孫明松

【摘要】本文通過例題講解的方式闡述初中數(shù)學教學中“圓”的有關(guān)性質(zhì)的問題、圓的作用的問題、點與圓的位置關(guān)系、有關(guān)圓內(nèi)弦的問題，通過詳細的解題過程、解題點評來讓學生加深對本節(jié)內(nèi)容的學習和領(lǐng)悟.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;平面圖形;圓

圓是一個比較特殊的平面圖形，由曲線組成，不僅是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉(zhuǎn)不變性，基于圓的這些特性，再加上同其它知識點之間的聯(lián)系，關(guān)于圓的題型比較多，綜合性也較強，不少學生在解題過程中極易遇到障礙或者困境，往往不知道從何處著手，教師應(yīng)根據(jù)具體題目為其傳授一些常用的解題技巧，提高他們解決圓類試題的能力.

1 有關(guān)圓性質(zhì)的問題求解技巧

例題

已知一直徑是AB的圓O，圓內(nèi)有一條弦是CD，且AB通過弦CD的中點M點，將BD與OC連接起來，如果∠BOC是40°，請求出∠ABD的大小.

解題過程

結(jié)合題目中提供的信息能夠判斷出∠BDC與∠BOC二者分別是弧BC所對圓周角與圓心角，這樣就可以結(jié)合已知條件以及圓周角定理來求出∠BDC的大小是20°;又因為CD與AB是垂直關(guān)系，所以能夠知道△BDM本身就是一個直角三角形，結(jié)合直角三角形內(nèi)除直角外其它兩個角是互余關(guān)系，能夠快速求解出∠ABD度數(shù)的大小是70°.

解題點評 處理該道與圓相關(guān)的問題時，學生可先思考要用到的一些定理，如圓周角定理、垂徑定理等，再對相關(guān)圖形中線段間的位置關(guān)系進行仔細分析，由此快速確定求解思路.

2 有關(guān)圓特征的問題求解技巧

例題

現(xiàn)有某一個內(nèi)接有△ABC的圓O，點D位于CA延長線的上面，如果∠BOC=120°，試求∠BAD的大小.

解題過程

根據(jù)題干中已知信息給定的∠BAC對應(yīng)長弧BC及圓心角就可以確定∠BAC的度數(shù)，即為∠BAC=12×（360°-120°）=12×240°=120°，繼而能夠求出∠BAD的度數(shù)，即為∠BAD=180°-120°=60°.

解題點評 本題主要涉及的是圓弧、圓心角這幾個圓的特征，處理這道問題時要注意深入挖掘這些關(guān)鍵信息，然后通過對彼此之間的相關(guān)性展開分析，快速確定解決該問題的思路.

3 有關(guān)圓作用的問題求解技巧

例題 求證：以等腰三角形的一個腰為直徑的圓能夠?qū)⒌走吰椒?

解題過程

本題要用到輔助線的方式進行求證，即：假設(shè)AB和AC是等腰三角形的兩個腰，且邊AB是圓O的直徑，底邊BC同圓O相交于點D，要想證明該等腰三角形的底邊BC被圓O平分，只需證明點D為邊BC的中點即可，也就是證明AD是△ABC的高，這時可以把AD連接起來，由于AB是圓O的直徑，所以能夠知道AD⊥BC，然后結(jié)合等腰三角形的“三線合一定理”就能證明出該結(jié)論的準確性.

解題點評 在求證本道題目中的結(jié)論時，不少學生看完題目內(nèi)容后可能會感覺非常疑惑，不知道如何著手，由于解題條件和信息有限，無法快速找到突破口，運用輔助線能夠求證.

4 點與圓的位置關(guān)系求解技巧

例題 已知點P到⊙O上的點的最大距離為6厘米，最小距離為2厘米，那么圓的半徑r是多長？

解題過程

從本道題來看，分析題意可知點P不在圓上，那么應(yīng)對點P和⊙O的位置展開分類討論，分為點P在⊙O內(nèi)與⊙O外這兩種情況進行分類討論，畫出如下兩幅圖，（1）當點P在⊙O內(nèi)時如圖1所示，PA=6cm，PB=2cm，則AB=PA+PB=6+2=8cm，即⊙O的半徑r=12×AB=12×8=4cm;（2）當點P在⊙O外時如圖2所示，PA=2cm，PB=6cm，則AB=PB-PA=6-2=4cm，即⊙O的半徑r=12×AB=12×4=2cm.

解題點評 確定點與圓的位置關(guān)系，從本質(zhì)上來講就是確定該點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，當關(guān)系不確定時，應(yīng)分為點在圓內(nèi)、圓上與圓外三種情況分類討論，分別求解.

5 有關(guān)圓內(nèi)弦的問題求解技巧

例題 已知⊙O的半徑R的長度是5，圓內(nèi)有兩條線AB與CD，且AB與CD平行，其中弦AD的長度是6，弦CD的長度是8，那么這兩條平行弦之間的距離是多長？

解題過程

學生在教師的指導(dǎo)下畫出以下圖形，（1）當兩條弦在圓心的同側(cè)時，如圖1所示，過點O作OE⊥AB于點E，交CD于點F，根據(jù)AB∥CD可知，OE⊥CD，結(jié)合垂徑定理可得EB=3，F(xiàn)D=4，在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC=5，由勾股定理可得出OE=4，OF=3，則EF=4-3=1;（2）當兩條弦在圓心的異側(cè)時，如圖2所示，根據(jù)前面分析不難求出OE=4，OF=3，則EF=4+3=7，所以AB、CD之間的距離是1或者7.

解題點評 由于本題中沒有明確給出圖形，無法判斷兩條弦和圓心之間的位置關(guān)系，所以學生要考慮到兩條弦在圓心的同側(cè)或者則異側(cè)這兩種情形分別討論，分析可行性后求解.

6 結(jié)語

總而言之，在初中數(shù)學解題教學中，圓類問題是一類十分常見的題目，教師應(yīng)利用好平常解題訓練的契機，多組織學生練習這些常見的題型，使其注重熟練掌握圓的性質(zhì)，以及半徑、直徑、圓弧、弦、圓周角、圓心角的特征，同時指導(dǎo)他們學會運用輔助線配合解題.

參考文獻：

[1]趙中亮.初中數(shù)學圓中常見的兩解及多解問題分析[J].新課程（中學）.2016（06）

[2]劉加慶，唐明干.學習圓的概念認識數(shù)學思想[J].中學教學參考.2010（01）

[3]李玉榮.一道能讓“隱圓”大展身手的幾何題[J].理科考試研究.2018（18）

[4]李玉榮.為等邊三角形“鑲”上外接圓[J].數(shù)理化學習（初中版）.2019（08）