◎孟 巍

(吉林省德惠市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，吉林 德惠 130300)

一、試題呈現(xiàn)

案例1如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，則直線PC與AB所成角的大小是________.

圖1

案例2如圖2，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求直線AE與CF所成角的余弦值.

圖2

二、解法展示

以上兩個(gè)案例是求異面直線夾角的經(jīng)典問題，解決異面直線夾角問題一般有三種方法，分別是幾何法、坐標(biāo)法和向量法.

(一)作輔助線，平移直線構(gòu)夾角

案例1中，運(yùn)用幾何法，首先借助三角形的中位線定理作出兩條輔助線EF和FG，將異面直線PC與AB的夾角轉(zhuǎn)化為直線FE與FG的夾角(或其補(bǔ)角).然后構(gòu)造兩條輔助線EG和AG，根據(jù)勾股定理及余弦定理求得四條輔助線的長度，從而求得角度.

解取PA中點(diǎn)E，PB中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，EG，如圖3.

圖3

∵EF，F(xiàn)G分別是△PAB，△PBC的中位線，

∴EF∥AB，F(xiàn)G∥PC，

∴∠EFG(或其補(bǔ)角)就是異面直線AB與PC所成的角.

連接AG，設(shè)PA=AC=BC=2，

則CG=AE=1.

∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥AG，

根據(jù)余弦定理可得∠EFG=120°,

則異面直線AB與PC所成角的大小為60°.

(二)建坐標(biāo)系，計(jì)算坐標(biāo)推向量

案例2中，運(yùn)用坐標(biāo)法，首先選取底面菱形對(duì)角線的交點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)來建立直角坐標(biāo)系，然后連接EG,通過兩次勾股定理的運(yùn)用得到EB的長度，再根據(jù)DF與EB的關(guān)系確定E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用向量法求夾角的余弦值.

解如圖4,以底面菱形對(duì)角線的交點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

圖4

設(shè)GB為單位長度1，

(三)構(gòu)造回路，轉(zhuǎn)化向量解夾角

案例1設(shè)PA=AC=BC=a，

=a2,

故直線PC與AB所成角的大小為60°

案例2設(shè)AB=2.

=-3,

三、解后反思

(一)巧構(gòu)回路，優(yōu)化學(xué)生思維

教師應(yīng)該重視介紹和引導(dǎo)學(xué)生用“回路 ”向量法來思考和分析問題，因?yàn)樽プ?“回路 ”和選好 “回路 ”往往是解決不易解決或較難建立坐標(biāo)系的異面直線夾角問題的關(guān)鍵與契機(jī).通過構(gòu)造回路，學(xué)生能得到有關(guān)聯(lián)的向量積形式，從而直接算出結(jié)果.這種方法能優(yōu)化學(xué)生的思維，巧妙構(gòu)造回路的過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的過程.

(二)提升素養(yǎng)，回歸向量本質(zhì)

案例3在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則直線BM與AN所成角的余弦值為( ).

解設(shè)BC=CA=CC1=m.

所以選C.

(三)拓展應(yīng)用

圖5

解法1(坐標(biāo)法)

設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為r，R.

∵πr2=9π，∴r=3.

∵πR2=36π，∴R=6.

過點(diǎn)B1作B1H⊥AB于點(diǎn)H，如圖6，則HB=3，

圖6

∵二面角B1-AA1-C1是直二面角，

∴建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖7，

圖7

=-9，

核心素養(yǎng)中提出要培育學(xué)生的直觀想象能力，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí).向量作為幾何和代數(shù)之間的橋梁，在研究幾何中有著重要的作用.向量語言可以解決數(shù)學(xué)中的一些問題，向量中最基本的法則是三角形法則，也就是上文所說的回路.所以回路法也是一種回歸基礎(chǔ)、回歸本質(zhì)的方法，它既是平面向量教學(xué)的起點(diǎn)，又是空間向量教學(xué)的起點(diǎn).通過構(gòu)造回路建立起向量和幾何之間的關(guān)系，學(xué)生可以用向量來解決幾何問題.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是所有教師共同的目標(biāo)，通過構(gòu)造回路，學(xué)生能在理解向量本質(zhì)的同時(shí)提升核心素養(yǎng).