性分析中，使用1.1 節(jié)所述方法建立光照和負荷的概率密度和分布曲線見附錄G 圖G2至圖G4。由圖可見，3 個隨機變量的概率密度函數(shù)均明顯存在多峰分布特征，難以采用正態(tài)分布等典型分布函數(shù)準確描述。在相關(guān)性分析中，通過附錄C 式（C2）分別計算變量兩兩之間的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)，其中光照和負荷之間的相關(guān)系數(shù)分別為0.04和0.03，相關(guān)性較弱，兩負荷的相關(guān)系數(shù)為0.5，相關(guān)性較強。因此，需針對兩負荷使用1.2 節(jié)所述方法建立聯(lián)合概率密度模型。

基于R 藤Pair-Copula 函數(shù)模型計算得到的各備選Copula 函數(shù)模型的參數(shù)和歐氏距離見附錄I 表I1。其中，Clayton-Copula 函數(shù)模型與經(jīng)驗Copula函數(shù)模型之間的歐氏距離，僅為其他4 種Copula 函數(shù)模型與經(jīng)驗Copula 函數(shù)模型之間歐氏距離的6.5%～17.3%，故選擇Clayton-Copula 函數(shù)模型為最優(yōu)Copula 函數(shù)模型。所得到的密度函數(shù)如圖2 所示，從圖2（b）和（c）對比可以看出，二者具有相同的相關(guān)特性，所使用的相關(guān)性建模方法完整刻畫了原有數(shù)據(jù)的相關(guān)性特性，表明兩負荷之間具有不對稱的尾部相關(guān)性，且下尾相關(guān)性更強。

圖2 Copula 函數(shù)模型的建模結(jié)果Fig.2 Modeling results of Copula function model

接下來確定關(guān)鍵振蕩模式，取典型參數(shù)對系統(tǒng)進行模態(tài)分析，可以得出:系統(tǒng)中存在兩個地區(qū)振蕩模式，頻率分別為1.05 Hz 和1.16 Hz，阻尼比分別為0.13 和0.08；一個區(qū)間振蕩模式，頻率為0.58 Hz，阻尼比為0.002。區(qū)間振蕩模式阻尼比最小且處于弱阻尼狀態(tài)。將此區(qū)間振蕩模式阻尼比作為關(guān)鍵振蕩模式阻尼比，采用前文所提方法建立HDMR 模型并評估該模式的失穩(wěn)風險，得到阻尼比概率密度曲線與累積分布曲線如圖3 所示。同時將優(yōu)化采樣的HDMR 方法與蒙特卡洛法、未優(yōu)化的HDMR 方法、3 階SRSM 和三點估計法作對比，將其他方法得到的區(qū)間模式阻尼比概率密度曲線與累積分布曲線一并展示在圖3 中。

圖3 阻尼比概率密度曲線與累積分布曲線（4 機系統(tǒng)）Fig.3 Probability density curves and cumulative distribution curves of damping ratio（4-machine system）

由圖3（a）和（b）可以看出，本文所提優(yōu)化采樣的HDMR 方法評估出的概率密度和分布曲線與蒙特卡洛法求解的標準概率密度和分布曲線十分接近，這說明在多峰分布且具有強相關(guān)性情況下，本文所提優(yōu)化采樣的HDMR 方法在小干擾失穩(wěn)風險評估方面具有高準確度。與未優(yōu)化的HDMR 方法對比，所提方法準確性更好，所提出的基于概率分布的采樣策略能提高對阻尼比概率模型的擬合精度。此外，HDMR 方法評估準確度整體上要顯著優(yōu)于SRSM 和三點估計法。這是因為本文所提HDMR方法能夠直接處理變量多峰分布和復雜相關(guān)性并進行建模；而三點估計法僅在變量為正態(tài)分布時具備足夠精度；SRSM 通過Nataf 變換實現(xiàn)相關(guān)非正態(tài)分布向獨立標準正態(tài)分布變量的轉(zhuǎn)換［8］，存在相關(guān)性的小幅轉(zhuǎn)換誤差。因此，在處理具有概率分布非正態(tài)、多峰及復雜相關(guān)性的電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估問題時，本文所提優(yōu)化的HDMR 方法相比其他方法優(yōu)勢明顯。

為進一步定量驗證所提優(yōu)化采樣的HDMR 方法的模型準確度，根據(jù)變量概率密度進行了1 000 次抽樣，分別使用蒙特卡洛法、未優(yōu)化的HDMR 方法、優(yōu)化采樣的HDMR 方法和3 階SRSM 計算相應的關(guān)鍵模式阻尼比，并進行對比分析。選取確定系數(shù)（用R2表示）、相對平均絕對誤差（RAAE）、相對最大絕對誤差（RMAE）這3 種指標，評價上述3 種方法擬合結(jié)果的準確度（指標計算公式見附錄H 式（H1）—式（H3）），評價結(jié)果如表1 所示。其中，R2和RAAE 反映模型整體精度，RMAE 則能反映局部區(qū)域誤差，R2越接近1，RAAE 和RMAE 越小，模型精度越高。

表1 評價指標Table 1 Evaluation indicators

由表1 可以看出，在整體精度方面，對于R2指標，SRSM 精度最低，未優(yōu)化的HDMR 方法有明顯提升，優(yōu)化采樣的HDMR 方法已超過0.99，整體誤差極小。對于RAAE 指標，SRSM 分別是未優(yōu)化的HDMR 方法和優(yōu)化采樣的HDMR 方法的16 倍和5 倍，這兩點表明優(yōu)化采樣的HDMR 方法整體精度最高；同時，針對RMAE 指標，優(yōu)化采樣的HDMR方法也明顯小于其他兩個方法?？梢?，未優(yōu)化的HDMR 方法的精度高于SRSM，并且，優(yōu)化采樣后的方法可以進一步提高HDMR 模型精度。

取阻尼比0.01 為該系統(tǒng)進行小干擾失穩(wěn)風險失穩(wěn)的閾值，即認為阻尼比小于0.01 時系統(tǒng)有失穩(wěn)風險。使用上文提到的5 種方法計算得到的小干擾失穩(wěn)概率分別為79%、79%、79%、81%、70%。HDMR 方法計算結(jié)果與蒙特卡洛法相同，優(yōu)于SRSM，可以準確反映系統(tǒng)失穩(wěn)風險。由于三點估計法不適用于復雜概率分布的失穩(wěn)風險評估，存在顯著誤差，下文不再考慮使用。

4.2 16 機系統(tǒng)

算例基于改進的IEEE 16 機68 節(jié)點新英格蘭-紐約互聯(lián)［24］系統(tǒng)進行，系統(tǒng)圖見附錄G 圖G5。設(shè)置1 個光照變量、4 個風速變量和7 個負荷變量，光伏接入55 節(jié)點，對應光照設(shè)為變量x′1，風機接入56、57、58 和59 節(jié)點，對應風速設(shè)為變量x′2至x′5，負荷接入3、13、16、20、21、23 和24 節(jié)點，對應負荷設(shè)為變量x′6至x′12。光照、風速和負荷數(shù)據(jù)為某地區(qū)2015—2017 年每年8 月中午11:00—12:00 的實測數(shù)據(jù)。

分析變量的隨機性和相關(guān)性，首先建立變量的概率密度和分布曲線見附錄G 圖G6，3 種類型變量都呈現(xiàn)非標準分布，其中，光照和負荷變量有明顯的多峰分布特征。然后，通過計算分析變量間Kendall秩相關(guān)系數(shù)（見表G1）可知，4 個風電場的風速兩兩之間的相關(guān)性較強，并且同光照之間存在負相關(guān)。構(gòu)建風-光相關(guān)的R 藤Pair-Copula 函數(shù)模型，結(jié)果如附錄I 表I2 所示。由表I2 可知，不同隨機變量之間存在對稱和非對稱的尾部相關(guān)性，相關(guān)性關(guān)系十分復雜。

對系統(tǒng)進行模態(tài)分析，結(jié)果表明系統(tǒng)中存在4 個區(qū)域間振蕩模式，其中區(qū)域1、2 和區(qū)域3、4、5 之間0.4 Hz 振蕩模式的阻尼比最小，僅為0.004，取該振蕩模式的阻尼比為關(guān)鍵振蕩模式阻尼比，建立HDMR 模型評估系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險。

為驗證本文方法的建模準確度，根據(jù)變量概率密度進行了1 000 次抽樣，使用蒙特卡洛法、未優(yōu)化的HDMR 方法和優(yōu)化采樣的HDMR 方法分別計算關(guān)鍵振蕩模式阻尼比，得到的阻尼比概率密度和累積分布曲線如圖4 所示。3 種方法計算得到的電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)概率均為23%，說明優(yōu)化采樣的HDMR 方法在高維情況下依然能夠處理非標準分布且存在相關(guān)性的變量，可準確評估系統(tǒng)失穩(wěn)風險。

圖4 阻尼比概率密度曲線與累積分布曲線(16 機系統(tǒng))Fig.4 Probability density curves and cumulative distribution curves of damping ratio（16-machine system）

進一步分析本文方法進行風險評估的高效性，將HDMR 方法與SRSM 在模型建立和風險評估兩個方面進行對比，HDMR 模型分量函數(shù)中變量的最高次數(shù)和SRSM 模型階數(shù)均取3。表2 展示了兩個算例中兩種方法建模所需采樣點數(shù)量，在低維變量下SRSM 采樣點略高于HDMR 方法，但在高維變量下HDMR 方法所需采樣點數(shù)遠小于SRSM，可見變量數(shù)量越多，HDMR 方法采樣優(yōu)勢明顯。進一步分析表明，SRSM 兩兩變量間均存在耦合，在高維情況下會出現(xiàn)“維數(shù)災”，與之相比，HDMR 方法只對系統(tǒng)中存在的非線性和低階耦合項進行了建模，使用少量采樣點即可得到精確的系統(tǒng)輸出響應，有效提高了高維模型建模效率。

表2 算例采樣點數(shù)Table 2 Numbers of sampling points for test systems

附錄I 表I3 所示為16 機系統(tǒng)HDMR 方法建模時的采樣點?？梢杂^察到，HDMR 方法中不同一階分量函數(shù)的采樣點個數(shù)并不完全相同，說明HDMR方法捕捉到了各變量不同的線性和非線性，只有部分變量之間存在二階分量函數(shù)，沒有三階及以上分量函數(shù)，即HDMR 方法只對系統(tǒng)中存在的低階耦合項進行了建模，在保證精度的同時大大減少采樣點數(shù)量。這說明電力系統(tǒng)存在稀疏效應，HDMR 方法應用于電力系統(tǒng)小干擾風險評估中可以發(fā)揮出更大優(yōu)勢。

本文方法運行于Intel Core i5-4590 CPU 電腦的MATLAB 平臺，對文中改進16 機系統(tǒng)每一個采樣點進行一次計算用時為0.7 s，HDMR 方法和SRSM 建模用時分別為38 s 和318 s，基于HDMR方法的風險評估與傳統(tǒng)蒙特卡洛法風險評估所用時間分別為0.014 s 和721 s。可以看出，HDMR 方法在建模速度上優(yōu)于SRSM，遠小于蒙特卡洛法，可以快速完成電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估。綜上所述，本文方法在建模和風險評估效率方面具有明顯的優(yōu)勢。

5 結(jié)語

本文建立了新能源系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險評估模型，計及可再生能源和負荷的不確定性，提出基于HDMR 方法的小干擾失穩(wěn)概率計算方法，并應用于新能源并網(wǎng)的4 機和16 機系統(tǒng)。主要結(jié)論如下:

1）相比于傳統(tǒng)的蒙特卡洛法、三點估計法和SRSM，HDMR 方法利用MLS 方法擬合各階分量函數(shù)，僅需少量的采樣點就可以得到精確的輸出響應模型，能夠在變量的實際多峰分布下計算得到準確的結(jié)果，特別是對多維風-光-負荷輸入的復雜系統(tǒng)，具有明顯的準確性和高效性；

2）對于計及源荷隨機性與相關(guān)性的電力系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)概率計算，基于HDMR 方法能快速準確地獲得系統(tǒng)關(guān)鍵振蕩模式阻尼比的概率分布，進一步評估風-光-負荷隨機性造成的系統(tǒng)小干擾失穩(wěn)風險，從而為系統(tǒng)的安全運行和規(guī)劃調(diào)度提供參考。

實際系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的關(guān)鍵振蕩模式可能隨風-光-負荷及與其有關(guān)的控制模式的變化而變化，未來將進一步考慮風-光-負荷變化對振蕩模式的影響，更加全面地評估系統(tǒng)失穩(wěn)風險。

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