■福建省漳州市龍海區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊惠凱

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是當(dāng)下高中教學(xué)的關(guān)鍵，也是我國(guó)課程改革深入的標(biāo)志。高中建?；顒?dòng)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體，能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。因此，教師需要重視高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的設(shè)計(jì)，積累成功案例經(jīng)驗(yàn)，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)。本文基于學(xué)科核心素養(yǎng)，對(duì)如何設(shè)計(jì)成功的高中數(shù)學(xué)建模案例進(jìn)行研究并提出幾點(diǎn)建議，以供參考。

一、基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)原則

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的設(shè)計(jì)要以教學(xué)設(shè)計(jì)為主要框架，并按照新課標(biāo)的教學(xué)要求開(kāi)展，這樣才能真正落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而在設(shè)計(jì)建模活動(dòng)中，教師要遵循以下基本原則：第一，處理好數(shù)學(xué)建?；?dòng)教學(xué)時(shí)機(jī)與課時(shí)的安排。根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)分析，課程分為必修課程、選擇性必修課程、選修課程，不同課程的教學(xué)要求不同、課時(shí)分布不同，對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)也應(yīng)有所不同。教師應(yīng)以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為前提開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)，必修課程課時(shí)最多、內(nèi)容也更緊要，教師要重視基礎(chǔ)建?；顒?dòng)的設(shè)計(jì)，選擇2～3個(gè)課題指導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化。第二，確定教學(xué)重難點(diǎn)。建模案例的設(shè)計(jì)能讓學(xué)生參與其中，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有更深刻的認(rèn)識(shí)，而且高中生已經(jīng)具備初步的自主學(xué)習(xí)能力，為了保證不影響教學(xué)效率，教師應(yīng)重視挑選教學(xué)重難點(diǎn)，圍繞重難點(diǎn)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，并在活動(dòng)中給予學(xué)生正確的指導(dǎo)，讓學(xué)生能在建立數(shù)學(xué)模型和求解中靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧，達(dá)到鍛煉建模素養(yǎng)的目的。第三，創(chuàng)新教學(xué)形式?；诤诵乃仞B(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂，不能是教師用大部分時(shí)間灌輸知識(shí)的教學(xué)方式，也不能完全放任學(xué)生自由學(xué)習(xí)，而是要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的難度和學(xué)生的思維水平、學(xué)習(xí)狀態(tài)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等進(jìn)行選擇，促進(jìn)“教”“學(xué)”共同成長(zhǎng)。

二、結(jié)合常規(guī)教學(xué)的課內(nèi)數(shù)學(xué)建模案例研究

在高中數(shù)學(xué)課堂中設(shè)計(jì)建?；顒?dòng)，目的是讓學(xué)生在深刻理解知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，掌握應(yīng)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。當(dāng)知識(shí)儲(chǔ)備與能力相匹配時(shí)，學(xué)生才能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、分析世界、描述世界，從而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。教師要在課堂中以實(shí)際生活案例為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問(wèn)題的教育目標(biāo)。以“數(shù)學(xué)建模案例（二）：曼哈頓距離”為例，現(xiàn)實(shí)生活中很多城市的街道都是相互垂直或平行的，人們需要通過(guò)直行和拐彎才能到達(dá)目的地。德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基據(jù)此提出了“曼哈頓距離”，教師可以從中概括出問(wèn)題，并在數(shù)學(xué)課堂中將其拆分為多個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生參與建模活動(dòng)中。

（一）提出問(wèn)題

教師要先提出一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題為：某地三個(gè)新建居民區(qū)位置分別位于三點(diǎn)，A（3，20），B（-10，0），C（14，0），現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心，請(qǐng)嘗試確定點(diǎn)P的位置，并使三個(gè)居民區(qū)的曼哈頓距離最小。

（二）分析問(wèn)題

很多以曼哈頓距離為背景的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題都是以某點(diǎn)到已知各點(diǎn)的曼哈頓距離最小作為約束條件，并引導(dǎo)學(xué)生建立模型確定該點(diǎn)位置。在向量相關(guān)課程的教學(xué)中，教師可以將這一問(wèn)題作為實(shí)際應(yīng)用例題，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的向量知識(shí)進(jìn)行分析。如果想要得出三個(gè)居民區(qū)的曼哈頓距離最小，就要先設(shè)點(diǎn)P的位置為（x，y），并從水平和豎直兩個(gè)角度展開(kāi)分析。

（三）模型建立與求解

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成問(wèn)題的分析后，要先結(jié)合題干在白紙上將圖像畫(huà)下來(lái)，通過(guò)直觀的觀察后，設(shè)點(diǎn)P（x，y）其中y≥0，則點(diǎn)P 到三個(gè)居民點(diǎn)的曼哈頓距離可以表示為：Z=d(x,y)=|x- 3 |+|y- 20 |+ |x+ 10 |+ |y|+ |x- 14 |+ |y|=(|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |)+(|y- 20 |+ 2 |y|)。通過(guò)列式分析發(fā)現(xiàn)，水平方向的距離為X=h(x)=|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |，垂直方向的距離為Y=v(y)=|y- 20 |+ 2 |y|，二者是相互獨(dú)立的，雙方并無(wú)影響。曼哈頓距離求的是點(diǎn)P到三個(gè)居民點(diǎn)的最小距離，也就是求Z 的最小值，且Z=X+Y=h(x)+v(y)，通過(guò)等量替換得出，Z 的最小值Zmin就等于水平距離X的最小值Xmin與垂直距離Y的最小值Ymin的和，即有Zmin=Xmin+Ymin=minh(x)+minv(y)(x,y∈R)。從水平距離上看，因?yàn)閄=h(x)=|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |，當(dāng)且僅當(dāng)x= 3是，不等式的等號(hào)是成立的，即 |x+ 10 |+ |x- 14 |≥|-(x+ 10 )+(x- 14 )|= 24，計(jì)算得出的結(jié)果為Xmin= 24。同理可以求出，當(dāng)y= 0時(shí)，Ymin= 20。因此，當(dāng)文化中心修建在點(diǎn)P（3，0）時(shí)，它距離三個(gè)居民區(qū)的曼哈頓距離最小，最小距離為44。基于此，學(xué)生能在教師指導(dǎo)下完成數(shù)學(xué)模型的建立和求解，并利用學(xué)過(guò)的向量知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和解決，同時(shí)強(qiáng)化了對(duì)向量知識(shí)理解和掌握，也使抽象思維、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力等得到了鍛煉和培養(yǎng)。

（四）創(chuàng)新問(wèn)題并提高難度

在上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的思維，教師可以在題目中加入新的條件，讓學(xué)生開(kāi)展更深層次的思考。例如，設(shè)置問(wèn)題：假設(shè)以點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的范圍內(nèi)屬于生態(tài)環(huán)境區(qū)，人們不能進(jìn)入，在其他條件不變的基礎(chǔ)上，點(diǎn)P 的位置是否會(huì)產(chǎn)生變化，如果產(chǎn)生了變化請(qǐng)重新確定，使其到三個(gè)居民點(diǎn)的曼哈頓距離最小。教師要引導(dǎo)學(xué)生重新分析題意，發(fā)現(xiàn)題目中融入了圓的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合之前所求出的P 點(diǎn)位置和圓的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)水平方向上的位置不需要變化，但垂直方向上的位置則不符合題目要求。因?yàn)閳A的半徑為1，所以建立模型并求解時(shí)應(yīng)添加y≥1的限制條件，再遵循原來(lái)的思路進(jìn)行解題，點(diǎn)P 的位置應(yīng)該由P（3，0）變?yōu)镻（3，1）。重新列式計(jì)算得出，文化中心到三個(gè)居民區(qū)的曼哈頓距離的最小值為45。由此，學(xué)生在建模求解中不僅加強(qiáng)了對(duì)向量知識(shí)的掌握，還復(fù)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)，能將向量與圓的知識(shí)完成銜接，構(gòu)建更加完善的知識(shí)體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力提高的同時(shí)，還能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，強(qiáng)化系統(tǒng)化學(xué)習(xí)。

（五）問(wèn)題拓展

當(dāng)學(xué)生接觸過(guò)建?；顒?dòng)且厘清學(xué)習(xí)思維后，教師可以在原有基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)拓展環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型展開(kāi)進(jìn)一步的討論。例如，根據(jù)圖1 所示，n 臺(tái)工作效率相同的機(jī)器等距排列在一條流水線上，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)零件都需要送到人工檢驗(yàn)臺(tái)上檢驗(yàn)，質(zhì)量合格后才能進(jìn)入下一道工序。如果零件在直線上傳送速度是相同的，問(wèn)檢驗(yàn)臺(tái)的位置應(yīng)設(shè)置在哪里，才能使零件傳輸時(shí)總的距離最?。?/p>

圖1

在前面的問(wèn)題中，教師給予了學(xué)生指導(dǎo)，并在題目中給出了具體數(shù)值，學(xué)生在計(jì)算時(shí)可以通過(guò)繪制直觀的圖像解題，但拓展問(wèn)題的難度明顯增大，將固定的位置轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的流水線，且題目中給出的條件有限。很多學(xué)生在初次閱讀題目后往往是一頭霧水，教師可以將學(xué)生分成多個(gè)小組，讓他們?cè)谛〗M內(nèi)展開(kāi)分析和探究。小組內(nèi)成員需要結(jié)合題意先完成建模工作，小組長(zhǎng)鼓勵(lì)成員依次說(shuō)明自己的觀點(diǎn)和看法，集中所有人的智慧建模再求解。根據(jù)題目的要求將零件傳送總距離設(shè)為y，將檢驗(yàn)臺(tái)位置設(shè)為x，再將第k 個(gè)零件的位置設(shè)為Ak( )k= 1,2,...,n，再列式求出結(jié)果。教師通過(guò)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性、拓展性等難度不同的問(wèn)題，不僅可以讓學(xué)生鞏固向量的知識(shí)，還能對(duì)數(shù)列、圓等知識(shí)加強(qiáng)理解，而且讓學(xué)生完整地體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，最終使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到鍛煉和提高。

三、依托學(xué)生社團(tuán)的課外數(shù)學(xué)建模案例研究

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)僅依靠課堂教學(xué)時(shí)間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師應(yīng)探索將教學(xué)向課外拓展，尋找課內(nèi)外活動(dòng)相銜接的道路。社團(tuán)活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的有效途徑，為了培養(yǎng)學(xué)生綜合能力，部分高中陸續(xù)開(kāi)展了社團(tuán)活動(dòng)，這為數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)提供了發(fā)展和實(shí)踐的良好平臺(tái)。教師在鼓勵(lì)學(xué)生成立數(shù)學(xué)建模社團(tuán)活動(dòng)，并邀請(qǐng)課內(nèi)外教師為他們做指導(dǎo)工作，以生活中的實(shí)際問(wèn)題為背景建立數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)競(jìng)賽活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生以組隊(duì)的形式參與其中。以“數(shù)學(xué)建模案例（三）:人數(shù)估計(jì)”為例，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師可以在社團(tuán)舉辦競(jìng)賽活動(dòng)，設(shè)計(jì)只知道部分信息的題目，讓學(xué)生以小組為單位，自行推理和估計(jì)全部信息。問(wèn)題的設(shè)計(jì)要盡量貼合生活實(shí)際，如醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)調(diào)查某慢性病患者的人數(shù)、學(xué)校五一外出旅游的人數(shù)、高考改革后物理學(xué)科選考人數(shù)等，讓學(xué)生在建模中深化對(duì)知識(shí)的掌握。

（一）提出問(wèn)題

某高校美術(shù)系平面設(shè)計(jì)專(zhuān)業(yè)是“大熱門(mén)”，報(bào)考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報(bào)名結(jié)束后，某考生想要知道報(bào)考的總?cè)藬?shù)，就隨機(jī)了解了50個(gè)考生的考號(hào)整理在下表1中?？忌目继?hào)是按照由小到大的順序依次排列的，請(qǐng)大家設(shè)計(jì)一種方法，根據(jù)隨機(jī)的考生考號(hào)估計(jì)考生的總數(shù)。

表1 某高校美術(shù)系平面設(shè)計(jì)專(zhuān)業(yè)考生考號(hào)表

（二）分析問(wèn)題

從表格中隨機(jī)抽取的考號(hào)，總體中的個(gè)體已經(jīng)按照自然數(shù)編號(hào)，通過(guò)隨機(jī)抽取并按照從小到大的順序排序后，把考號(hào)分別記為x1，x2，x3，...xn，其中。但由于考生總數(shù)并沒(méi)有精確的估計(jì)方法，如果沒(méi)有其他輔助消息，則只能利用樣本估計(jì)總體的形式進(jìn)行近似估計(jì)。因此，為了使估計(jì)值更加精準(zhǔn)，各小組可以在多種假設(shè)的條件下，采用不同的估計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型并求解。

（三）建模與求解

結(jié)合所學(xué)知識(shí)，各小組學(xué)生會(huì)采用不同的方法建立數(shù)學(xué)模型并求解，有的小組從樣本與總體的關(guān)系入手，嘗試用樣本的最大值估計(jì)總體的最大值；有的小組則借助中位數(shù)建模，用樣本的中位數(shù)估計(jì)總體的中位數(shù)；有的小組則是借助樣本的平均值估計(jì)總體的平均值；還有小組利用分區(qū)間的方式求解。以用分區(qū)間方法求解為例，具體解題內(nèi)容如下：將隨機(jī)抽取的50個(gè)樣本按照從小到大的順序排列，利用它將N個(gè)數(shù)據(jù)分段，選取不同的端點(diǎn)，則得到不同的估計(jì)值。在分區(qū)間時(shí)，需要先將區(qū)間[ 1,N]分成51個(gè)小區(qū)間，分別是利用公式計(jì)算出這51 個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度均值為，而前50 個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度則為，由于樣本是隨機(jī)抽取的，可以認(rèn)為因此，N 的估計(jì)值可取為在建模和求解的過(guò)程中，各小組所用的方法不一樣，取得的結(jié)果也會(huì)存在一定的差異，教師知道結(jié)果是在合理的假設(shè)前提下得到的，就不能說(shuō)結(jié)果一定是錯(cuò)的，這也體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的特點(diǎn)。對(duì)此，競(jìng)賽評(píng)委要更重視對(duì)學(xué)生的建模過(guò)程和分析過(guò)程進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生在建模中通過(guò)討論和探究有所收獲。

（四）模型檢驗(yàn)

指導(dǎo)教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的建模過(guò)程和探究結(jié)果，要求學(xué)生嘗試在合理范圍內(nèi)改變隨機(jī)考號(hào)內(nèi)容，并重新建模計(jì)算求解，查看結(jié)果是否存在偏差，如果前后兩次所得結(jié)果相差無(wú)幾，則說(shuō)明所建模型的合理性與適用性。反之，如果前后兩次所得結(jié)果有較大的偏差，則需要在小組內(nèi)重新討論，思索建模與求解中的不足之處，并對(duì)過(guò)程進(jìn)行合理的優(yōu)化。

四、結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)課堂中很少組織過(guò)建模活動(dòng)，更多的是教師組織學(xué)生在課堂中討論數(shù)學(xué)建模相關(guān)的問(wèn)題，在課堂中很少體現(xiàn)對(duì)學(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)。為了改變這一情況，教師應(yīng)從核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以理論指導(dǎo)實(shí)踐，設(shè)計(jì)具體的教學(xué)案例，并引導(dǎo)學(xué)生參與其中，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)獲取知識(shí)、提高自身能力。