張華

【摘要】本文主要用面積法探究直線分四邊形所成圖形與線段間的比例關(guān)系，由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，并運用這些比例關(guān)系來解決一些相關(guān)的面積或線段長度的問題.

【關(guān)鍵詞】四邊形;線段面積;比例關(guān)系

面積與線段長度問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及生產(chǎn)生活中經(jīng)常遇到的問題.下面我們來探究一下用直線分割四邊形所成的圖形面積與線段長度間的比例關(guān)系.

定理1任意四邊形的兩條對角線把四邊形分成的四個三角形中，相對的兩個面積之積相等.

事實上，如圖1，由上節(jié)引理可得 S1S2=S4S3=BOOD，

故有S1·S3=S2·S4.

特別的，當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，若AD//BC ，有 S1=S3 ，得S2·S4=S12=S32 .

比如，梯形中，若S2=3，S3=6，要求梯形面積，只要先求出S4即可，由S2·S4=S32，有3S4=62，S4=12.從而求得S梯ABCD=3+12+6+6=27.

我們可以用類似的方法進一步得到下面定理：

定理2 四邊形一條對角線上的一點與另外兩個頂點的連線把四邊形分成兩部分，這兩部分圖形的面積比等于這點分對角線所得兩線段的比.

如圖2，點E為四邊形ABDC對角線上AD上一點，且AE：ED=m：n.

證明：S四ABED：S四CBED=AE：EC=m：n.

由三角形中面積與線段間的比例關(guān)系可得

SΔABE SΔCBE=SΔADESΔCDE=mn.

再由等比性質(zhì)得 SΔABE+SΔADE SΔCBE+SΔCDE=AEED=mn ，即S四ABED S四CBED=AEEC=mn.

由此定理，可以利用分一條對角線而將四邊形分成面積為相應(yīng)比的兩個四邊形（當(dāng)B、E、D在同一直線上時就成了三角形）. 特別的，當(dāng)E是AC中點時，就把四邊形ABCD分成了面積相等的兩部分.

例1 將四邊形ABCD分成兩部分，使得它們的面積比為1∶3.

如圖2，我們可以連接AC，在AC上取一點E，使得AE：EC=1∶3，連接BE，DE，則S四ABED S四CBED=AEEC=13.也就是四邊形 ABED與四邊形CBED的面積比為1∶3.

問題1 利用定理2可以用兩條線段將任意一個四邊形按面積平分，我們自然會想：如何用一條直線將一個四邊形按面積平分面呢？ 我們已經(jīng)知道平行四邊形對邊中點的連線平分它，梯形上下底中點的連線也平分它.

猜想 對邊中點的連線能平分四邊形.

下面來探究這個猜想究竟對不對.

事實上，如圖3，梯形兩腰中點的連線，也就是中位線并不能把梯形按面積平分，所以這個猜想是假命題.

用定理1的方法可以把四邊形平分，不妨在這個基礎(chǔ)上來探究.

如圖4，BE和DE把四邊形ABCD按面積平分，假設(shè)BM把四邊形也平分，顯然四邊形ABED比原來少了ΔBEF，多了ΔDMF，要使面積不變，只要SΔBEF=SΔDMF即可.我們知道梯形兩對角線分得的四個三角形中，兩腰對應(yīng)的兩個三角形面積相等，所以只要四邊形BEMD是梯形，EM//BD， 那么BM就把四邊形ABCD按面積平分了.具體作法也不難得到.

一條直線按面積平分四邊形的作法（如圖5）：

1、連接BC、AD，取AD中點E;

2、作EM//BC交CD于M;

3、連接BM.

直線BM把四邊形ABCD按面積平分.

當(dāng)然直線平分四邊形面積的方法不唯一，這只是直線過一頂點的作法.能不能得到任意一條直線平分四邊形的方法呢？大家可以考慮.

問題2邊的中點是特殊的點，我們已知順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，面積是原四邊形面積的一半 . 那么只有四邊形一組對邊的中點， 能得到怎樣的圖形， 面積間又有怎樣的關(guān)系呢？

如圖6，已知E、F分別是AD、BC的中點，連接BE、DF，得到四邊形BFDE，它與原四邊形間有怎樣的關(guān)系呢？

我們連接BD，則有SΔABE=SΔDBE，SΔDBF=SΔDCF，所以得到SΔDBF+SΔDBE=SΔABE+SΔDCF=12S四ABCD， 即S四BFDE=12S四ABCD.

由此可以得到

推論1四邊形對邊中點與一組相對頂點構(gòu)成的四邊形是原四邊形面積的一半.

問題3 若上面的E，F(xiàn)不是中點又會怎樣？

若DE：AE=BF：CF=n：m，則

SΔDBE=nn+mSΔABD，

SΔDBF=nn+mSΔCBD，

所以SΔDBE+SΔDBF=nn+m（SΔABD+SΔCBD），即S四BEDF=nn+mS四ABCD.

所以S四BEDFS四ABCD=nn+m=EDAD.

于是得

推論2 四邊形一組對邊被分成的兩條線段逆向比相等，則兩分點與相對兩頂點構(gòu)成的四邊形與原四邊形的面積比等于對應(yīng)線段之比.

問題4如果一組對邊被分成三段，又有什么結(jié)論呢？

如圖7，DE：EF：FA=BG：GH：HC=a：b：c，S四ABCD=m，求S四EFGH.

解析 由推論2，四邊形對邊分點與一組相對頂點構(gòu)成的圖形與原圖形有關(guān)系，所以我們可以連接BF，DH.

由已知的DE：EF：FA=BG：GH：HC=a：b：c，可得到DF：FA=BH：HC=（a+b）：c

由推論2可得S四DFBHS四ABCD=a+ba+b+c ，①

S四EFGHS四DFBH=ba+b，②

①×②得 S四EFGHS四ABCD=ba+b+c，

所以S四EFGH=ba+b+cS四ABCD=bma+b+c.

于是得

推論3四邊形對邊分成的三條線段逆向成比例，則相應(yīng)分點構(gòu)成的四邊形與原四邊形面積比等于相應(yīng)線段與這邊之比.

本文我們由特殊到一般，利用類比思想，大膽地猜想與證明相結(jié)合，得到了一些分割四邊形所得圖形面積與線段間的比例關(guān)系，在解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題或生活中的實際問題時會有很好的作用. 面積與線段間的比例關(guān)系還有很多，大家感興趣的話可以繼續(xù)探討.數(shù)學(xué)不是枯燥乏味的，樂趣無處不在，只要用心思考總會有許多發(fā)現(xiàn).