華維燦，孫剛，王貴君

(1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；2.湖南工學(xué)院理學(xué)院，湖南 衡陽 421002)

0 引 言

在復(fù)雜客觀事物評價中，由于專家的學(xué)術(shù)經(jīng)驗、能力水平和客觀考量等存在差異，決策者往往需要將多個專家的多屬性指標(biāo)評價信息集成為綜合指標(biāo)信息，形成群體決策。目前，針對多屬性指標(biāo)信息的群體評價已有諸多理論框架和決策方法。然而，在實際問題中對專家的初始評價值僅通過一次集成難以獲得滿意的決策方案，往往需要不斷修正評價過程中的權(quán)重向量和交互，將信息集成后，才可最終獲得滿意的決策方案。

TORRA[1]基于閉區(qū)間[0，1]上多個可能的隸屬度提出了反映專家評價信息的猶豫度概念，并引入了猶豫模糊集（hesitant fuzzy set，HFS）概念。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對HFS理論及其應(yīng)用開展了大量研究，并取得諸多研究成果。由于傳統(tǒng)模糊集僅考慮隸屬度，為同時兼顧非隸屬度對決策的影響，ZHU等[3]結(jié)合直覺模糊集（IFS）和HFS的定義引入了對偶猶豫模糊集（DHFS）。劉衛(wèi)峰等[4]結(jié)合畢達(dá)哥拉斯模糊集（PFS）和HFS引入了猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集（HPFS），從而對HFS進(jìn)行了推廣。為了更準(zhǔn)確描述決策者的猶豫心理，XU等[5]提出了概率猶豫模糊集（probabilistic hesitant fuzzy set，PHFS）概念，在HFS基礎(chǔ)上增加了每個隸屬度的概率值信息，從而更細(xì)致地表現(xiàn)決策者對不同隸屬度的偏好[5-8]。實際上，PHFS不僅在猶豫性上增加了隸屬度數(shù)量，而且考慮了其概率，同時兼顧不同專家對隸屬度的偏好，在群體決策問題中具有廣闊應(yīng)用前景。WU等[9]基于PHFS對動態(tài)突發(fā)事件應(yīng)急處理問題提出了GM（1，1）模型，并給出了一種TOPSIS決策方法。梁玉英[10]、武文穎等[11]分別通過引入概率猶豫模糊信息集成算法和概率猶豫模糊加權(quán)Maclaurin幾何平均算子給出了新的群體決策方法。上述算法對進(jìn)一步研究概率猶豫模糊集理論及其應(yīng)用具有重要意義。

此外，交互式群體評價可通過修正專家權(quán)重最終達(dá)成群體一致的決策方案。ZENG等[12]根據(jù)專家個體評價與群體間的相似度確定專家權(quán)重，并基于直覺模糊相似度提出了交互式群體評價方法。LIAO等[13]在權(quán)重不完全的猶豫模糊環(huán)境下基于滿意度提出了一種交互式?jīng)Q策方法。杜鵑等[14]通過不斷修正多屬性指標(biāo)的權(quán)重向量研究了交互式迭代群體決策方法，并討論了起點相等的屬性權(quán)重及其迭代過程。袁宇翔等[15]針對不確定語言變量提出了多粒度語言信息轉(zhuǎn)換函數(shù)概念及交互式多屬性群體決策方法。WANG等[16-17]基于折線模糊數(shù)的有序表示對物流運(yùn)輸提出一種TOPSIS方法。本文主要目的是通過猶豫模糊數(shù)（hesitant fuzzy number，HFN）的概率化表示和相似度建立多屬性交互式群體決策方法。概率猶豫模糊數(shù)（probability hesitant fuzzy number，PHFN）通過對猶豫模糊數(shù)的每個隸屬度添加相應(yīng)的概率描述模糊信息，交互式群體決策則通過引入?yún)f(xié)商機(jī)制和不斷修正評價信息達(dá)到群體偏好意見一致。因此，在PHFN環(huán)境下交互式群體決策算法更具優(yōu)越性。本文在概率猶豫模糊環(huán)境下通過改進(jìn)漢明距離（Hamming distance）和相似度，依據(jù)概率猶豫模糊矩陣（probability hesitant fuzzy matrix，PHFM）相似度提出了交互式群體評價方法，并用實例說明該方法的有效性。

1 概率猶豫模糊數(shù)

2 PHFN的得分函數(shù)和相似度

分別按定義9和定義10計算3組標(biāo)準(zhǔn)化PHFN的距離測度，結(jié)果如表1所示，可知，定義10更具優(yōu)越性。

表1 3組標(biāo)準(zhǔn)化PHFN的距離測度對比Table 1 Comparison of distance measures of three standardized PHFN

3 交互式群體決策方法

4 實例分析

高等教育水平是衡量國家發(fā)展水平和潛能的重要標(biāo)志，辦好高等教育和加快“雙一流”大學(xué)建設(shè)是事關(guān)國家發(fā)展和民族未來的戰(zhàn)略任務(wù)。為提升我國高等教育水平，定期對一線教師實施教學(xué)質(zhì)量評價很有必要。

例如，某省教育廳聘請3名專家對所轄5所高等師范院校進(jìn)行教學(xué)質(zhì)量評價，設(shè)置4個屬性指標(biāo)：教學(xué)態(tài)度(c1)、教學(xué)技能(c2)、教學(xué)水平(c3)和科研水平(c4)。專家集為{l1，l2，l3}，方案集為{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}，屬性集為 {c1，c2，c3，c4}，評價值用PHFN形式表示，3位專家的初始評價矩陣R（k）分別見表2～表4。

表2 專家l1的初始評價矩陣R(1)Table 2 The initial evaluation matrixR(1)given by the expertl1

表3 專家l2的初始評價矩陣R(2)Table 3 The initial evaluation matrixR(2)given by the expertl2

表4 專家l3的初始評價矩陣R(3)Table 4 The initial evaluation matrixR(3)given by the expertl3

表5 集成后群體評價矩陣RTable 5 Comprehensive evaluation matrixRafter integration

表6 修正權(quán)重后專家群體綜合評價矩陣R′Table 6 Comprehensive evaluation matrixR′of expert group after modifying weight

進(jìn)一步，將本文方法與文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[10]的方法進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[5]是在概率猶豫模糊環(huán)境下利用猶豫概率模糊偏好關(guān)系和模糊Hausdorff距離給出的決策方法。文獻(xiàn)[10]是基于概率猶豫模糊Frank加權(quán)平均算子提出的多屬性群體決策方法。二者的本質(zhì)區(qū)別在于采用的距離測度和相似度（相似度矩陣）公式不同，但最終均歸結(jié)為計算得分函數(shù)值，且依據(jù)得分函數(shù)值的大小對備選方案進(jìn)行排序，從而得到最優(yōu)方案。3種方法下5所高等師范院校教學(xué)質(zhì)量Yi對應(yīng)的綜合評價值（得分函數(shù)）和綜合排序見表7。

表7 3種方法下高等師范院校教學(xué)質(zhì)量Yi對應(yīng)的綜合評價值（得分函數(shù)）和綜合排序的比較Table 7 Comparison of the score function and comprehensive ranking obtained by three methods

由表7可知，3種方法下高等師范院校{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}對應(yīng)的綜合評價值（得分函數(shù)）雖然不同，但綜合排序中最優(yōu)方案和第二方案相同。由于3種方法的計算公式不同，造成后方案Y3，Y4，Y5的排序不同。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[10]的方法均未考慮專家初始權(quán)重的穩(wěn)定性和猶豫性。通常，專家的初始評價值僅通過一次集成難以獲得滿意的決策方案，需不斷修正權(quán)重向量并完成幾次交互集成信息方可最終獲得滿意的決策方案。本文方法克服了文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[10]的方法缺陷，所得決策方案更合理，因此綜合排序結(jié)果Y1?Y2?Y5?Y3?Y4最優(yōu)，表明本文提出的交互式群體決策方法具有優(yōu)勢。

5 結(jié) 論

用PHFN刻畫多屬性指標(biāo)信息，從而提高綜合評價精度，PHFN不僅能體現(xiàn)專家評價時的猶豫心理，而且能減少專家評價信息的丟失。此外，基于PHFWA算子和PHFM相似度，給出了交互式群體決策方法。本文方法不僅將交互式群體評價方法推廣至PHFN空間，而且克服了傳統(tǒng)群體決策方法的部分缺陷。然而，如何根據(jù)PHFM相似度優(yōu)化修正權(quán)重是下一步重點關(guān)注的問題。