◎毛明合

(甘肅省莊浪縣頡崖中學(xué)，甘肅 平?jīng)?744609)

引 言

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容有著十分顯著的抽象特征和邏輯特征，這使得初中生在學(xué)習(xí)過程中會遇到各種各樣的問題，進而影響他們的學(xué)習(xí)效率.另外，新課程改革和素質(zhì)教育強調(diào)，初中數(shù)學(xué)教師不僅要教授基礎(chǔ)知識與技能，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與綜合素養(yǎng)，以此促使他們?nèi)姘l(fā)展.因此，數(shù)學(xué)建模能力是初中生必備的能力，它可以幫助初中生更好地將知識與生活進行聯(lián)系.

一、對數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵和價值的解讀

(一)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

隨著社會的發(fā)展、科技的進步、工業(yè)領(lǐng)域的不斷擴張，市場對綜合型、實用型人才的需求愈發(fā)緊迫，因此培養(yǎng)優(yōu)秀的人才成為當(dāng)前教學(xué)工作的重點.這種情況下，教育從業(yè)者有責(zé)任也有義務(wù)挖掘各個學(xué)科的教育核心，將培養(yǎng)素質(zhì)型人才當(dāng)作教學(xué)工作的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景的一種數(shù)學(xué)能力，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提保證.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和能力，有助于學(xué)生的綜合發(fā)展，也符合當(dāng)前的教育標(biāo)準(zhǔn).所謂數(shù)學(xué)建模，就是指學(xué)生根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)模型進行求解的過程.數(shù)學(xué)建模主要被應(yīng)用于下面這種情況：當(dāng)需要從定量的角度對實際問題進行分析和研究時，相關(guān)人員就會進行深入的調(diào)查，了解研究對象，再做出簡單的假設(shè)，分析內(nèi)在規(guī)律，最終求出答案.在初中數(shù)學(xué)教育工作中，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)分支，它用數(shù)學(xué)符號、公式及程序等內(nèi)容，對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性進行簡單且抽象的刻畫，既能反映某種知識上的規(guī)律，又能將知識與生活相聯(lián)系，或者在某種特定的環(huán)境下為學(xué)生提供更加方便的學(xué)習(xí)方式和解題步驟，以此將抽象的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實問題相聯(lián)系，這種從實際問題中提取數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)研究的是數(shù)量關(guān)系和空間形象的知識，被廣泛地應(yīng)用到解決各種各樣的社會問題中，有著十分強大的抽象性、邏輯性和完整性.數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教育工作中的應(yīng)用主要有模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析及模型檢驗多個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)之間相互聯(lián)系.

(二)數(shù)學(xué)建模的價值

數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教育工作中的應(yīng)用有著十分重要的價值，它不僅可以促使學(xué)生更加清晰地掌握知識，還能促進他們的全面發(fā)展.首先，數(shù)學(xué)建?？梢詭椭鷮W(xué)生更加深刻地理解基礎(chǔ)知識.初中數(shù)學(xué)知識有著十分顯著的抽象性，例如函數(shù)、方程等知識，對于學(xué)生而言，這些知識是相對抽象的，這是因為初中生的邏輯思維能力和抽象理解能力較差.數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用可以使初中生更加直觀地感受數(shù)學(xué)知識，將這些抽象的概念轉(zhuǎn)化為易理解的數(shù)學(xué)公式和幾何圖形，以此來提高他們的理解能力.其次，數(shù)學(xué)建?？梢詭椭鷮W(xué)生提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識.數(shù)學(xué)建模能力的形成與發(fā)展，會促使學(xué)生自主地將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到現(xiàn)實生活中，通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，解決現(xiàn)實生活中的難題，以此培養(yǎng)其應(yīng)用能力.最后，數(shù)學(xué)建模可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，發(fā)散他們的思維.在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生既可以將抽象的問題具體化，又可以將具體的問題抽象化，進而掌握多種多樣的解題方法.

二、目前常見的數(shù)學(xué)建模的類型解讀

(一)方程建模

方程建模是數(shù)學(xué)建模的一種，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想在方程方面的應(yīng)用.所謂“方程建?！?，就是一種基于變量的方差矩陣，也是一種借助變量之間的關(guān)系進行統(tǒng)計的過程，更是一種多元數(shù)據(jù)分析的主要工具.眾所周知，方程是一種含有未知數(shù)的等式，等號左右兩邊的數(shù)量相等，解決方程問題最重要的就是通過計算和檢驗得出未知數(shù)的具體數(shù)值.方程在數(shù)學(xué)問題中很常見，生活中也有很多問題需要運用方程思想加以解決，只有掌握建立方程的思想，才能根據(jù)各個要素之間的關(guān)系，計算出未知要素的具體數(shù)字.由此可見，方程建模具有很大的現(xiàn)實意義.在初中數(shù)學(xué)教材中，方程建模的主要原理是將多個方程組合在一起，并對這些方程進行綜合的研究，使其中的未知量可以同時滿足多個方程之間的平衡關(guān)系，進而建立一個研究數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.例如，銀行利率及航行問題等，都可以用方程建模的形式來解答.方程建模的構(gòu)建必須符合以下兩個要求：第一，該數(shù)學(xué)模型必須同時處理多個因變量，考慮其中多個未知量，確保數(shù)學(xué)模型的建立可以逐一“擊破”其中的變量，找尋最終的未知量.第二，該數(shù)學(xué)模型的建立允許自變量和因變量之間存在誤差.

(二)不等式建模

方程是等式關(guān)系，而不等式則是將兩個完全不相等的式子借助不等號建立關(guān)系.不等式思想可以幫助學(xué)生解決現(xiàn)實中的問題.可以這樣說，不等式建?？梢詭椭鷮W(xué)生將數(shù)學(xué)理論運用到實踐當(dāng)中，這對于數(shù)學(xué)教學(xué)具有十分重要的意義.初中數(shù)學(xué)所涉及的內(nèi)容有很多沒有具體的數(shù)值，例如生活中的產(chǎn)品價格和市場營銷等問題.大多數(shù)情況下，這種題型需要學(xué)生建立不等式，以此表明未知量與已知量之間的關(guān)系，進而更加清晰地進行比較.因此，數(shù)學(xué)教師可以在平時的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生不等式建模的思想和能力.初中數(shù)學(xué)中的不等式模型主要分為比較模型、物理模型、化學(xué)模型、建筑模型及環(huán)保模型等，其中比較模型是最常見的，也是應(yīng)用最方便的一種模型，它主要用來對比數(shù)值的大小，以此明確解題的方法.

(三)幾何建模

幾何是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大分支，在數(shù)學(xué)中占有很高的比重，學(xué)生要想提升數(shù)學(xué)成績，必須學(xué)好立體幾何知識.立體幾何在小學(xué)涉及很少，因此，很多學(xué)生的想象思維能力不強，在轉(zhuǎn)化抽象概念時存在一定的局限性，所以，教師在教學(xué)時必須將難度降低，考慮學(xué)生的實際水平，運用有效的方式幫助學(xué)生將圖形與實物建立起聯(lián)系.這也就要求教師必須將幾何建模思想滲透到日常教學(xué)當(dāng)中.所謂“幾何建模”，就是運用物體的描述和表達，建立一種有關(guān)幾何信息和拓撲信息的模型.這種思想在實際生活中也有廣泛的應(yīng)用.日常生活中的絕大多數(shù)物體都是空間物體，因此，我們可以將其看作立體幾何圖形.脫離物體本身的顏色、材料、功能等因素去看待物體本身的結(jié)構(gòu)，可以幫助人們處理各種各樣的問題，例如建筑問題、運輸問題等.幾何建模是一種重要的數(shù)學(xué)建模，教師在講授立體幾何這部分知識時，可以化繁為簡，讓學(xué)生將幾何知識與生活建立聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生幾何建模的思想，使其能運用幾何建模找到原型并解決幾何問題.幾何問題在初中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)主要分為三種：三角測量、工程測量及植物栽培.

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模能力的措施

(一)聯(lián)系實際生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識

數(shù)學(xué)建模并不是單純意義上的數(shù)學(xué)知識，它與實際生活相關(guān)，涉及生活中與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的各種內(nèi)容.在傳統(tǒng)教育理念下，大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教師為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，往往過于注重對基礎(chǔ)知識與技能的講解，在很大程度上忽視了將數(shù)學(xué)知識與實際生活相聯(lián)系，使學(xué)生只能被動地接受知識，沒有形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.對此，初中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力時，應(yīng)該增強學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，以此確保他們可以更加積極主動地應(yīng)用建模知識和技能.具體地，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在課堂上聯(lián)系實際生活，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)知識，感受數(shù)學(xué)知識的魅力，進而不斷提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認知，并拓展他們的生活閱歷.除此之外，初中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)該從學(xué)生的實際情況出發(fā)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置與生活相關(guān)聯(lián)的模型構(gòu)建任務(wù)，如社會中的時事熱點，以此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識.

以人教版八年級下冊“函數(shù)”一課為例，教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個與實際生活密切相關(guān)的模型構(gòu)建任務(wù)：甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應(yīng)關(guān)系如圖1所示.①A，B兩城相距多遠？②哪輛車先出發(fā)？哪輛車先到B城？③甲、乙兩車的平均速度為多少？④你還能從圖中得到哪些信息？

圖1

教師可以通過聯(lián)系實際生活，降低學(xué)生理解的難度.由于汽車與實際生活息息相關(guān)，因此學(xué)生能夠快速地沉浸到所創(chuàng)設(shè)的情境當(dāng)中，這不僅能激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，使其產(chǎn)生進一步研究的興趣，還能通過構(gòu)建情境，滲透數(shù)學(xué)模型的意識，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，進而讓學(xué)生在這種更加貼近實際生活的問題情境中，了解數(shù)學(xué)建模的意義.學(xué)生帶著建模思想，根據(jù)圖中的信息，找尋已知條件，例如哪輛車先出發(fā)，哪輛車先到B城，這些信息在構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型中都有所描述，該數(shù)學(xué)模型屬于函數(shù)模型.

(二)創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣

所謂“教學(xué)情境”，是指教師按照一定的認知規(guī)律，結(jié)合教材內(nèi)容，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)的生動形象的情境.情境創(chuàng)設(shè)的目標(biāo)是提高學(xué)生的情感和態(tài)度體驗，讓他們身臨其境地感受教學(xué)內(nèi)容，以此提高教學(xué)質(zhì)量.情境教學(xué)在現(xiàn)代課堂中有著廣泛的應(yīng)用，教師通過創(chuàng)設(shè)情境呈現(xiàn)教材中的知識，將數(shù)學(xué)問題以實際場景的形式還原出來.創(chuàng)設(shè)問題情境的主要方法是教師先將教材中的知識設(shè)計成多個問題，再在課堂上以提問的方式傳遞給學(xué)生，讓他們在問題的推動下，更加自主地探索某些知識.因此，初中數(shù)學(xué)教師要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，就應(yīng)該激發(fā)他們的構(gòu)建興趣，進而促使他們可以更加積極主動地進行數(shù)學(xué)模型的建構(gòu).所以，在課堂上，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)靥岢鼋虒W(xué)問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，讓他們在興趣和欲望的指引下，更加精心地構(gòu)建模型，提高認知能力.

以人教版九年級上冊“實際問題與二次函數(shù)”一課為例，教師為學(xué)生精心設(shè)計數(shù)學(xué)建模問題(教材中第49頁的習(xí)題)：從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h=30t-5t2，求小球運動的時間是多少時，小球最高.隨后，教師將學(xué)生分為多個小組，讓他們對該問題進行探究，找出其中的變量和數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，如圖2所示，以此激發(fā)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的興趣，并讓他們根據(jù)數(shù)學(xué)模型來判斷小球運動的軌跡.

圖2

(三)注重發(fā)散思維，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思路

初中數(shù)學(xué)教學(xué)有必要將培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)作為課堂教學(xué)的核心，以此實現(xiàn)教育事業(yè)的進步.發(fā)散思維是一種創(chuàng)新型的思想，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、促進個體綜合發(fā)展的重要思想，因此，教師在教學(xué)時，可以將培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維貫串始終.例如，在講解數(shù)學(xué)概念與公式時，教師可以運用現(xiàn)代技術(shù)手段轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教學(xué)方式，提高課堂質(zhì)量，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，開發(fā)智力水平，學(xué)會舉一反三，并能利用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，以此更加快速、有效地分析和解決問題.思維是一種主觀意識，教師要想最大限度地開發(fā)學(xué)生的思維能力，就必須改變傳統(tǒng)的課堂結(jié)構(gòu)，尊重學(xué)生的個體意愿和現(xiàn)實情況，以學(xué)生為課堂的關(guān)鍵.只有這樣，學(xué)生才能調(diào)動主觀意識，進行自主學(xué)習(xí).首先，教師應(yīng)該改變傳統(tǒng)的教育理念，從灌輸式或說教式的教學(xué)模式中解放出來，在課堂上充分尊重學(xué)生的主體地位和創(chuàng)造性，比如開展合作學(xué)習(xí)活動或者其他課堂活動，提升學(xué)生的課堂參與度，通過活動，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的能力，以此達到主觀的靈活性，為他們思維能力的發(fā)展提供時間和空間，進而促進他們?nèi)姘l(fā)展.另外，教師還可以創(chuàng)新課堂設(shè)計，讓學(xué)生率先預(yù)習(xí)，然后帶著課堂任務(wù)進行探究，最后讓學(xué)生展示自己的學(xué)習(xí)過程．在這一過程中，學(xué)生既鍛煉了口語表達能力，加強了實踐技能，鞏固了課堂知識，又在實踐中形成了自己的見解.這就要求初中數(shù)學(xué)教師要注重對學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，在課堂上改變將知識全盤托出的教學(xué)方法，利用啟發(fā)式或問題式的教學(xué)方法，進而利用學(xué)生的“頭腦風(fēng)暴”，讓他們以“自主，合作，探究”的形式，不斷提高自身的發(fā)散思維能力和想象能力，將一個數(shù)學(xué)知識點與其他多個數(shù)學(xué)知識點相聯(lián)系，進而在多個知識點之間建立聯(lián)系，不斷拓展他們數(shù)學(xué)建模能力的思路.其次，教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)亻_展專題學(xué)習(xí)課程，對初中數(shù)學(xué)知識中的難點和重點進行講解，引導(dǎo)學(xué)生善于挑戰(zhàn)自己，讓他們積極運用數(shù)學(xué)建模思想，并告知他們應(yīng)先判斷數(shù)學(xué)問題的類型，再選擇對應(yīng)的模型，例如函數(shù)問題，應(yīng)該建立函數(shù)模型，以此提高他們的建模能力.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)建模對于初中生而言是十分必要的能力，它可以幫助他們更加深刻地掌握數(shù)學(xué)知識與技能，并且更高效地將這些內(nèi)容應(yīng)用到現(xiàn)實生活中．對此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該分析數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與意義，制定相應(yīng)的培養(yǎng)策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，激發(fā)他們學(xué)習(xí)建模知識的興趣，以此促使數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的有效提升.