劉遠(yuǎn)桃

數(shù)字“1”，簡(jiǎn)單而又神秘.在解數(shù)學(xué)題時(shí)，巧妙地進(jìn)行“1”的代換，可快速求解證明題.下面，我們結(jié)合幾個(gè)例題來(lái)探討一下如何巧妙地進(jìn)行“1”的代換.

一、乘（除）“1”

我們知道，任何數(shù)乘（除）以“1”等于任何數(shù).若某個(gè)代數(shù)式等于1，則可將所證目標(biāo)式或者某個(gè)代數(shù)式乘（除）以“1”，這樣不僅不會(huì)改變目標(biāo)式或者代數(shù)式的大小，還會(huì)改變目標(biāo)式或者代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、形式，這便給我們解題帶來(lái)了新的契機(jī).通過(guò)通分、約分、正負(fù)相消等，化簡(jiǎn)目標(biāo)式或者代數(shù)式，即可證明結(jié)論.

二、將等于“1”的式子代入求解

該思路比較簡(jiǎn)單，只需根據(jù)解題需求，將等于“1”的代數(shù)式直接代人目標(biāo)式或者某個(gè)代數(shù)式中進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)用一些相關(guān)的定理、法則、公式等，即可證明結(jié)論.

三、變換等于“1”的式子，再代入求解

變換等于“1”的式子，一般難度較大.往往需要根據(jù)解題需求，將等于1的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危鐪愊禂?shù)、乘（除）以某一常數(shù)、拆項(xiàng)、添項(xiàng)等，使等于1的代數(shù)式變形為方便解題的式子.

將不等式左邊的式子化簡(jiǎn)為只含有?；?的式子，再來(lái)求最小值，這與例1的證明思路相同，這也是證明這種題型的常規(guī)思路，理論上說(shuō)可行，但就此題而言，這種證明方法卻較為繁瑣，主要有兩個(gè)原因：一是a與b的表達(dá)式比較復(fù)雜，二是代人的式子本身比較復(fù)雜，因此不能同例1那樣直接乘“1”，而是要變“1”，采用整體思想，進(jìn)行代人和換元，把式子轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)未知數(shù)的形式，再來(lái)求最小值.

四、構(gòu)造出等于“1”的式子，再代入求解

要構(gòu)造出等于“1”的式子，需根據(jù)解題需求、已知條件、相關(guān)的公式、定理、法則等構(gòu)造出等于1的代數(shù)式，然后將其代人題設(shè)中進(jìn)行求解. 此題有一定難度.首先設(shè)a+b+c+d=1，這便構(gòu)造出等于“1”的式子，再運(yùn)用琴生不等式進(jìn)行證明即可.這種證明方法在證明不等式時(shí)應(yīng)用廣泛，不失為一種具有普遍意義的解題方法.

通過(guò)上述分析，不難發(fā)現(xiàn)“1”在解題中能發(fā)揮巨大的作用，但數(shù)字“1”是比較容易被忽視的，忽視它往往就會(huì)錯(cuò)失了解題的重要依據(jù).這也給我們一個(gè)啟示：在解題過(guò)程中要仔細(xì)審題，深入挖掘隱含條件，尤其要關(guān)注等于“1”的式子，找到過(guò)程最簡(jiǎn)潔的解題方案.

（作者單位：貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）