程志勇，路廣才，竺煒

(長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410114)

0 引 言

隨著我國電網(wǎng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，低頻振蕩已成為影響互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的突出問題、低頻振蕩事故時(shí)有發(fā)生[1-4]。目前有關(guān)電力系統(tǒng)低頻振蕩研究較為成熟的理論主要有負(fù)阻尼理論及強(qiáng)迫功率振蕩理論[5-8]，前者由于系統(tǒng)本身缺乏足夠的阻尼，尤其是隨著大容量機(jī)組高放大倍數(shù)、快速勵(lì)磁系統(tǒng)的比例增加，系統(tǒng)阻尼進(jìn)一步下降，甚至變?yōu)樨?fù)阻尼，當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動時(shí)，就會產(chǎn)生發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子間的相對搖擺，表現(xiàn)在輸電線路上即出現(xiàn)功率波動[9]。后者主要是由于系統(tǒng)中存在持續(xù)周期性小擾動，當(dāng)擾動頻率與電力系統(tǒng)固有振蕩頻率相同或接近時(shí)，就會出現(xiàn)強(qiáng)烈的共振現(xiàn)象[10]。針對負(fù)阻尼低頻振蕩，可以通過增強(qiáng)系統(tǒng)阻尼加以抑制，如加強(qiáng)電網(wǎng)結(jié)構(gòu)、采用直流輸電技術(shù)、輸電線路采用串聯(lián)補(bǔ)償電容、加裝靜止無功補(bǔ)償器(Static Var Compensator, SVC)、附加電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(Power System Stabilizer, PSS)等[11-12]。而對于強(qiáng)迫功率振蕩，由于振蕩源的不確定性，振蕩事故難以提前預(yù)測，因此對其深入研究具有重要實(shí)際意義。文獻(xiàn)[13-14]分別從單機(jī)和多機(jī)系統(tǒng)闡述了強(qiáng)迫功率振蕩產(chǎn)生的機(jī)理。文獻(xiàn)[15]分析了汽輪機(jī)壓力脈動對強(qiáng)迫功率振蕩的影響。文獻(xiàn)[16]通過對汽輪機(jī)組功頻調(diào)速控制機(jī)制的研究，分析了電網(wǎng)側(cè)擾動對共振型低頻振蕩的影響。文獻(xiàn)[17]從負(fù)荷角度出發(fā)，指出周期性負(fù)荷引發(fā)強(qiáng)迫功率振蕩的機(jī)理。文獻(xiàn)[18]基于功率譜密度方法搭建了多機(jī)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)模型，分析了隨機(jī)擾動下電力系統(tǒng)的強(qiáng)迫功率振蕩特征。

文章通過將電網(wǎng)映射成彈簧網(wǎng)，研究了負(fù)荷擾動下強(qiáng)迫功率振蕩的特征，利用電網(wǎng)與彈簧網(wǎng)振蕩模態(tài)的對比分析，驗(yàn)證了彈簧網(wǎng)的合理性，為更好的研究強(qiáng)迫功率振蕩提供一種新的思路。

1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)及單自由度彈性系統(tǒng)

1.1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)分析

圖1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)Fig.1 A single-machine infinite-bus system

忽略線路損耗及分布電容，單機(jī)無窮大系統(tǒng)線性化后的運(yùn)動方程可表示為：

(1)

式中ΔPe=KΔδ，K=E′U/X∑cosδ0為同步力矩系數(shù)，M為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)，D為阻尼系數(shù)，Δδ為功角偏差。

忽略原動機(jī)功率變化，即令ΔPm=0，則式(1)又可以表示為：

(2)

特征方程為：

(3)

無阻尼時(shí)，系統(tǒng)固有振蕩頻率為：

(4)

設(shè)節(jié)點(diǎn)2處存在負(fù)荷波動，則有

ΔPe=KsΔδ+KpΔPd+KqΔQd

(5)

式中Ks與K類似，視為同步力矩系數(shù)，Kp、Kq為與負(fù)荷相關(guān)的系數(shù)[17]，ΔPd，ΔQd為負(fù)荷波動量。

若僅考慮有功負(fù)荷變化，即ΔQd=0，且滿足ΔPd=ΔPdmsin(ωt)，并將式(5)帶入式(1)后整理得：

(6)

上式為二階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由通解(自由振蕩)和特解(強(qiáng)迫振蕩)構(gòu)成[13]。設(shè)特解為Δδ=Bsin(ωt-φ)，將其代入式(6)可解得強(qiáng)迫功率振蕩振幅及相位：

(7)

(8)

式中υ=ω/ωn為頻率比，ζ=D/(2Mωn)為系統(tǒng)阻尼比。由式(7)可知，當(dāng)頻率比υ=1，即擾動頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，振幅最大，將會產(chǎn)生強(qiáng)迫功率振蕩。

1.2 單自由度彈性系統(tǒng)分析

單自由度彈性系統(tǒng)由質(zhì)量塊(質(zhì)點(diǎn))、彈簧、阻尼器、固定點(diǎn)構(gòu)成[19]，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 單自由度彈性系統(tǒng)Fig.2 Single degree of freedom elastic system

無擾動時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置。以平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸x，則根據(jù)牛頓定律可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

(9)

式中m為質(zhì)量，單位kg；c為阻尼系數(shù);k為彈性系數(shù)(剛度系數(shù))，單位N/m;p0sin(ωt)為周期性擾動。解得共振振幅與相位：

(10)

(11)

對比式(6)與式(9)，可得到如下映射關(guān)系：

文獻(xiàn)[20]中已定義彈簧彈性系數(shù)k和彈簧位移x：

(12)

x=θj-θi

(13)

式中Ui、Uj為線路首末端電壓幅值，θi、θj為其對應(yīng)相位，θij為相位差，XL為線路阻抗。

2 多機(jī)電力系統(tǒng)及多自由度彈性系統(tǒng)

2.1 多機(jī)電力系統(tǒng)分析

發(fā)電機(jī)采用二階模型，文獻(xiàn)[17]表明機(jī)組電磁功率的偏移可以表示為轉(zhuǎn)子角偏移和負(fù)荷擾動的函數(shù)，即：

(14)

式中i=1，2，…，n為對應(yīng)發(fā)電機(jī)臺數(shù)，Kij=?Pei/?δj為等效同步系數(shù)，Kpi為負(fù)荷有功功率機(jī)組分配因子，ΔPL為負(fù)荷擾動。

多機(jī)系統(tǒng)線性化后的運(yùn)動方程為：

(15)

忽略原動機(jī)機(jī)械功率變化，由式(14)、式(15)，整理后得到一個(gè)由多機(jī)系統(tǒng)構(gòu)成的常系數(shù)非齊次微分方程組：

(16)

針對小擾動下的電力系統(tǒng)低頻振蕩問題，通常是將線性化后的運(yùn)動方程表示成狀態(tài)方程形式，然后利用狀態(tài)方程系數(shù)矩陣獲取系統(tǒng)振蕩模態(tài)信息，并求解狀態(tài)變量[21]。故式(16)又可以改寫成狀態(tài)方程矩陣形式：

(17)

(18)

(19)

式(19)右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)自由振蕩項(xiàng)，與狀態(tài)變量的初值有關(guān)；第二項(xiàng)為強(qiáng)迫振蕩項(xiàng)，與擾動向量有關(guān)。由于阻尼的存在，系統(tǒng)自由振蕩項(xiàng)最終衰減為零。若擾動一直持續(xù)下去，則強(qiáng)迫振蕩項(xiàng)不隨時(shí)間衰減，表現(xiàn)為持續(xù)性的周期振蕩，只有當(dāng)擾動源消失，強(qiáng)迫振蕩才逐漸衰減至初始狀態(tài)，所以相比自由振蕩而言，強(qiáng)迫振蕩更值得關(guān)注。

設(shè)矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則有：

eAt=ΦeΛtΦ-1

(20)

式中Λ為矩陣A的特征值λi構(gòu)成的對角矩陣;Φ為矩陣A特征值對應(yīng)的特征向量;Φ-1為Φ的逆矩陣。電力系統(tǒng)中的負(fù)荷波動可以利用傅里葉變換將其分解成一系列的周期性函數(shù)組合，即可設(shè)擾動滿足：

B(t)=Bsin(ωt)

(21)

式中B=[B1B2…Bn]T，則由式(19)、式(20)及式(21)可解得強(qiáng)迫振蕩項(xiàng)：

xF(t)=ΦUi(ωt)Φ-1B

(22)

式中

(23)

(24)

式中σi和ωi為特征值λi所對應(yīng)的實(shí)部和虛部。由式(24)可以看出當(dāng)擾動頻率滿足ω=ωi時(shí)，ui(ωt)幅值最大，系統(tǒng)發(fā)生第i階強(qiáng)迫振蕩。

2.2 多自由度彈性系統(tǒng)分析

將電網(wǎng)模型映射成彈簧網(wǎng)模型，并在彈簧網(wǎng)模型中增加原發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢支路對應(yīng)節(jié)點(diǎn)，編號1，2，…，n；其余網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號n+1，n+2，…，n+m。如圖3所示，節(jié)點(diǎn)i，j受力分別為fi、fj，位移為xi、xj。類似于求解潮流過程中各節(jié)點(diǎn)注入有功功率增量：ΔP=(UiUj/XL)cosθijΔθij，彈簧網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)受力滿足：

圖3 彈性支路受力示意圖Fig.3 Strength schematic diagram of elastic branch

Δfi=fj-fi=k(xj-xi)=kΔxi

(25)

式中i=1，2，…，n+m。

將式(25)改寫成矩陣形式

(26)

(27)

將式(27)帶入到彈簧網(wǎng)質(zhì)量塊運(yùn)動方程可得：

(28)

式中i=1，2，…，n。對比式(16)與式(28)，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)學(xué)形式上具有一致性，采用類似求解式(16)的方法，以彈簧位移及位移導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，將式(28)改寫成狀態(tài)方程矩陣形式，通過求解狀態(tài)方程所對應(yīng)的系數(shù)矩陣即可得到系統(tǒng)的振蕩模態(tài)等信息，同樣得出在擾動頻率與系統(tǒng)固有頻率相同時(shí)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩，具體求解過程同上，這里不再詳述。

3 算例分析

3.1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)及單自由度彈性系統(tǒng)

設(shè)2號母線處發(fā)生有功負(fù)荷周期性擾動，擾動頻率等于系統(tǒng)有阻尼固有振蕩頻率ωd，擾動大小為總有功負(fù)荷10%。即：ΔPd=0.03sin(7.80t)，擾動時(shí)間0～10 s。發(fā)電機(jī)有功出力曲線如圖4所示。

圖4 單機(jī)無窮大系統(tǒng)發(fā)電機(jī)有功出力曲線Fig.4 Generator active output curve of single-machine infinite-bus system

單自由度彈性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5所示，由式(12)、式(13)，可得發(fā)電機(jī)支路、變壓器支路、線路彈性系數(shù)分別為：KM=3.570，KT=49.764，KL=3.280;質(zhì)量塊：m=M/ω0=0.025 5;阻尼系數(shù)：c=D/ω0=0.019 1。

圖5 單自由度彈性系統(tǒng)模型Fig.5 Single degree of freedom elastic system model

彈性系統(tǒng)振蕩模式：γ1，2=-0.375±8.050i，阻尼比：ζ=4.653，無阻尼振蕩頻率ωn=1.282 Hz，有阻尼振蕩頻率ωd=1.280 Hz。

施加如圖5所示擾動，擾動大?。害L=0.03sin(8.05t)，擾動時(shí)間0～10s，質(zhì)量塊所受拉力如圖6所示。

圖6 單自由度系統(tǒng)質(zhì)塊受力曲線Fig.6 Mass stress curve of single degree of freedom system

3.2 多機(jī)電力系統(tǒng)及多自由度彈性系統(tǒng)

多機(jī)電力系統(tǒng)采用IEEE 4機(jī)2區(qū)模型，發(fā)電機(jī)采用二階模型。阻尼系數(shù)D=6 s，詳細(xì)參數(shù)見文獻(xiàn)[22]，計(jì)算過程中均已將各自額定容量下的參數(shù)折算到100 MW系統(tǒng)基準(zhǔn)容量下。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)Fig.7 Four-machine two-area system

對圖7所示系統(tǒng)進(jìn)行小干擾穩(wěn)定分析，PSASP計(jì)算結(jié)果如表1所示。該系統(tǒng)具有3個(gè)機(jī)電振蕩模式，以模式1為例，在負(fù)荷Load_1處施加正弦擾動：ΔPL1=0.05sin(6.62t)，擾動時(shí)間0～10 s，誘發(fā)系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)迫功率振蕩，振蕩結(jié)果如圖8所示。

圖8 四機(jī)兩區(qū)系統(tǒng)發(fā)電機(jī)出力曲線Fig.8 Generator active output curve of four-machine two-zone system

圖9 4機(jī)2區(qū)彈性系統(tǒng)模型Fig.9 Four-machine two-area elastic system model

圖10 四機(jī)兩區(qū)彈性系統(tǒng)質(zhì)塊受力曲線Fig.10 Mass stress curve of four-machine two-zone elastic system

從表1、表3可以看出，多機(jī)系統(tǒng)電網(wǎng)振蕩模式與映射彈簧網(wǎng)振蕩模式具有一致性，二者無論振蕩頻率還是衰減阻尼比均十分接近。以模式1為例，電網(wǎng)與彈簧網(wǎng)振蕩頻率均在1 Hz以上，滿足局部振蕩對應(yīng)頻率1～2 Hz范圍，從圖8中可以看出，1、2號發(fā)電機(jī)組功率振蕩較大，3、4號機(jī)組功率振蕩較小，符合局部振蕩特征。圖10中，1、2號質(zhì)量塊受力振蕩幅值顯著大于3、4號質(zhì)量塊受力，同樣表現(xiàn)為局部振蕩特征，二者振蕩模式相對應(yīng)。

表1 4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定結(jié)果Tab.1 Result of small signal stability of four-machine two-area system

表2 彈簧網(wǎng)各支路彈性系數(shù)Tab.2 Elasticity coefficient of spring network branches

表3 4機(jī)2區(qū)彈性系統(tǒng)線性化結(jié)果Tab.3 Linearization result of four-machine two-area elastic system

以上算例表明，無論是單機(jī)無窮大系統(tǒng)與單自由度彈性系統(tǒng)，還是多機(jī)系統(tǒng)和多自由度彈性系統(tǒng)，映射后的彈性系統(tǒng)模型均能較為準(zhǔn)確的反映原電網(wǎng)的振蕩模式。

4 結(jié)束語

周期性負(fù)荷擾動能夠誘發(fā)系統(tǒng)振蕩，機(jī)組數(shù)量增多，系統(tǒng)振蕩模式隨之增加，當(dāng)負(fù)荷擾動頻率接近或等于某一系統(tǒng)固有振蕩頻率時(shí)，將會導(dǎo)致系統(tǒng)中某些機(jī)組產(chǎn)生強(qiáng)烈的功率波動。文中從理論上分析了電網(wǎng)與彈簧網(wǎng)之間的映射關(guān)系，提出了一種由彈簧網(wǎng)求解系統(tǒng)振蕩模態(tài)的方法，從力學(xué)角度解釋了電力系統(tǒng)中強(qiáng)迫功率振蕩現(xiàn)象。由于彈性系數(shù)矩陣易形成的特點(diǎn)，利用彈簧網(wǎng)，僅需要知道系統(tǒng)的電壓及相角即可得到由彈性系數(shù)構(gòu)成的系數(shù)矩陣，從而得到關(guān)于整個(gè)系統(tǒng)的振蕩模態(tài)信息，相比用電網(wǎng)模型更加簡便實(shí)用。仿真算例進(jìn)一步驗(yàn)證了彈簧網(wǎng)模型與電網(wǎng)模型具有一致性。該方法為研究低頻振蕩提供了一種新的思路，具有一定的參考價(jià)值。